现代设计方法有限元法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,现代设计方法,有限元法,Advanced Design Methods,Finite Element Method,1,ADM,目 录,第二部分 有限元,序论,第一章 弹性力学简介,1.1 求和约定,1.2 应力与应变,1.2.1 应力,1.2.2 应变,1.2.3 小变形弹性理论基本方程,第二章 有限元理论基础,2.1 变分法原理,2.1.1 变分法第一定理,2.1.2 泛函极值的求解欧拉方程,2.1.3 求解变分问题的近似计算法李兹(Ritz)法,2.2 虚功原理（虚功方程）与能量泛函,2.3 插值及单元位移,2.4 弹性力学有限元的矩阵方程,2,ADM,目 录,第三章 平面问题有限元,3.1 平面问题基本方程及有限元矩阵方程,3.1.1 基本方程,3.1.2 有限元矩阵方程,3.2 三角形场应变单元,3.2.1 离散化,3.2.2 位移模式,3.2.3 应变,3.4 刚度矩阵,3.4.1 单元刚度矩阵,3.4.2 总体刚度矩阵的组装,3.4.3 总体位移向量,3.5 单元的等效节点力与总体载荷向量,3.5.1 单元的等效节点力,3.5.2 总体载荷向量,3,ADM,目 录,3.6 刚度方程求解,3.6.1 边界条件处理,3.7 有限元分析的实施步骤,3.8 有限元计算收敛性,第四章 轴对称问题有限元,4.1 基本方程,4.1.1 平衡方程,4.1.2 几何方程,4.1.3 物理方程,4.2 三角形截面环单元,4.3 轴对称问题的有限元矩阵表达式,4.3.1 单元刚度矩阵,4.3.2 组装总体刚度矩阵,4.3.3 单元等效节点力,4,ADM,目 录,第五章 等参数单元,5.1 平面等参元,5.1.1 坐标变换及位移,5.1.2 应变及应变矩阵,5.1.3 单元刚度矩阵,5.1.4 单元等效节点力,5.1.5 高斯积分,5.1.6 等参元的完备性和协调性,5.2 轴对称等参元,5.2.1 坐标变换及位移,5.2.2 应变及应变矩阵,5.2.3 单元刚度矩阵,5.2.4 单元等效节点力,5.3 等参元的应力、应变计算,5,第六章 杆件系统,第七章 薄板弯曲问题,第八章 结构动力学问题,8.1 结构动力学微分方程,8.2 结构动力学虚功方程,8.3 结构动力学有限元矩阵方程,8.4 结构自由振动有限元矩阵方程模态分析,第九章 塑性力学问题有限元,9.1 屈服与塑性流动,9.1.1 屈服准则,9.1.2 塑性流动本构关系,9.2 弹塑性小变形有限元,9.3 弹塑性有限变形有限元,9.4 刚塑性和刚粘塑性有限元,ADM,目 录,6,ADM,序 论,1. 材料力学的局限性,只能求解梁、杆的应力、应变（变形）状态，对于更一般的结构（如短梁等）不能给出合理的解。原因：材料力学的基本假设于简化。,2. 弹性力学,弹性力学解：求解弹性力学基本方程（包括微分平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件等），得到结构内应力、应变分布的解析解，是结构内应力、变形状态的精确解。,弹性力学求解的困难：弹性力学需求解边值条件下的偏微分方程组，在大多数情况下，不存在显式的解析解。,3.,有限元法（,Finite Element Method-FEM,）,求解偏微分方程解的一种基于变分原理和离散化的数值方法。,4.,弹性（静）力学有限元,求解弹性（静）力学问题的有限元法,7,ADM,序 论,5. 结构动力学有限元,求解动力学问题的有限元法：包括振动、动态响应、模态等。,6.,热传导有限元,求解热传导温度场问题。,7.,塑性有限元,弹塑性小变形有限元：弹塑性小变形过程分析；,弹塑性有限变形有限元：弹塑性大变形过程分析，如压力加工变形过程分析（锻造、冲压）；,刚塑性有限元：不考虑弹性部分的基于速率的大变形过程分析，如压力加工变形过程分析（锻造、冲压）；,8.,其它有限元,流体力学有限元；,电磁场有限元,8,ADM,第一章 弹性力学简介,1.1 求和约定（求和表达式的简化记法）,在表达式的任一项中，当某一下标重复出现时，即表示对该下表从1n求和（求和下表可用任何符号表示，见上式）。,9,ADM,第一章 弹性力学简介,1.2 应力与应变,几个相关概念,外力：体积力，表面力,内力：应力,变形：位移、应变,1.2.1 应力,1. 应力是单位面积上的内力,n,S,m-n,P,10,ADM,第一章 弹性力学简介,2. 应力状态,在过P点的不同截面上，P点的应力不同。 P点的应力状态可以用过P点的三个正交平面xoy,yoz,zox上的应力描述。,点P的应力状态可由9个应力分量描述，,其中，独立的分量为6个,x,y,z,11,ADM,第一章 弹性力学简介,1.2.2 应变,1. 位移,12,2. 应变 应变是对变形的度量,ADM,第一章 弹性力学简介,13,ADM,第一章 弹性力学简介,14,ADM,第一章 弹性力学简介,3. 