两自由度系统振动

第,5,章 两个自由度系统的振动,80,第,5,章 两个自由度系统的振动,单自由度系统振动问题，在我们所讨论的范围内是线性定常方程。而多自由度系统则是二阶多元联立微分方程组，各广义坐标间存在相互“耦合”现象。,所谓,耦合,，就是变量之间互相联系。由于这种耦合，使微分方程的求解变得非常困难。因此，分析多自由度系统振动问题的重要内容之一就是如何将方程“解耦”，然后按单自由度的分析方法求解。,两自由度是多自由度系统最简单的情况。,建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样,但难度更大。,5.2.1,运动微分方程（,P104-106,）,5.2,两自由度系统的振动方程,刚度矩阵和质量矩阵,5.2,振动,方程,标准的,m-k-c,系统，对每一质量利用牛顿定律得：,坐标原点仍取在静平衡位置,写成矩阵形式,5.2,振动,方程,式中：,5.2,振动,方程,M,称为系统的,质量矩阵,，,K,称为,刚度矩阵,，,C,称为,阻尼矩阵,，,x,为系统的位移列阵，,F,(,t,),为外激励列阵。,对于其它形式的两自由度振动系统同样可得到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。,由于矩阵,M,、,K,、,C,的非对角线元素不为,0,，所以振动微分方程是互相耦合的非独立方程。,5.2,振动,方程,5.2.2,刚度影响系数与刚度矩阵,刚度矩阵,K,中的元素称为,刚度影响系数,，其,k,ij,的力学意义,是：,仅在,j,坐标处产生单位广义位移，系统平衡时需在,i,坐标处施加的广义力。,具体求解时，只假设,j,坐标处的位移为,1,，其它各坐标的位移均为,0,。,5.2,振动,方程,5.2.3,惯性影响系数与质量矩阵,质量矩阵,M,中的元素称为,质量影响系数,，其,m,ij,的力学意义,是：,仅在,j,坐标处产生单位广义加速度，需在,i,坐标处施加的广义力。,具体求解时，只假设,j,坐标处的加速度为,1,，其它各坐标的加速度均为,0,。,5.2,振动,方程,例：,用刚度影响系数和质量影响系数求标准,m-k-c,系统的刚度矩阵和质量矩阵。,5.2,振动,方程,柔度影响系数,R,ij,的力学意义是：在,j,坐标处作用单位广义力，引起,i,坐标处的广义位移。,由柔度影响系数就可以形成系统的柔度矩阵,R,。,由材料力学的位移互等定理可知,R,ij,R,ji,，即柔度矩阵是对称的。,5.3,位移,方程,5.3,两自由度系统的位移方程,柔度矩阵,5.3.2,柔度影响系数与柔度矩阵,(P114-117),例：,用柔度影响系数求标准,m-k-c,系统的柔度矩阵。,5.2,振动,方程,以柔度矩阵表示的方程为位移方程。,对标准,m-k-c,振动系统，质量,m,1,和,m,2,上的静位移可以表示为,x,st,=,R,F,，而系统的动位移为,这就是系统运动微分方程的位移形式。,5.3,位移,方程,5.3.1,位移方程,(P113-114),因为,R,为正定矩阵，于是,位移,方程又可写为,与力形式的方程比较知,K,=,R,1,，,R,=,K,1,即,对于正定系统,R,和,K,互为逆矩阵,。,5.3,位移,方程,例,5-3-1,求系统的振动微分方程。已知梁的抗弯刚度为,EI,。,解,：用影响系数法。由材料力学挠度公式,5.3,位移,方程,则,而,则方程为,5.3,位移,方程,若写为力方程形式,则方程为,下面用影响系数法直接求,K,:,5.3,位移,方程,设,x,1,=1,x,2,=0,，则由材料力学公式有：,同理有,求出各个刚度系数即组成刚度矩阵,K,。,作业：,5-2,，,6,5.3,位移,方程,对于非标准的,m-k-c,多自由度振动系统，用传统的动力学方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和能量的方法。,运动微分方程的一般形式,运动微分方程的一般形式,拉格朗日方程,或,其中：,T,为系统的动能，,V,为势能，,Q,i,为非有势力的广义力，,d,r,k,为与非有势广义力,F,k,对应的广义虚位移。,实际计算广义力,Q,i,时，通常假设与,x,i,对应的广义虚位移不等于零，其它虚位移都等于零。,（,i,1,，,2,）,运动微分方程的一般形式,例,用拉格郎日方程推导两自由度m-k-c系统微振动微分方程,。