镜像法和电轴法课件

*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1-5,分离变量法,1,分离变量法综述,一、应用场合：,二、基本思想：,假定待求的位函数由两个或三个仅含有一个坐标变量,的函数的乘积表示；,把假定的函数（试探解）代入偏微分方程， 借助于“分,离变量”，将偏微分方程转化为两个或三个常微分方程；,解这些常微分方程并根据边界条件确定待定常数和函数；,得到位函数的解。,场域的,分界面,与正交坐标系的,坐标面,重合,2,1.5.1,直角坐标系中的分离变量法,一、推导：,（仅讨论二维拉普拉斯方程的解法）,拉普拉斯方程：,=0,2,假定待求的位函数为,试探解,：,(,x,y,),= X,(,x,),Y,(,y,),把试探解代入，将偏微分方程,转化为常微分方程：,设,X,(,x,),、,Y,(,y,),均不为,0,：,=,得两个常微分方程：,3,一、推导：,常微分方程,:,3.,解常微分方程并根据边界条件确定待定常数和函数,若,=k,n,2,：,得电位函数的一般解：,X,(,x,)=,A,0,x,+,B,0,Y,(,y,)=,C,0,y,+,D,0,当,k,n, 0,时：,常微分方程的解为：,X,(,x,)=,A,n,ch(,k,n,x,)+,B,n,sh,(,k,n,x,),Y,(,y,)=,C,n,cos(,k,n,y,)+,D,n,sin,(,k,n,y,),(,x,y,),= X,(,x,),Y,(,y,)=(,A,0,x,+,B,0,) (,C,0,y,+,D,0,),b. 若,= - k,n,2,：,(,x,y,),= X,(,x,),Y,(,y,)=(,A,0,x,+,B,0,) (,C,0,y,+,D,0,),当,k,n,=0,时：,常微分方程的解为：,1.5.1,直角坐标系中的分离变量法,4,例一、长直金属槽如图,.,三边接地,另一边电位为,V,0,求,槽内电位,分布,.,解：,由方程：,=0,=,V,0,a,0,x,y,b,=0,=0,金属槽内,|,(,x=,0,0,yb,),=0,(,x,y,),=(,A,0,x,+,B,0,) (,C,0,y,+,D,0,),由边界条件,1,：,0,=,B,0,(,C,0,y,+,D,0,),由边界条件,2,：,0,=,A,0,D,0,x,0,0,0,0,由边界条件,3,：,0,=,A,0,x,C,0,b,0,0,0, |,(,y=,0,0,xa,),= 0, |,(,y=b,0,xa,),= 0,|,(,x=a,0,yb,),=,V,0,k,n,=n/b,(,x,y,),=,1.5.1,直角坐标系中的分离变量法,=0,2,5,例一、长直金属槽如图,.,三边接地,另一边电位为,V,0,求,槽内电位,分布,.,解：,=0,=,V,0,a,0,x,y,b,=0,=0,金属槽内,|,(,x=,0,0,yb,),=0,由边界条件,4,：, |,(,y=,0,0,xa,),= 0, |,(,y=b,0,xa,),= 0,|,(,x=a,0,y1),1,(, ,)=,2.,由,2,|,(,=0),= 0,：,=,A,0,ln,0,+,B,0,0,0,0,0,2,(, ,)=,1.5.2,圆柱坐标系中的分离变量法,10,例一、长直介质圆柱体放在均匀的外电场中，如图。,求,圆柱体放入后场中的电位,分布,。,解：,1,|,(, =a,),=,2,|,(, =a,),E,0,a,2,2,0,x,y,1,1,1.,由分界面条件：,1,(, ,)=,2,(, ,)=,n=1：,-E,0,a +B,1,a,-1,=,A,1,a,1,(-,E,0,+,B,1,a,-2,)=,2,A,1,A,1,=-1-(,2,-,1,)/(,2,+,1,),E,0,B,1,= (,2,-,1,)/(,2,+,1,),a,2,E,0,A,n,=0,B,n,=0,n1,：,1.5.2,圆柱坐标系中的分离变量法,11,例一、长直介质圆柱体放在均匀的外电场中，如图。,求,圆柱体放入后场中的电位,分布,。