矢量场上海交大

单击此处编辑母版样式,单击此处编辑幻灯片母版样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,电磁场理论,第1章：矢量分析,电院楼群1522,Email:,Tel:34204663,2007.0307,1,第1章：矢量分析,矢量表示及其代数运算,矢量场和标量场,标量场的梯度,矢量场的通量、散度与散度定理,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理,标量场、矢量场的重要性质和定理,正交曲线坐标系,2,矢量表示及其代数运算,矢量的表示及距离矢量,矢量的代数运算,3,标量和矢量,标量：仅具有大小特征的量,矢量：具有大小和方向特征的量,例如：,力、位移、速度、加速度、电场强度及磁场强度,等物理量都是矢量,标量的空间分布构成,标量场,矢量的空间分布构成,矢量场,4,几何表示,:,一条有向线段，长度表示大小，指向表示方向,直角坐标中，不同的矢量即使起点移到原点，其终端坐标不同,矢量,A,的终端坐标为（,A,x,A,y,A,z,）,；,A,x,A,y,A,z,称为矢量,A,的三个相应的,坐标分量,。,矢量的表示,5,在三维空间中，一个矢量可用其三个坐标分量来表示。反之，三个标量可用一个矢量来代替。,矢量运算比标量运算简洁,在二维空间中，一个矢量仅需要两个坐标分量来表示，而在一维空间中，一个矢量仅需要一个坐标分量。,通常，矢量大小及方向均随空间坐标而变化,.,常矢量,：大小和方向均与空间坐标无关。,矢量的表示（续）,6,单位矢量,a,：矢量模为1的矢量称为单位矢量,a,x,，,a,y,，,a,z,矢量,A,：,A,=,a,x,A,x,+,a,y,A,y,+,a,z,A,z,矢量,A,的模,：,矢量的表示（续）,7,矢量A的单位矢量：,a,的模为1，方向与,A,相同,归一化,8,矢量A的单位矢量：,式中角度，分别为矢量,A,与坐标轴的夹角，cos,，cos,，cos,称为矢量的,方向余弦,9,矢量的代数运算,矢量相等：,A,=,B,大小及方向均相同,或在同一坐标系中，各个坐标分量均相同,结合律:（A+B)+C=A+(B+C),交换律: A+B=B+A,矢量相减： AB=A+(-B),注：,同一坐标系中，两个矢量的加减运算就是对应坐标分量的相加和相减,。,10,矢量的代数运算（续）,图1-1 矢量加减 图1-2 矢量与标量相乘,11,矢量的代数运算（续）矢量的标积,两个矢量的标积又称为点积或内积，以点号“”表示。,两个矢量的标积是一个标量，服从交换律。,12,矢量的代数运算（续）矢量的标积,矢量与其本身的标积：,矢量,A,的大小为：,矢量的大小称为矢量的模，以绝对值符号|,A,|或,A,表示,13,矢量的标积（续）,矢量标积的,几何意义,如图所示,14,矢量的标积（续）,两矢量垂直的充要条件：它们的点积为零,标积,等于矢量A的模与矢量B在矢量A的方向上的投影大小的乘积，或者说等于矢量B的模和矢量A在矢量B方向上的投影大小的乘积。,15,矢量的代数运算（续）矢量的矢积,矢量的矢积又称为叉积或外积，以“”表示,两个矢量的矢积仍然是一个矢量,16,矢量的矢积（续）,矢量矢积的,几何意义,如图所示,17,矢量的矢积（续）,两矢量平行的充要条件：它们的叉积为零,矢量矢积的方向与矢量A及矢量B垂直，且由矢量A旋转到矢量B，并与矢量(A,B)构成右旋关系，矢量的大小为,18,矢量的混合积（三重积）,19,标量三重积(混合积）：,A(BC)= B(CA) = C(AB),A(BC)= CABBAC,(AB)C= (BC)A = (CA)B,20,矢量三重积,：三矢量所围平行六面体体积。