,解,：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置,运动微分方程的一般形式,静平衡位置：,则：,运动微分方程的一般形式,运动微分方程的一般形式,计算广义力，设,m,1,产生虚位移,d,x,1,，而,d,x,2,0,，则,同样设,m,2,产生虚位移,d,x,2,，而,d,x,1,0,，则,运动微分方程的一般形式,代入拉格朗日方程,得,整理写出矩阵形式即可。,运动微分方程的一般形式,例,T5-30,用拉格郎日方程,建立,系统微振动微分方程,。,解,：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置,x,1,x,2,d,1,d,2,而,则,运动微分方程的一般形式,所以,运动微分方程的一般形式,计算广义力，设只有,x,1,处产生虚位移,d,x,1,，则,同样设,x,2,处产生虚位移,d,x,2,，则,x,1,x,2,d,1,d,2,代入拉格朗日方程即可。,作业：,T5-29,运动微分方程的一般形式,微振动方程的刚度形式,只给出公式，不作严格推导。,1.,质量矩阵的形成,系统的动能可以表示为,运动微分方程的一般形式,记,则,M,即为所求的质量矩阵，显然为对称阵。,2.,刚度矩阵的形成,势能可写为,K,即为所求的刚度矩阵，也是对称阵。,运动微分方程的一般形式,3.,阻尼矩阵的形成,线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为,C,即为所求的阻尼矩阵，也是对称阵。,以上各式代入拉格郎日方程即可得到振动方程,运动微分方程的一般形式,例,5-2-3:,求,M,和,K,。,解,：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置,l,l,则,运动微分方程的一般形式,将余弦函数表示为,则,所以,运动微分方程的一般形式,作业：,5-4,无阻尼自由振动系统的运动方程为,5.4.1,5.4.3,固有频率与固有振型,(P117-120),5.4,两个自由度系统的自由振动,5.4 两个自由度系统的自由振动,假设方程解的形式为,这里,：,X,1,、,X,2,为振动幅值，,w,为固有频率，,a,为初相位。,代入振动方程可得：,这是广义的特征值问题，,K,-,w,2,M,称为,特征矩阵,。要使,上,式有解，必须使其系数行列式为零。,若,M,为对角阵，,K,为对称阵，则有,5.4 两个自由度系统的自由振动,上式称为,频率方程,或,特征方程,。由此可求出,w,2,的两个正实根。且规定,w,1,=,w,2,。,将这两个根代入广义特征值问题,(,K,w,2,M,) ,X,=0,可得到相应的振幅比值,式中,X,(,i,),表示对应于第,i,个固有频率的振幅,(,i,=1, 2),。,由数学概念知道，只能求出振幅的比值，而不能确定各振幅大小。,5.4 两个自由度系统的自由振动,和单自由度一样，由于固有频率和振幅比,u,i,只决定于系统本身的物理特性，而与外部激励和初始条件无关，这表明它们都是系统的固有属性。因此把,w,i,称为系统的,固有频率,或,主频率,，,u,i,称为系统的,固有振型,或,主振型,。,将振幅写成矩阵形式,5.4 两个自由度系统的自由振动,称为,振型向量,或,模态向量,，组成的矩阵称为,振型矩阵,。,由解的形式可看出，系统两质量按相同的频率和相位角作简谐运动，这种运动称为,固有振动,或,主振动,。,每一个主振动称为一个,模态,，,w,i,和对应的,u,i,组成第,i,阶,模态的参数,。,系统在主振动中，各质点同时达到平衡位置或最大位移，而在整个振动过程中，各质点位移的比值将始终保持不变，也就是说，在主振动中，系统振动的形式保持不变，这就是,振型的物理意义,。,5.4 两个自由度系统的自由振动,式中的,X,1,可以取任意值。显然,两个主振动的叠加也是方程的解，即,5.4.4,系统对初始激励的响应,(P121-128),由前面的分析可得到系统的两组特解,为,5.4 两个自由度系统的自由振动,式中的各个,X,、,a,和,C,均为任意常数，由初始条件确定。,或写,为,下面的形式,5.4 两个自由度系统的自由振动,将初始条件代入,可,得,设初始条件为,t,0时,5.4 两个自由度系统的自由振动,综上所述，系统对初始激励的响应,求解,步骤为：,（1）建立运动微分方程，求出质量矩阵,M,和刚度矩阵,K,;,（2）确定固有频率,w,i,和振幅比,u,i,;,（3）利用初始条件，求系统的响应。