,解：,E,0,a,2,2,0,x,y,1,1,1,(, ,)=,2,(, ,)=,1.5.2,圆柱坐标系中的分离变量法,12,1-7,镜像法和电轴法,(,解决静电场边值问题的,间接,方法,),13,问题引入：,无限大导体平板,(,接地,),上方,h,处有点电荷,q,，,周围介电常数为,，求解,导体平板上方的电场。,q,h,解：,2,=0,除点电荷处,|,(,导体平面,),= 0,|,(,无穷远处,),= 0,q,h,-q,h,考虑如图,b,，,在导体平面下方,h,处放点电荷,-,q,，,并撤去导体，整个空间充满介质,的情况,(,图,a),(,图,b),1.7.1,镜像法,一、平面镜像：,(,导体）,14,q,h,q,h,-q,h,(,图,a),(,图,b),结论：,图,a,中,电介质中的电场分布可用图,b,计算；,镜像电荷必须放在有效范围之外。,-,q,为镜像电荷，它代替了分布在导电平板上的负值感应电荷的作用；,用镜像法要注意有效范围：,单一介质！,P,P,r,r,思考：如何求导体表面的电荷密度分布？,15,电荷守恒：,当点电荷,q,位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的,镜像点电荷,代替导体表面上异性的,感应电荷,的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，读者可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。,半空间等效：,上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。,16,推广,1.,点电荷,q,线电荷,h,h,-,h,(,图,a),(,图,b),单一介质！,（结论类似）,q,推广,2.,平面,两个,平面,=/n,(,可除尽,) (,n=1,2,3,),有,(2,n,1),个,镜像,17,q,对于半无限大导体平面形成的,劈形边界,也可应用镜像法。但是仅当这种导体劈的夹角等于,的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入,几个,镜像电荷。例如，夹角为 的导电劈需引入,5,个镜像电荷。,/3,/3,q,连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。,18,推广,3,、,两种介质,1,、,2,的分界面为无限大平面，在介质,1,中距离分界面,d,处有点电荷,q,。,求,两种介质中的电场。,解：,2,1,=0,除点电荷处,E,1t,= E,2t,q,d,1,1,q,d,在镜像电荷系统中：,(,图,b,),2,2,q,d,(,图,c,),q,d,1,(,图,a,),2,1,2,2,2,=0,D,1n,= D,2n,介质分界面,E,1t,=,E,2t,=,D,1n,=,D,2n,=,r,P,E,2t,P,r,E,1t,19,结论：,图,a,介质,1,中的电场分布可用图,b,计算，,q,=q,(,1,-,2,),/,(,1,+,2,),；,图,a,介质,2,中的电场分布可用图,c,计算，,q,=,2,q,2,/,(,1,+,2,),；,镜像电荷,q,是分布在分界面上的极化电荷的等效；,镜像电荷,q,是极化电荷和自由电荷的等效；,注意图,b,图,c,的有效范围：,q,d,1,1,q,d,(,图,b,),2,2,q,d,(,图,c,),q,d,1,(,图,a,),2,1,2,r,P,E,2t,P,r,E,1t,20,二、球面镜像：,问题,1,:,半径为,R,的导体球,(,接地,),外,d,处有点电荷,q,，,周围介电常数为,，求解,导体球外的电场。,解：,2,=0,除点电荷处,|,(,导体球面,),= 0,|,(,无穷远处,),= 0,考虑如图,b,，,镜像电荷的位置、大小？,(,图,b),q,(,图,a),0,R,d,= 0,r,2,=,R,2,+,d,2,-2,Rd,cos,r,2,=,R,2,+,b,2,-2,Rb,cos,q,0,R,d,-q,b,P,r,r,21,(,图,b),q,(,图,a),0,R,d,q,0,R,d,-q,b,结论：,图,a,中,电介质中的电场分布可用图,b,计算；,-,q,为镜像电荷，它是分布在导电球上的负值感应电荷的等效；,q,=,qR/d,( |,q,|,q,),；,R,2,=,bd,；,用,镜像法要注意有效范围：,单一介质！