变形协调方程,15,ADM,第一章 弹性力学简介,16,ADM,第一章 弹性力学简介,变形协调方程的物理意义：变形连续性弹性体变形前是连续的，变形后仍保持连续变形协调约束条件。,17,ADM,第一章 弹性力学简介,1.2.3 小变形弹性理论基本方程,1. 平衡微分方程,18,ADM,第一章 弹性力学简介,19,2. 几何方程（应变位移关系，6个关系式）,ADM,第一章 弹性力学简介,20,ADM,第一章 弹性力学简介,21,ADM,第一章 弹性力学简介,3. 物理方程（应力应变关系）,线弹性虎克定律：,22,初应力（初应变）条件下的应力应变关系,温度应变,预应力,ADM,第一章 弹性力学简介,23,ADM,第一章 弹性力学简介,4. 边界条件,S = S,F,+ S,U,1)应力边界条件（在S,F,上）,2)位移边界条件（在S,U,上）,S,U,S,F,T,弹性力学问题共有6个应力分量、6个应变分量、3个位移分量，共计15个未知变量，对应的方程为：平衡方程3个、几何方程6个、物理方程6个，共计15各；问题可解。在满足边界条件和协调方程约数条件下，存在唯一解。,24,ADM,第二章 有限元理论基础,2.1 变分法原理,研究泛函极值问题,2.1.1 变分法第一定理,2.1.2 泛函极值的求解欧拉方程,25,ADM,第二章 有限元理论基础,26,ADM,第二章 有限元理论基础,由上述推导过程可知，欧拉方程与泛函极值条件等价。,可将微分方程（欧拉方程）的求解转化为对应的泛函的极值问题,。,2.1.3 求解变分问题的近似计算法李兹(Ritz)法,将所求的极值函数近似表示为满足边界条件级数的形式试解函数，级数中包含一些待定参数 a,i,(i = 1,2,3,)，将泛函转变为待定参数a,i,的函数，亦即，将泛函极值得变分问题转化为函数极值问题。,27,ADM,第二章 有限元理论基础,2.2 虚功原理（虚功方程）与能量泛函,1. 平衡微分方程的等价形式,由变分原理可知，存在以下等价关系：,2. 证明虚功方程,28,ADM,第二章 有限元理论基础,上式即为虚功方程。,虚功原理：变形体处于平衡状态，则所有内力（应力）和外力在满足位移边界条件的虚位移上所做功之代数和为零。,写出虚功方程（变分方程）的泛函：,虚功方程表明，问题的真实解使能量泛函（上式）取极小值。,29,ADM,第二章 有限元理论基础,2.3 插值及单元位移,30,ADM,第二章 有限元理论基础,31,ADM,第二章 有限元理论基础,2.4 弹性力学有限元的矩阵方程,1 基本方程,32,ADM,第二章 有限元理论基础,2. 离散化将弹性体分割成有限个单元,33,ADM,第二章 有限元理论基础,34,ADM,第二章 有限元理论基础,3. 单元刚度矩阵的物理意义和性质,1) 物理意义：单位节点位移引起的节点力。单元刚度矩阵的元素称为单元的刚度系数。,2) 性质,a. 对称性,b. 奇异性,35,ADM,第二章 有限元理论基础,4. 总体刚度矩阵的性质,1)对称性；,2) 带状分布；,3) 稀疏性；,4) 奇异性，必须给予位移约束才有唯一解。,2.5 建立有限元基本方程的步骤,1. 建立描述所求解的问题的微分方程；,2. 利用变分原理建立该微分方程的等价变分方程或泛函；,3. 离散化；,4. 由变分方程或泛函极值条件建立有限元的矩阵方程式。,36,3.1 平面问题基本方程及有限元矩阵方程,平面问题：包括平面应力问题与平面应变问题，基本变量与z无关。,平面应力问题：与某一（z坐标）方向有关的应力分量的值为0，应变可由虎克率导出，且与z无关。如薄板受力,平面应变问题：与某一（z坐标）方向有关的应变分量的值为0，应力可由虎克率导出，且与z无关。如水坝变形,可以在xoy平面内研究平面问题二维问题,3.1.1 基本方程,1. 平衡方程,2. 几何方程,ADM,第三章 平面问题有限元,z,z,平面应力,平面应变,37,ADM,第三章 平面问题有限元,3. 物理方程,1) 平面应力,2) 平面应变,38,ADM,第三章 平面问题有限元,4. 离散化及虚功方程,1）平面应力 令 z 轴与厚度方向重合，厚度为 t,2）平面应变 令 z 轴与平面应变方向重合，t 1,39,ADM,第三章 平面问题有限元,3.1.2 有限元矩阵方程,1）平面应力,考虑热应变（初应力、初应变）,40,ADM,第三章 平面问题有限元,2）平面应变,令平面应力有限元矩阵方程中 t = 1， ，,同时将平面应力弹性矩阵替换为平面应变弹性矩阵即为所求。,41,ADM,第三章 平面问题有限元,3.2 三角形场应变单元,3.2.1 离散化,1. 将弹性体划分为有限个互不重叠的三角形单元，这些三角形单元在其顶点（节点）处互相连接，组成一个单元集合体，以替代原来的弹性体。,2. 对单元编号 e = 1,2,3,n;,3. 对节点编号 k =1,2,3,N;,4. 