传感器原理及工程应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 1 章 传感与检测技术的理论基础,传感器技术,数学,电子电路,物理,电 学,非电量变换为电量,电磁感应,光学、光电,声学,磁电感应,生物,化学,电阻,电容,电感,气敏,湿敏,第 1 章 传感与检测技术的理论基础,1.1 测量概论,1.2 测量数据的估计和处理,1.1 测量概论,1.1.1 测量,测量,是以确定被测量的值或获取测量结果为目的的一系列操作。 所以,测量,也就是将被测量与同种性质的标准量进行比较， 确定被测量对标准量的倍数。它可由下式表示：,式中：,x,-被测量值； ,u,-标准量，即测量单位； ,n,-比值（纯数），含有测量,误差。,(1-1),(1-2),测量结果,:,由测量所获得的被测量的值。,测量结果的表示,：可用,一定的数值表示,，也可以,用一条曲线,或,某种图形表示,，但无论其表现形式如何，,测量结果,应包括比值和测量单位,。,测量结果,仅仅是被测量的最佳估计值，并非真值，所以还应给出,测量结果,的质量， 即,测量结果,的可信程度。这个可信程度用测量不确定度表示，测量不确定度表征测量值的分散程度。因此,测,量结果,的完整表述应包括估计值、 测量单位及测量不确定度。,被测量值,和,比值等,都是测量过程的,信息,，这些信息依托于物质才能在空间和时间上进行传递。被测量作用到实际物体上， 使其某些参数发生变化，参数承载了信息而成为信号。选择其中适当的参数作为测量信号，例如,热电偶温度传感器,的工作参数是热电偶的,电势E,AB,，,差压流量传感器,中的孔板工作参数是,差压,p,。测量过程就是传感器从被测对象获取被测量的信息，建立起测量信号，经过,变换、传输、处理,，从而获得被测量值的过程。,现代信息技术的三大基础,信息的拾取,处理技术,传感技术,通信技术,计算机技术,传输,1.1.2 测量方法,测量方法,：实现被测量与标准量比较得出比值的方法。,针对不同测量任务，进行具体分析，找出切实可行的测量方法， 对测量工作是十分重要的。对于测量方法，从不同角度，有不同的分类方法。,根据获得测量值的,方法,可分为,：,直接测量、间接测量和组合测量,；,根据,测量方式,可分为：偏差式测量、零位式测量与微差式测量；,根据,测量条件,不同,可分为：等精度测量与不等精度测量等。,根据,被测量变化快慢,可分为：静态测量与动态测量；,根据,测量敏感元件是否与被测介质接触,可分为：接触式测量与非接触式测量；,根据,测量系统是否向被测对象施加能量,可分为主动式测量与被动式测量。,1. 直接测量、 间接测量与组合测量,直接测量,:,在使用仪表或传感器进行测量时，测得值直接与标准量进行比较，不需要经过任何运算，直接得到被测量的数值。被测量与测得值之间关系可用下式表示：,y=x,(1 - 3),式中：,y,被测量的值； ,x,直接测得值。,例如，用磁电式电流表测量电路的某一支路电流，用弹簧管压力表测量压力等，都属于直接测量。直接测量的优点是测量过程简单而又迅速， 缺点是测量精度不容易达到很高。, ,A,V,R3,R1,R2,间接测量,：,用仪表或传感器进行测量时，首先对与被测量有确定函数关系的几个量进行直接测量，,将直接测得值代入函数关系式，,经过计算得到所需要的结果,。间接测量与直接测量不同，被测量,y,是一个测得值,x,或几个测得值,x,1,，,x,2,，,，,xn,的函数，即,y,=,f,(x),或,y,=,f,(,x,1,x,2, ,x,n,),例：P=IU = I*R,2,=U,2,/R,(1-4),(1-5),被测量y不能直接测量求得，必须有测得值,x,或,x,i,（,i,=1，2，,n,）及与被测量,y,的函数关系确定。如直接测量电压值U和电阻值R， 根据式,P=U,2,/,R,求电功率,P,即为间接测量的实例。间接测量手续较多，用在直接测量不方便， 或者缺乏直接测量手段的场合。