,5.4 两个自由度系统的自由振动,例,T5-21,求,图示系统的频率方程。,。,解,：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置,则,5.4 两个自由度系统的自由振动,将余弦函数表示为,则,所以,5.4 两个自由度系统的自由振动,频率方程为,即,展开得,5.4 两个自由度系统的自由振动,例,T5-26,求,图示系统的,固有,频率。,。,解,：用牛顿定律,而,x,1,x,2,d,1,d,2,d,3,解得,则方程为,5.4 两个自由度系统的自由振动,频率方程为,解得,5.4 两个自由度系统的自由振动,例,T5-35,质量为,m,2,的物块从高,h,处自由落下，然后与弹簧质量系统一起做自由振动，已知,m,1,m,2,m,，,k,1,k,2,k,，,h,100,m,g/,k,，求系统的振动响应。,解,:,（,1,）,用牛顿定律建立方程,5.4 两个自由度系统的自由振动,（,2,）频率方程为,解得,（,3,）求振型。利用,则,同理,5.4 两个自由度系统的自由振动,（,4,）求响应,初始条件,代入得,5.4 两个自由度系统的自由振动,解得,响应为,作业：,T5-13,，,26,，,28,5.4 两个自由度系统的自由振动,在,二阶,振动微分方程中，如果质量矩阵,M,和刚度矩阵,K,的各个元素都不为零，则在两个方程中都同时包含坐标,x,1,和,x,2,和它们的导数项，这种情形称为,坐标耦合,。,把,M,为对角阵，,K,不是对角阵,的情形称为,静力耦合,或,弹性耦合,（刚性耦合）,，把,K,为对角阵，,M,不是对角阵,的情形称为,动力耦合,或,惯,性耦合,。,5.5,广义坐标与坐标耦合,5.5 广义坐标与坐标耦合,方程是否耦合与广义坐标的选取有关。前面分析的标准,m-k-c,系统就是静力耦合。,对于下面的振动系统，设杆的质量为,m,，绕质心的转动惯量为,J,C,。,5.5 广义坐标与坐标耦合,若取质心位移,x,和转角,q,为广义坐标，则自由振动方程是静力耦合的,5.5 广义坐标与坐标耦合,若坐标,x,不取在质心,而是选在满足,k,1,a,1,k,2,b,2,的,O,点位置,，,利用平面运动微分方程,可,得,到,其中,e,为,O,点距质心的,距离,，这时运动方程是动力耦合的,。,O,5.5 广义坐标与坐标耦合,C,e,a,1,b,1,同样,，若将坐标,x,取在最左端,A,，利用平面运动微分方程得,到,运动方程为,这里的,a,和,b,如,原图所标的位置。方程既是静力耦合又是动力耦合。,5.5 广义坐标与坐标耦合,从前面的分析可知，只要广义坐标形式选择合适，就可以得到没有坐标耦合的运动微分方程，这时的广义坐标称为,主坐标,。,主坐标下的质量矩阵和刚度矩阵除主对角线元素外，其余元素均为零，各个运动方程的坐标之间不存在耦合。,5.6 主坐标,5.6,主坐标,其中,u,是前面得到的振型矩阵,令,将,x,代入原振动方程，化简后就可得到解耦的运动方程（下章证明）,5.6 主坐标,显然上述解耦的方程的解可以用单自由度振动的方法独立求得,将其代入,x,=,u,P,即可得到用原始坐标,x,表示的一般解。,主坐标的概念在强迫振动中具有重要意义。,5.6 主坐标,利用主坐标解耦的方法求解系统响应的基本步骤为：,（,1,）求出原振动方程的固有频率和振幅比，得到振型矩阵,u,；,（,2,）求出主坐标下的响应；,（,3,）利用式,x,=,u,P,得出原广义坐标下的响应；,（,4,）利用初始条件确定常系数。,5.6 主坐标,例,标准,m-k-c,系统中，设,m,1,m,m,2,2,m,k,1,k,2,k,k,3,2,k,c,=0,求系统的固有频率和固有振型。利用坐标变换方法求系统对初始激励的响应，若初始条件,5.6 主坐标,解,:,（,1,）求固有频率和振幅比,得到振型矩阵,u,5.6 主坐标,（,3,）利用式,x,=,u,P,得出,（,2,）主坐标下的响应,（,4,）确定常系数。将初始条件代入得,5.6 主坐标,联立解得,所以,作业：,T5-9,，,15,5.6 主坐标,两自由度,振动微分方程,为,复数解法,5.7,两自由度系统的强迫振动,5.7 两自由度系统的强迫振动,设,干扰力,为谐和函数，并表示为,复数,形式,令方程的解为,其中,X,1,和,X,2,为复振幅。