,A(BC)= B(AC)C(AB),矢量运算规则,：先矢积，后标积,A(BC)= ABC,21,例1-0,用矢量的方法求证平面几何中的余弦定理,22,自然局部基矢量,自然基矢量：,全局参考,自然局部基矢量,目标点的微小领域内,如：矩量法,23,并矢,任意两个矢量,a、b,并写在一起，,ab,称为,并矢,，,张量积,并矢格林函数,散射场是各媒质、各面、各方向电流元的叠加,张量：满足某种坐标转换关系的有序数组成的集合,24,第1章：矢量分析,矢量表示及其代数运算,矢量场和标量场,标量场的梯度,矢量场的通量、散度与散度定理,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理,标量场、矢量场的重要性质和定理,正交曲线坐标系,25,矢量场和标量场,26,27,第1章：矢量分析,矢量表示及其代数运算,矢量场和标量场,标量场的梯度,矢量场的通量、散度与散度定理,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理,标量场、矢量场的重要性质和定理,正交曲线坐标系,28,标量场的方向导数与梯度,标量场在某点的,方向导数,表示标量场自该点沿某一方向上的变化率,标量场 在点P沿,l,方向上的方向导数定义为,29,标量场的方向导数与梯度（续）,在直角坐标系中，方向导数可写为,30,标量场的方向导数与梯度（续）,令 为矢量G的三个坐标分量,标量场,沿矢量,l,方向上的方向导数,31,标量场的方向导数与梯度（续）,矢量G称为标量场 的梯度，以 表示,32,标量场的方向导数与梯度（续）,注,* 标量场的梯度是一个矢量场；,* 当,a,l,的方向与梯度方向一致时，方向导数取得最大值。,* 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数， 梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。,33,标量场的方向导数与梯度（续）,哈密顿引入劈形算子,（读作Delta）,标量场的梯度可以表示为:,34,标量场的方向导数与梯度（续）,标量场梯度说明,标量场的等值面：标量,等于常数的空间曲面,某点梯度的三个坐标分量是标量场等值面通过该点法线的三个方向导数，这就意味着梯度的方向为等值面的法线方向。,或者说，梯度的方向与等值面垂直，且指向标量场数值增大的方向。,比如等势面与电场场强,35,标量场的方向导数与梯度（续）,梯度的运算符合下列规则：,线性系统的特征,36,误解：,一般不等于0,可以当作矢量符号，但又必须注意其实际的数学意义,37,例1-1,38,例1-2,求,R和R,39,P点和P点是矢量R的终点和起点。以矢量的终点和起点为参考，分别来求同一标量场的梯度，必然模相等，方向相反。,以电势和场强为例。,40,第1章：矢量分析,矢量表示及其代数运算,矢量场和标量场,标量场的梯度,矢量场的通量、散度与散度定理,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理,标量场、矢量场的重要性质和定理,正交曲线坐标系,41,矢量场的通量、散度与高斯定理,矢量A沿某一有向曲面S的面积分成为矢量A通过该有向曲面S的通量，以,表示,标量,42,矢量场的通量、散度与高斯定理,说明：,若在有向曲面,S,上，有向面元,dS,(,法线,),处处与矢量,A,的方向保持垂直，则矢量通过该有向曲面的通量为零。,若有向面元,dS,处处与矢量,A,的方向保持相同或相反，则通量,0,或,0；,2) 若处处相反，则 0 。,3) 可见，环量可以用来描述,矢量场的旋涡特性,。,64,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理,说明：由物理学可知，真空中磁感应强度B沿任一闭合有向曲线的环量, 等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空磁导率,0,的乘积。其中电流I的正方向与,dl,的方向构成右旋关系。,因此，,环量可以表示产生具有旋涡特性的源强度,，但是它代表的是,闭合曲线包围的,总的源强度，不能显示源的分布特性,。,65,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理(续),矢量,A,对于方向,a,n,的环度强度为：,说明：,a,n,为S的法向单位矢量，与曲线,l,构成右旋关系,同一点上，矢量A对于不同方向的环量强度可能不等,66,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理(续),旋度矢量，,rot,A,该旋度矢量的,方向,是使矢量,A,具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环度强度，即,67,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理(续),说明：,矢量场的,旋度大小,可以认为是包围单位面积的闭合曲线的最大环量，,因此，,旋度代表了源的强度,。