,组合测量：,求解方程组，方程组中的个数,n,要大于被测量,y,的个数,m,，用最小二乘法求被测量的数值。,组合测量适用于科学实验或特定场合。,最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化,技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳,函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的,数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差,的平方和为最小。,2. 偏差式测量、 零位式测量与微差式测量,偏差式测量,：,用仪表指针的位移（即偏差）决定被测量的量值。,偏差式测量应用,:,在测量时，输入被测量按照仪表指针在标尺上的示值， 决定被测量的数值。,偏差式测量特点,：测量过程简单、迅速，但测量结果的精度较低。,零位式测量,：用指零仪表的零位反映测量系统的平衡状态，在测量系统平衡时，用已知的标准量决定被测量的量值。在零位测量时，已知标准量直接与被测量相比较，已知标准量应连续可调，指零仪表指零时，被测量与已知标准量相等。,零位式测量应用,：天平测量物体的质量、电位差计测量电压等。,零位式测量特点,：可以获得比较高的测量精度，但测量过程比较复杂，费时较长，不适用于测量变化迅速的信号。,微差式测量,：,综合了偏差式测量与零位式测量的优点而提出的一种测量方法。它将被测量与已知的标准量相比较，取得差值后，再用偏差法测得此差值。,微差式测量应用,:,这种方法测量时，不需要调整标准量，而只需测量两者的差值。 设：,N,为标准量，,x,为被测量，,为二者之差，则,x=N+,。,由于N是标准量，其误差很小，且N，因此可选用高灵敏度的偏差式仪表测量，即使测量的精度不高，但因1时，则,系统的输入输出关系为：,1.1.4 测量误差,测量误差,是测得值减去被测量的真值。,如何得到真值？,1、用约定真值代替真值，常用某量的多次测量结果来确定约定真值。,2、精度高的仪器测得的值代替约定真值,。,测量结果可靠性,不同场合对测量结果可靠性的要求也不同。,例如：在量值传递、经济核算、 产品检验场合应保证测量结果有足够的准确度。当测量值用作控制信号时，则要注意测量的稳定性和可靠性。,测量结果的准确程度，应与测量的目的与要求相联系，相适应。要有技术与经济兼顾的意识。,准确度（Accuracy）：指在一定实验条件下多次测定的平均值与真值相符合的程度，以误差来表示。它用来表示系统误差的大小。,精密度（Precision）：是指多次重复测定同一量时各测定值之间彼此相符合的程度。表征测定过程中,随机误差,的大小。（不同于bias）,精确度=准确度+精密度,Low Accuracy,High Precision,High Accuracy,Low Precision,High AccuracyHigh Precision,1. 测量误差的表示方法,测量误差的表示方法有多种，含义各异。 ,（1）,绝对误差,绝对误差可用下式定义：,=,x-L,式中: 绝对误差； ,x,测量值； ,L,真值。 ,绝对误差是有正、 负并有量纲的。,(1-11),在实际测量中，有时要用到修正值，修正值是与绝对误差大小相等、 符号相反的值， 即,c,=-,(1-12),式中，,c,为修正值，通常用高一等级的测量标准或标准仪器获得修正值。 ,利用修正值可对测量值进行修正，从而得到准确的实际值, 修正后的实际测量值,x,为,x,=,x+c,(1-13),修正值给出的方式，可以是具体的数值，也可以是一条曲线或公式。,采用绝对误差表示测量误差的，不能很好说明测量质量的好坏。例如，在温度测量时，绝对误差=1，对体温测量来说是不允许的，而对钢水温度测量来说是极好的测量结果，所以,用相对误差可以比较客观地反映测量的准确性,。