建立单元与节点的对应关系表,e k(逆时针),1 3, 5, 8,q,离散化,P,1,P,2,P,3,42,ADM,第三章 平面问题有限元,3.2.2 位移模式,i,m,j,u,j,u,i,u,m,v,j,v,j,v,m,v,i,v,u,e,x,y,43,ADM,第三章 平面问题有限元,线性位移模式满足变形相容性要求，即不重叠、不开裂；反映常应变和刚体位移。,位移模式可根据,巴斯卡三角形,选择，这样可以保证位移函数的几何各向同性，即与坐标系方位无关。,1,x y,x,2,xy y,2,44,ADM,第三章 平面问题有限元,3.2.3 应变,3.4 刚度矩阵,3.4.1 单元刚度矩阵,45,ADM,第三章 平面问题有限元,3.4.2 总体刚度矩阵的组装,设单元数为 n ，节点数为 N 。,1. 将单元刚度矩阵 方阵扩大为 方阵,46,ADM,第三章 平面问题有限元,2. 求和,3.4.3 总体位移向量,3.5 单元的等效节点力与总体载荷向量,3.5.1 单元的等效节点力,47,ADM,第三章 平面问题有限元,3.5.2总体载荷向量,48,ADM,第三章 平面问题有限元,3.6 刚度方程求解,3.6.1 边界条件处理,将位移边界条件引入刚度方程,49,ADM,第三章 平面问题有限元,方法(1)对刚度方程改动大，繁琐；方法(2)仅改变位移约束对应的刚度矩阵对角线元素和相应的载荷向量元素，简便。,50,ADM,第三章 平面问题有限元,3.7 有限元分析的实施步骤,1. 结构建模（三维）；,2. 设定材料常数，弹性模量、泊松比。；,3. 载荷、位移边界条件 ；,4. 划分（三角形）单元，对单元编号 e = 1,2,3,n（自动/半自动）;,5. 对节点编号 k =1,2,3,N，列出单元与节点的对应关系表；,6. 计算等效节点力；,7. 形成单元刚度矩阵；,8. 组装整体刚度矩阵；,9. 引入位移边界条件；,10. 求解刚度方程，得节点位移；,11. 应力、应变及其分布（各个方向的应力、应变及Mises应力）,51,ADM,第三章 平面问题有限元,有限元分析注意事项：,1. 利用刚度矩阵对称性；,2. 优化节点编号，减小使刚度矩阵半带宽(刚度矩阵按半带宽存储)，,3. 单元划分密度 ；,4. 三角形单元节点编号顺序逆时针（三角形面积为正值）；,6. 计算结果后处理色温图、等值线；,7. 位移约束节点上得（支座）约束反力从刚度方程求出,52,ADM,第三章 平面问题有限元,3.8 有限元计算收敛性,1. 对给定得位移模式，其刚度系数比精确的大。,在给定载荷下，计算变形比真是变形小；,在给定位移下，计算载荷比真是载荷大。,2. 完备单元,1）位移模式包含刚体位移（常数项）；,2）位移模式包含常应变（线性项均匀变形）。,3. 协调单元,位移模式使位移在单元内连续，并使相邻单元间变形协调。,不开裂、不重叠。,4. 完备协调单元 位移模式满足完备性和协调性的单元。,5. 收敛性,采用完备单元，当单元密度足够时，有限元解收敛于真实解。,53,ADM,第四章 轴对称问题有限元,弹性体轴对称载荷及位移约束条件轴对称。,可以用子午面来描述。子午面上一点变形前后仍在该子午面上。,采用圆柱坐标系，各变量与极角无关。,4.1 基本方程,4.1.1 平衡方程,4.1.2 几何方程,x,y,z,54,ADM,第四章 轴对称问题有限元,4.1.3 物理方程,55,ADM,第四章 轴对称问题有限元,4.2 三角形截面环单元,1. 三角形截面环单元的形成,三角形ijm绕z轴旋转360,。,2. 节点位移,r,z,i,m,j,56,ADM,第四章 轴对称问题有限元,3. 位移模式（线性）,57,ADM,第四章 轴对称问题有限元,4. 三角形截面环单元应变奇异的应变处理（对有节点在 z 轴上的单元）,58,ADM,第四章 轴对称问题有限元,59,ADM,第四章 轴对称问题有限元,4.3 轴对称问题的有限元矩阵表达式（三角形截面环单元）,4.3.1 单元刚度矩阵,4.3.2 组装总体刚度矩阵（同平面问题）,4.3.3 单元等效节点力,60,ADM,第四章 轴对称问题有限元,几种常见载荷的等效节点力,61,ADM,第五章 等参数单元,5.1 平面等参元,三角形常应变单元的缺点：1）常应变与实际不符；2）不能很好地反映曲线边界；3）精度低。解决办法：采用高次曲边四边形。等参数单元是（高次曲边）四边形的一种。,等参数单元：描述单元几何形状的节点与描述单元变形（位移）所用的节点相同。,5.1.1 坐标变换及位移,单元几何形状描述的节点,单元位移描述的节点,x,y,8节点四边形等参元,62,ADM,第五章 等参数单元,63,ADM,第五章 等参数单元,5.1.2 应变及应变矩阵,64,ADM,第五章 等参数单元,5.1.3 单元刚度矩阵,5.1.4 单元等效节点力,65,ADM,第五章 等参数单元,5.1.5 高斯积分数值积分,66,ADM,第五章 等参数单元,5.1.6 等参元的完备性和协调性,1. 完备性,2. 