在旋涡场源不存在的无源区，旋度必然为零。,68,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理(续),斯托克斯定理,任一条闭合有向曲线,l,包围,的区域总可分为两个部分，,其周界分别为,l,1,和,l,2,，如图0-7-2所示。,由于闭合曲线,l,1,和,l,2,的相邻部分方向相反，,因此，矢量,A,沿着,l,的环量等于沿着,l,1,和,l,2,的环量之和。,69,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理(续),斯托克斯定理,由于包围,l,的面积S可以认为是由很多面元,d,S组成的，那么沿着,l,的环量等于沿着包围各个,d,S的闭合曲线的环量总和。,70,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理(续),注：,利用此定理可将面积分化为线积分，或反之。,从场的观点来看，它建立了,区域中的场与区域边缘上的场之间的关系,。,因此，斯托克斯定理也是矢量分析中重要定理之一,71,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理(续),旋度在直角坐标系中的表达式,72,73,74,可以把,看成矢量，并与矢量A叉乘,75,算子表达,旋度,斯托克斯定理,旋度运算符合下列规则,76,例15,例16,又称旋度定理,77,第1章：矢量分析,矢量表示及其代数运算,矢量场和标量场,标量场的梯度,矢量场的通量、散度与散度定理,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理,标量场、矢量场的重要性质和定理,正交曲线坐标系,78,标量场、矢量场的重要性质和定理,无散场与无旋场,格林定理,矢量场的惟一性定理,亥姆霍兹定理,79,无散场与无旋场,矢量场的散度及旋度反映了产生矢量场的源,在有源区中，散度或旋度一定不等于零，或者两者均不为零。,在无源区中，散度及旋度一定为零。,一切矢量场的源只有两种类型，即产生发散场的,散度源,和产生旋涡场的,旋度源,。,在全空间中，散度及旋度均处处为零的场是不存在的。,散度或旋度处处为零的场是存在的,80,无散场与无旋场（续）,无散场：散度处处为零的矢量场,无旋场：旋度处处为零的矢量场,任一矢量场的旋度的散度一定等于零,81,无散场与无旋场（续）,证明：可在矢量场中任取一 个体积V，对体积V进行积分，由,高斯定理,得,82,无散场与无旋场（续）,此闭合面S可用其表面上的一条闭合有向曲线,l,分为两个有向曲面S1和S2，,由斯托克斯定理，得,83,无散场与无旋场（续）,说明：,任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度,或者说，任何旋度场一定是无散场。,理解： ，所以B垂直,与A构成德平面，所以,84,无散场与无旋场（续）,任一标量场的梯度的旋度一定等于零，,或任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度,或者说，任何梯度场一定是无旋场。,85,理解：梯度是标量场在,l,方向的最大变化量，所以梯度沿闭合曲线一周的积分为零，所以梯度的旋度为零。,换句话说，我们只向上攀梯子，攀了一圈之后，回到起点。,证明：,86,也可这样理解：,87,标量场、矢量场的重要性质和定理,无散场与无旋场,格林定理,矢量场的惟一性定理,亥姆霍兹定理,88,格林定理,设任意两个标量场,和,，若在区域中具有连续的二阶偏导数,式（091）或者（093）称为标量第一格林定理,89,格林定理（续）,证明：对 应用高斯定理,代入，（093）即得,90,格林定理（续）,标量第二格林定理,若将式（091）中 和 对调，显然，等式仍然成立，即,将式（091）与上式相减，得,91,格林定理（续）,矢量第一格林定理,设任意两个矢量场,P,和,Q,，若在区域V中具有连续的二阶偏导数，则该矢量场,P,和,Q,满足下列等式,式中S为包围V的闭合曲面，面元,d,S的方向为S的外法线方向,证明：可对矢量 应用高斯定理，再利用矢量恒等式,，即可证明。