,绝对误差的适用场合,（2）,实际相对误差,实际相对误差,的定义由下式给出：,(1-14),式中：,实际相对误差， 一般用百分数给出； ,绝对误差； ,L,真值。 ,由于被测量的真值,L,无法知道，实际测量时用测量值,x,代替真值L进行计算，这个相对误差称为,标称相对误差,， 即,(1-15),（3）,引用误差,引用误差是仪表中通用的一种误差表示方法。 它是相对于仪表满量程的一种误差，又称满量程相对误差，一般也用百分数表示。 即,式中：,引用误差； ,绝对误差。 ,仪表精度等级是根据最大引用误差来确定的,。例如，级表的引用误差的最大值不超过0.5%；级表的引用误差的最大值不超过1%。 ,(1 - 16),我国工业仪表等级分为七个等级,并标志在仪表刻度标尺或铭牌上.仪表准确度习惯上称为精度,准确度等级习惯上称为精度等级。 仪表精度=（绝对误差的最大值/仪表量程）*100% 。以上计算式取绝对值去掉%就是我们看到的精度等级了。,在仪表和传感器使用时，经常会遇到基本误差和附加误差两个概念,（4）,基本误差,基本误差是指传感器或仪表在规定的标准条件下所具有的误差。例如，某传感器是在电源电压(2205)V、 电网频率(502) Hz、环境温度(205)、湿度65%5%的条件下标定的。如果传感器在这个条件下工作，则传感器所具有的误差为基本误差。仪表的精度等级就是由基本误差决定的。 ,（5）,附加误差,附加误差是指传感器或仪表的使用条件偏离额定条件下出现的误差。例如，温度附加误差、频率附加误差、 电源电压波动附加误差等。,2. 测量误差的性质,根据测量数据中的误差所呈现的规律及产生的原因可将其分为系统误差、随机误差和粗大误差。 ,（1）,随机误差,在同一测量条件下，多次测量被测量时，其绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差称为随机误差。 ,在我国新制订的国家计量技术规范JJF1001-1998,通用计量术语及定义,中，对随机误差的定义：,随机误差是将测量结果与在,重复性条件,下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。,重复性条件,包括： 相同的测量程序，相同的观测者， 在相同的条件下使用相同的测量仪器，相同的地点，在短时间内重复测量。,(1 - 17),式中：,x,i,被测量的某一个测量值； ,x,重复性条件下无限多次的测量值的平均值， 即,(,n,),由于重复测量实际上只能测量有限次，因此实用中的,随机误差只是一个近似估计值,。 ,对于随机误差不能用简单的修正值来修正，当测量次数足够多时， 随机误差就整体而言，服从一定的,统计规律,，通过对测量数据的统计处理可以计算随机误差出现的可能性的大小。,随机误差,可用下式表示：,（2）,系统误差,1）,恒值系统误差,：,在同一测量条件下，多次测量被测量时， 绝对值和符号保持不变的误差。,2）,变值系统误差,：,在条件改变时，按一定规律（如线性、 多项式、 周期性等函数规律）变化的误差。,在我国新制订通用计量术语及定义中，对系统误差的定义是，在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值,L,之差。 它可用下式表示：,系统误差=,x,-,L,系统误差的估计,因为,真值,不能通过测量获知，所以通过有限次测量的平均值,x,与,L,的,约定真值,近似地得出系统误差。,系统误差的作用：,得出的系统误差可对测量结果进行修正，但由于系统误差不能完全获知，因此通过修正值对系统误差只能有限程度地补偿。 ,引起系统误差的原因,：测量方法不完善，零点未调整，采用近似的计算公式，测量者的经验不足等等。对于系统误差，首先要查找误差根源，并设法减小和消除，而对于无法消除的恒值系统误差，可以在测量结果中加以修正。