协调性,x,y,67,ADM,第五章 等参数单元,5.2 轴对称等参元,5.2.1 坐标变换及位移,5.2.2 应变及应变矩阵,68,ADM,第五章 等参数单元,5.2.3 单元刚度矩阵,5.2.4 单元等效节点力（处理方法与平面问题相同）,69,ADM,第五章 等参数单元,5.3 等参元的应力、应变计算,一般取高斯积分点或节点作为应力、应变的计算点。,第六章 杆件系统,杆单元与梁单元,第七章 薄板弯曲问题,板单元,70,ADM,第八章 结构动力学问题有限元,8.1 结构动力学微分方程,8.2 结构动力学虚功方程,71,8.3 结构动力学有限元矩阵方程,ADM,第八章 结构动力学问题有限元,72,ADM,第八章 结构动力学问题有限元,73,ADM,第八章 结构动力学问题有限元,8.4 结构自由振动有限元矩阵方程模态分析,74,ADM,第八章 结构动力学问题有限元,75,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,9.1 屈服与塑性流动,9.1.1,屈服准则,1. Tresca Criteria最大切应力条件,2. Von Mises Criteria弹性形状畸变能条件,9.1.2 塑性流动本构关系 (Prantl-Reuss方程),塑性应变增量/速率主轴与应力主轴重合且与应力偏量成正比,（Mises屈服准则）正交相关流动法则,76,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,9.2 弹塑性小变形有限元,9.2.1 增量式弹塑性本构关系（应力应变关系）,1. 弹性应力应变关系,2. 塑性应力应变关系,77,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,78,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,79,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,80,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,81,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,9.2.2 增量式刚度方程,82,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,9.2.3 刚度方程求解,1. 增量变刚度法,直接求解刚度方程,2. 初载荷法,1）初应力法,83,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,2）初应变法,84,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,9.3 弹塑性有限变形有限元,9.3.1 有限变形的应变与应力,1. 小变形应变的适用性,85,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,2. 描述大变形的有限应变,拉格朗日描述（变形前坐标）Lagrange,欧拉描述（变形后坐标）Euler,86,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,3. 有限变形的应力,拉格朗日描述（变形前坐标）Lagrange,欧拉描述（变形后坐标）Euler,Cauchy应力：欧拉描述（变形后坐标）的应力，真实应力；,Lagrange应力：拉格朗日描述（变形前坐标）的应力（工程应力）；,Kirchhoff应力：变换应力，与Green应变乘积为变形能。,87,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,9.3.2 有限变形有限元方程,1. 有限变形虚功方程,88,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,89,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,90,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,91,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,92,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,93,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,9.4 刚塑性有限元,9.4.1 刚塑性假设,1. 不计弹性变形；,2. 塑性变形服从Levy-Mises流动法则；,3. 均质各向同性；,4. 体积不可压缩；,（5. 不计体积力和惯性力）,9.4.2 基本方程和边值条件,1. 