,矢量三重积A,(,B,C) = B(A,C),C,(,A,B),92,格林定理（续）,矢量第二格林定理,与前类似，若将式（第一格林定理）中,P,与,Q,对调，所得的等式再与式（第一格林定理）相减，即得,93,格林定理（续）,上述各种格林定理，都是说明区域中的场与边界上的场之间的关系。,因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。,此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。,94,标量场、矢量场的重要性质和定理,无散场与无旋场,格林定理,矢量场的惟一性定理,亥姆霍兹定理,95,矢量场的惟一性定理,位于某一区域中的矢量场，当其,散度,、,旋度,以及,边界上场量的切向分量或法向分量,给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。,采用反证法进行证明： 令,96,97,98,惟一性定理表明，区域中的矢量场被其中的源及边界值（或称边界条件）惟一地确定,对于无限大自由空间，只要标量场,满足,1/(R,1+,)，(0)(式中R表示场点到原点的距离），则当边界面S趋向无穷远处时，式（,0,10,4,）的右端面积分仍然为零。,所以,无限大自由空间中的矢量场仅被其散度及旋度惟一地确定。,99,标量场、矢量场的重要性质和定理,无散场与无旋场,格林定理,矢量场的惟一性定理,亥姆霍兹定理,100,亥姆霍兹定理,若矢量场,F(r),在无限区域中处处是,单值,，且其,导数连续有界,，源分布在,有限区域,V,中，则当矢量场的,散度及旋度,给定后，该矢量场,F(r),可以表示为,该关系称为亥姆霍兹定理。,101,亥姆霍兹定理(续）,该定理再次表明，无限空间中矢量场被其散度及旋度惟一地确定；,而且它给出了场与其散度及旋度之间的定量关系，,或者说，给出了场与源之间的定量关系。,102,亥姆霍兹定理(续）,证明,103,104,105,矢量场唯一性定理,106,107,亥姆霍兹定理(续）,式（,0,10,9,）及式（,0,10,12,）中的面积分分别代表了边界上场量的法向分量与切向分量。,表明，有限空间中的矢量场被其散度、旋度及其边界条件惟一地确定。,若该有限区域是无源的，则场仅决定于边界条件。,108,亥姆霍兹定理(续）,已知,梯度场是无旋场，旋度场是无散场,，因此，式（,0,10,1,）又表明，,任一矢量场均可表示为一个无旋场和一个无散场之和,。,亥姆霍兹定理表明：如果已知矢量场的散度及旋度以后，即可求出该矢量场，因此，矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。,109,亥姆霍兹定理(续）,今后，我们在讨论各种电磁场时，首先必须讨论的就是其散度及旋度特性。,由式（,0,10,1,）及式（,0,10,2,）亦可见，对于无限空间，当矢量场的散度及旋度均为零时，,(r)=A(r)=,0,，则矢量场,F(r),也随之消失，因此,无旋且无散的矢量场在无限空间是不存在的，它只能存在于局部无源区域之中,。,110,亥姆霍兹定理(续）,依据散度及旋度特性可把场分为四类：,第一类：无散，无旋：,第二类：有散，无旋,第三类：无散，有旋,第四类：有散，有旋,111,第1章：矢量分析,矢量表示及其代数运算,矢量场和标量场,标量场的梯度,矢量场的通量、散度与散度定理,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理,标量场、矢量场的重要性质和定理,正交曲线坐标系,112,正交曲面坐标系,已知在三维直角坐标系中，使用三个坐标变量（,x,0,y,0,z,0,）可确定空间点,P,0,的位置，这就意味着使用三个平面可以确定三维空间中任一点的位置。,一般来说，任一三个相交的曲面均可确定三维空间中任一点的位置。如果三个曲面在空间是处处正交的，则由此建立的坐标系称为,正交曲面坐标系,。