,（3）,粗大误差,超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差， 粗大误差又称,疏忽误差,。 ,粗大误差发生原因,：是由于测量者疏忽大意，测错、读错或环境条件的突然变化等引起的。含有粗大误差的测量值明显地歪曲了客观现象， 故含有,粗大误差的测量值称为坏值或异常值,。,在数据处理时,，要采用的测量值不应该包含有粗大误差， 即,所有的坏值都应当剔除,。所以进行误差分析时，要估计的误差只有系统误差和随机误差两类。 ,1.2 测量数据的估计和处理,1.2.1 随机误差的统计处理,1. 正态分布,随机误差,多次等精度地重复测量同一量值时，得到一系列不同的测量值，即使剔除了坏值，并采取措施消除了系统误差，然而每个测量值数据各异，可以肯定每个测量值还会含有误差。这些误差的出现没有确定的规律，具有随机性。,随机误差的分布规律,可以在大量测量数据的基础上总结出来，就误差的总体来说是服从统计规律的。由于大多数随机误差服从正态分布，因而正态分布理论就成为研究随机误差的基础。,对称性：,绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相等，误差所具有的这个特性。 ,有界性：,在一定测量条件下的有限测量值中，其随机误差的绝对值不会超过一定的界限的特性。 ,单峰性：,绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现的次数多的特性。,误差的抵偿性：,对同一量值进行多次测量，其误差的算术平均值随着测量次数n的增加趋向于零的特性。,随机误差一般具有以下几个性质,抵偿性,是由第一个特性推导出来的, 因为绝对值相等的正误差与负误差之和可以互相抵消。对于有限次测量，随机误差的平均值是一个有限小的量， 而当测量次数无限增多时，它趋向于零。抵偿性是随机误差的一个重要特征，凡是具有抵偿性的， 原则上都可以按随机误差来处理。 ,设对某一被测量进行多次重复测量，得到一系列的,测量值为,x,i,，设,被测量的真值为,L,，则测量列中的,随机误差,i,为,i,=,x,i,-,L,i,=1,2, ,n,(1 - 19),图 1 - 4 正态分布曲线,正态分布的概率分布密度,f,(,)为,(1-20),正态分布的分布密度曲线如图1 - 4 所示，即为一条钟形的曲线，称为正态分布曲线，其中,L、,（,0）是正态分布的两个参数。 从图中还可以看到， 曲线在,L,（或,）处有两个拐点。,2. 随机误差的数字特征,(1),算术平均值,x,正态分布是以,x,=,L,为对称轴，它是正态总体的平均值,。由于在测量过程中，不可避免地存在随机误差，因此我们无法求得测量的真值。,但如随机误差服从正态分布，算术平均值处随机误差的概率密度最大，即算术平均值与被测量的真值最为接近， 随着测量次数增加，算术平均值越趋近于真值。,如果对某一量进行无限多次测量，就可以得到不受随机误差影响的值，或其影响甚微，可以忽略。由于实际上是有限次测量，因而有限次直接测量中算术平均值是诸测量值中最可信赖的，把它作为等精度多次测量的结果， 即被测量的,最佳估计值,。,对被测量进行等精度的,n,次测量，得,n,个测量值,x,1,x,2,x,n,，它们的算术平均值为,(1-21),由于被测量的真值为未知，不能按式（1 - 19）求得随机误差， 这时可用,算术平均值代替被测量的真值,进行计算， 则有,式中,v,i,为,x,i,的残余误差,（简称残差）。,(1-22),测量值,i,=,x,i,-,L,i,=1,2, ,n,(1 - 19),（2）,标准偏差,标准偏差,简称为标准差,，又,称均方根误差,。标准差,刻划总体的分散程度，图1-5给出了,L,相同，,不同（,，,=1，,）的正态分布曲线，,标准偏差,值愈大，曲线愈平坦，即随机变量的分散性愈大；反之，愈小，曲线愈尖锐（集中），随机变量的分散性愈小,。