将,上,式代入,方程,得,其中,(,i,j,=1, 2),5.7 两自由度系统的强迫振动,若为无阻尼系统，则,振幅,为,若干扰力为正弦函数,或余弦函数,，则,前面分析中相关的,e,i,w,t,变为,sin,w,t,或,cos,w,t,即可。,5.7 两自由度系统的强迫振动,即,和单自由度的概念类似，可以绘出频率比与振幅之间随阻尼比之间的变化曲线,幅频响应曲线,频率响应曲线 共振现象,5.7 两自由度系统的强迫振动,由此,可看出,:,（1）当激励频率与系统的固有频率接近时，系统出现共振现象，即无阻尼振幅将达到无穷大，所不同的是，两自由度系统有两个共振峰；,（2）阻尼的存在使共振振幅减小，在相同的阻尼下，频率高的共振峰降低的程度比频率低的大,。因此,实际结构的动力响应只需要考虑最低几阶,模态,的,影响,。,5.7 两自由度系统的强迫振动,例,在,标准两自由度,m-k,系统中，设,m,1,m,2,m,，,k,1,k,2,k,3,k,，在第一个质量上作用有干扰力,F,1,(,t,)=,F,0,cos,w,t,，求系统的响应。,解,：,设解为,代入振动方程得,5.7 两自由度系统的强迫振动,即,解得,因此系统的响应为,5.7 两自由度系统的强迫振动,例,T5-45,图示系统，,x,s,a,sin,w,t,，当,w,为基频的,0.707,倍时，车体,W,2,的振幅为,a,的多少倍。已知,W,1,44100 N,，,W,2,441000 N,，,k,1,1.68310,7,N/m,，,k,2,3.13610,8,N/m,。,解,:,振动方程为,即,5.7 两自由度系统的强迫振动,代入数据，求得固有频率为,w,1,18.04,，,w,2,282.97,机车振动频率为,w,0.707,w,1,0.707 18.04,12.76,利用,前面的方法求,得振幅为,作业：,T5-39,5.7 两自由度系统的强迫振动,当机器,转速,在共振区域附近时会引起剧烈的振动，,由单自由度的隔振原理知道，,可以通过调整质量或弹簧刚度,或增加阻尼,来使振动情况得到缓解。,动力吸振器的原理,是,在原系统上附加一个新的,m,-,k,或,m,-,c,系统，使其变成两自由度的振动系统，利用,前面研究的理论,，使原振动系统的振幅,趋于,零。,动力吸振器,5.7 两自由度系统的强迫振动,m,1,-,k,1,为原来的基本振动系统，,m,2,-,k,2,为附加的吸振系统，这两个系统组成的两自由度振动系统的运动微分方程为,无阻尼动力吸振器,5.7 两自由度系统的强迫振动,利用,前面的方法求,得振幅为,引入记号,基本系统的固有频率,;,5.7 两自由度系统的强迫振动,吸振,系统的固有频率,;,基本系统的静位移,;,吸振质量与基本质量之比,.,一般动力吸振器设计成,w,n,w,a,，,引入,频率比,r,，,则振幅,可写为,5.7 两自由度系统的强迫振动,由此可看出：,（,1,）,r,1,即激振频率,w,等于吸振系统固有频率,w,a,时，,X,1,0,，即达到最佳吸振效果；,（,2,）吸振器设计时一般只要求,w,a,w,n,，因此吸振系统的参数有广泛的选择余地。,通常，实际的设计选择是要求适当限制吸振系统运动的振幅,X,2,。由,X,2,/,x,st,的式子可知，质量比,m,越大，在,r,1,时,X,2,越小，因此我们取,m,值不能太小。,5.7 两自由度系统的强迫振动,例,T5-44,机器质量,m,1,90 kg,，减振器质量,m,2,2.25 kg,，机器上偏心块质量为,m,0.5 kg,，偏心距,e,1 cm,，机器转速,n,1800 r/min,。求,5.7 两自由度系统的强迫振动,（,1,）减振器刚度,k,2,多大才能使机器振幅为,0,；（,2,）此时减振器的振幅为多大；（,3,）若使减振器的振幅不超过,2 mm,，应如何改变减振器的参数。,解,:,振动方程为,其中,5.7 两自由度系统的强迫振动,（,1,）,利用,前面求,得,的,振幅,公式,代入数据，令,X,1,0,求得,k,2,79943.8 N/m,（,2,）设,w,1,w,2,求得,k,1,3215517.1 N/m,代入公式求,得,减震器,振幅为,5.7 两自由度系统的强迫振动,（,3,）设减震器,振幅,X,2,=0.002,，同时设,w,1,w,2,求得,k,2,