,由三个相互正交的平面构成的直角坐标系是一种特殊的正交曲面坐标系,113,正交曲面坐标系(续）,正交曲面坐标系是由三个正交坐标曲面,u,1,=const, u,2,=const, u,3,=const,构成,u,1, u,2, u,3,称为坐标变量,三个相应坐标变量的梯度方向上的单位矢量 为,a,u1,，a,u2,，a,u3，,三者满足：,114,正交曲面坐标系(续）,变量,u,1,的坐标轴：沿着,a,u1,方向仅变量,u,1,发生改变，因此，若一条曲线上各点的切线方向与,a,u1,方向一致，则该曲线称为变量,u,1,的坐标轴,u,1,坐标轴描述了变量,u,1,的变化方向及尺度,在三维空间中，每两个坐标曲面的交线形成第三个变量的坐标轴。,在三维正交坐标系中，矢量A可表示为,115,正交曲面坐标系(续）,除了直角坐标系中，常用的两种正交曲面坐标系是圆柱坐标系和球坐标系,注意，在圆柱坐标系中只有,a,z,是常矢量。由于空间各点的 及方向不同，因此 及 都是变矢量。,图,0,12,1,圆柱坐标系,116,正交曲面坐标系(续）,球坐标系是由一个圆球面(r)，一个锥面()与一个半无限大的平面()构成,117,正交曲面坐标系(续）,在矢量分析中，经常对矢量函数进行微分与积分运算，这种运算需要把坐标变量的,微分变化,对应于,微分长度,的变化，,正交曲面坐标系中，其坐标变量不一定代表长度。如圆柱坐标系中的坐标变量及球面坐标系中的和均代表角度。,118,正交曲面坐标系(续）,为了能对各种坐标变量进行微分运算，必须把非长度的坐标变量的微分增量转化为微分长度。,为此，可令微分长度为,式中,h,i,称为相应的坐标变量,u,i,的,度量系数,。,119,正交曲面坐标系(续）,对于任一有向长度的微分增量dl可表示为,或,对于任一有向曲面的微分增量dS可表示为,他们分别表示有向面元在相应的坐标平面上的投影面积,对于任一体积的微分增量可以表示为,120,正交曲面坐标系(续）,正交曲面坐标系中梯度、散度及旋度的表示式,标量场,在,a,ui,方向上的方向导数,标量场,的梯度,六面体元,121,正交曲面坐标系(续）,122,123,124,125,126,说明：,球坐标变量与直角坐标变量的关系,127,直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系中各个坐标轴上单位矢量之间的关系，可以导出矢量A在三种坐标系中各个坐标分量之间的关系式如下：,128,斜角直线坐标系,给定参考矢量,g,i,平面：i1，2,三维空间：i1，2，3,矢量表示（分解、投影）,各单位矢量,129,小结,运算关系,130,梯度,通量 散度,高斯定理,131,环量,旋度,斯托克斯定理,132,拉普拉斯算子,标量三重积：,A,(,B,C)= B,(CA,) = C,(,A,B),A,(,B,C)= C,A,BB,A,C,(,A,B),C=,(,B,C,),A,=,(,C,A),B,矢量三重积：三矢量所围平行六面体体积。,A,(,B,C)= B(A,C),C,(,A,B),矢量运算规则：先矢积，后标积 A,(,B,C)= A,B,C,133,格林定理,矢量场的唯一性定理：,位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以,及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被,惟一地确定,134,亥姆霍兹定理,矢量场,F(r),在无限区域中处处是单值,导数连续有界，源分布在有限区域,V,中.,当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场,F(r),可以表示为,135,思考题1,如何理解哈密尔顿算子在各种情况下的的数学意义？,从定义出发。,136,思考题2,单位矢量是否为常矢量？,注意直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系的差异，尤其是度量因子,137,思考题3,散度和旋度都存在的场的描述？,注意直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系的差异，尤其是度量因子,138,谢谢！,139,