平衡方程,2. 几何方程位移速度应变速率关系,刚塑性,弹塑性,94,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,3. 本构方程Levy-Mises流动法则,4. 屈服准则Von Mises准则,95,5. 体积不可压缩条件,6. 边界条件,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,9.4.3 刚塑性变分原理（极值原理）Markov变分原理,在满足位移速度边界条件和不可压缩条件的动可容速度场u,*,ij,中，真实解使泛函,变分为0，且取极小值。,96,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,97,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,9.4.4 拉格朗日乘子法,利用拉格朗日乘子将不可压缩约束条件引入能量泛函，得新泛函,可以证明，当泛函取驻值时，拉格朗日乘子等于平均应力。,98,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,拉格朗日乘子法泛函的矩阵形式,1. 离散化,将变形体分割为n个单元（有N个节点），则,99,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,100,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,101,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,2. 线性化求解,102,1. 初始速度场；,2. 收敛准则：相对误差范数或泛函一阶变分（微分）；,3. 缩减系数（阻尼系数）,4. 奇异点处理双速度点；,5. 摩擦：常摩擦；常摩擦系数,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,9.4.5 其它刚塑性有限元法,1. 罚函数法将体积应变率为0作为等式约束引入泛函，即将一非常大的整数乘以体积应变率平方并对整个变形体体积积分。,2. 可压缩法采用多孔体塑性理论,9.4.5 刚塑性有限元中的几个问题,库仑摩擦；线性粘摩擦；,反正切函数摩擦,；,6. 有限元网格生成与重划分；,7. 工具位移增量(时间增量),1%,（保证体积损失,2%）；,8. 节点接触模具于脱离模具的处理；,9. 考虑硬化阶段硬化代替真实硬化曲线。,103,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,9.4.6 刚粘塑性有限元法,9.4.7 刚(粘)塑性有限元商品化软件（体积成形）,1. Deform(美国SFTC公司),2. Auto-Forge(美国),3. ForgeIII(法国),9.4.8 刚(粘)塑性有限元应用（体积成形）,1. 过程仿真（虚拟成形）,2. 缺陷预测,3. 工艺、模具优化,104,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,9.5 板料成形过程模拟的有限元法,9.5.1 板料成形的特点,1. 大变形；,2. 小应变（与体积成形相比）；,3. 大转动；,3. 弹性变形与弹性恢复不可忽略；,4. 准静态过程；,5. 各向异性（主要是板面和厚度变形塑性应变比r）；,6. 厚度尺寸大大小于板面方向尺寸壳单元。,9.5.2 板料成形过程模拟技术的应用,1. 过程仿真（虚拟成形）,2. 缺陷预测拉裂、起皱、回弹。,3. 工艺优化拉延筋、坯料、工艺过程。,105,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,9.5.3 各向异性模型,1. Hill 模型正交异性、厚向异性,对于板料成形，假设在板面内各向同性，只考虑厚向异性，同时引入厚向异性参数塑性应变比r，板料屈服准则为，,106,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,2. Barlat 模型面内各向异性,107,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,9.5.4 板壳理论极壳单元,1. Kirchhoff 板壳理论,板壳 表面光滑，即位移及其一阶导数连续；,板壳 表面法向应力为,0,；,中面的法线变形后仍为中面的法线，且仍为直线；,厚向纤维无挤压；,厚向剪应力为,0,2.,壳单元,一种特殊的三维单元,3.,Midlin-Reissner,壳单元,108,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,109,ADM,第九章 塑性力学问题有限元,110,