,22,问题,2,:,半径为,R,的导体球,(,不接地,),外,d,处有点电荷,q,周围介电常数为,求解,导体球外的电场。,解：,2,=0,除点电荷处,|,(,导体球面,),= c,|,(,无穷远处,),= 0,考虑如图,b,，,镜像电荷的位置、大小？,(,图,b),q,(,图,a,),0,R,d,-q,b,q,两个镜像电荷,q,、,-q,，,q,位于球心,d,0,R,q,23,1.,图,示,点,电,荷,Q,与,无,限,大,接,地,导,体,平,板,的,静,电,场,问,题,中，,为,了,应,用,镜 像 法,求,解,区,域,A,中,的,电,场，,基,于,唯,一,性,定,理，,在,确,定,镜,像,法,求,解,时，,是,根,据,边 界 条 件,（用,电,位,表,示）,.,或：,24,2,、,镜,像,法,的,理,论,根,据,是,_,。,镜,像,法,的,基,本,思,想,是,用,集,中,的,镜,像,电,荷,代,替,_,的,分,布。,25,一、问题的提出：,长直平行带电圆柱导体,在电力和信号传输中广泛存在。,分析两长直平行带电圆柱导体（轴向单位长度电荷量为,、,-,）的电场：,直接法很困难,。,间接解决。,x,y,-,+,0,|,(,导体,1),= c1, |,(,导体,2),= c2,1.7.2,电轴法,26,x,二、一对细长导线产生的电场：,解：由高斯定律、叠加原理：,y,-,0,+,P(,x, y,),2b,r,+,r_,取,y,轴电位为,0,，则：,C,=0,等位线方程为：令,P,=,k,则等位线为若干圆，,R,2,+,b,2,=,d,2,设圆心到原点的距离为,d,，,圆半径为,R,27,x,结论：,y,-,0,+,2b,等位线为若干圆，,R,2,+,b,2,=,d,2,圆心到原点的距离为,d,，,圆半径为,R,2d,R,28,x,y,-,+,0,a,三、两长直平行带电圆柱导体,(,等半径,),外部的电场：,电轴法,：将圆柱导体撤去，代之以,两带电细线,(,等效电轴,),。,a,2,+,b,2,=,h,2,设圆柱导体的半径为,a,，,两圆心距离为,2,h,，,两等效电轴的距离为,2,b,-,+,2b,2h,P(,x, y,),r,+,r_,导体内部的电场？,注意确定,等效电轴,的位置。,若取,y,轴电位为,0,，,则圆柱导体,外,任一点,P,的电位为,:,29,例一、两长直平行带电圆柱导体的电压为,U,0,，尺寸如图，求导体,轴向单位长度电荷量,及导体外任意点,P,的电位。,解：用电轴法,x,y,0,a,-,+,2b,D,P(,x, y,),r,+,r_,U,0,则导体,2,的电位即点,P,的电位为：,P,=U,0,/2,设等效电轴距离为,2,b,30,四、两长直平行带电圆柱导体,(,不同半径,),外部的电场：,电轴法：将圆柱导体撤去，代之以,两带电细线,(,等效电轴,),。,a,1,2,+,b,2,=,h,1,2,a,2,2,+,b,2,=,h,2,2,设圆柱导体的半径为,a,1,a,2,，,两圆心离,y,轴为,h,1,h,2,，,两等效电轴的距离为,2,b,注意确定,等效电轴,的位置。,若取,y,轴电位为,0,，,则圆柱导体,外,任一点,P,的电位为,:,D=,h,1,+,h,2,x,y,-,+,0,a,1,a,2,h,1,h,2,D,b,b,-,+,31,x,y,-,+,0,a,1,a,2,h,2,h,1,五、偏心电缆夹层的电场：,电轴法：将圆柱导体撤去，代之以,两带电细线,(,等效电轴,),。,a,1,2,+,b,2,=,h,1,2,a,2,2,+,b,2,=,h,2,2,-,+,b,若取,y,轴电位为,0,，,则偏心电缆夹层任一点,P,的电位为,:,b,设圆柱导体的半径为,a,1,a,2,，,两圆心离,y,轴为,h,1,h,2,，,两等效电轴的距离为,2,b,注意确定,等效电轴,的位置。,D,D=,h,2,-,h,1,32,作业,P16 1-7-3 1-7-5,33,