,图 1-5 不同,的正态分布曲线,标准差,由下式算得:,(1 - 23),随机误差,测量的真值,测量值,是在当测量次数趋于无穷时得到的，它是正态总体的平均值，称为,理论标准差或总体标准差,。但在实际测量中不可能得到， 因为被测量是在重复性条件下进行有限次测量，用算术平均值代替真值，此时,表征测量值,（随机误差）分散性的量,用标准差的估计值,s,表示，它是评定单次测量值不可靠性的指标， 由贝塞尔公式计算得到，即,(1-24),式中：,x,i,第,i,次测量值； ,x,n,次测量值的算术平均值； ,v,i, 残余误差，即,v,i,=,x,i,-,x,。,标准差的估计值,s,也可用代号,s,表示,。标准差的估计值,又称为样本标准差,，它是作为总体标准差的估计值，但并不是,的无偏估计，而样本方差,2,s,才是总体方差,2,的无偏估计。标准差的估计值是方差的正平方根， 具有与,x,i,相同的量纲。,若对被测量进行,m,组的“多次重复测量”，若这些测量值已消除了系统误差，只存在随机误差，各组所得的算术平均值,x,1,x,2, ,x,m,各不相同，也是随机变量，它们分布在期望值附近， 但比测量值靠近于期望值，随着测量次数的增多，平均值将收敛于期望值。,算术平均值的可靠性指标,用算术平均值的标准差,x,来评定，它与标准差的估计值,s,的关系如下：,由式可见，在测量条件一定的情况下，算术平均值的标准差,x,随着测量次数,n,的增加而减小，算术平均值愈接近期望值。,(1-25),图 1 - 6,x,/,s,与,n,的关系曲线,图1-6所示为,x,/,s,比值与,n,的关系曲线。从图中可见，当,n,增加到一定次数（例如10次）以后，,x,的减小就变得缓慢，所以,不能单靠无限地增加测量次数来提高测量精度,。实际上测量次数愈多，愈难保证测量条件的稳定，从而带来新的误差。所以在一般精密测量中，重复性条件下测量的次数,n,大多少于10，此时如要进一步提高测量精度，则应采取其它措施（如提高仪器精度， 改进测量方法，改善环境条件等）来解决。,算术平均值的标准差 标准差的估计值,3. 正态分布随机误差的概率计算,如随机变量符合正态分布，它出现的,概率就是正态分布曲线下所包围的面积,。因为全部随机变量出现的总的概率为1，所以曲线所包围的面积应等于1，即,随机变量落在任意区间（,a，b,）的概率为,式中,P,a,为置信概率,。,是正态分布的特征参数，区间通常表示成,的倍数，如,k,。由于随机变量分布对称性的特点，常取对称的区间，即在,k,区间的,概率为,式中:,k,置信系数； ,k,置信区间(误差限)。,表1 - 1 正态分布的k值及其相应的概率,随机变量落在,k,范围内出现的概率为,P,a,，则超出的概率称为,置信度，又称为显著性水平，用,表示,=1-,P,a,（1 - 27）,从表1-1可知，,当,k,=1时，,Pa,，即测量结果中随机误差出现在-,+,范围内的概率为%,而残余误差绝对值|,v,|,的概率为31.73%。,出现在-3,+3,范围内的概率是,99.73%,因此可以认为绝对值大于3,的误差是不可能出现的，通常把这个误差称为极限误差,lim，即,极限误差,lim=3,。,图 1 - 7,P,a,与,关系,概率与置信度的关系,【例1-1】对某一温度进行10次精密测量，测量数据如表1 - 2所示，设这些测得值已消除系统误差和粗大误差，求测量结果。,表1-2 测量数据,解：,算术平均值,标准差的估计值,算术平均值的标准差,测量结果可表示为,或,按照上面分析，测量结果可用算术平均值表示，因为算术平均值是被测量的最佳估计值，在测量结果中还应包括测量不确定度。,4. 不等精度直接测量的权与误差,等精度直接测量,前面讲述的内容是等精度测量的问题。严格地说，绝对的等精度测量是很难保证的，但对条件差别不大的测量，一般都当作等精度测量对待，某些条件的变化，如测量时温度的波动等， 只作为误差来考虑。,不等精度直接测量,有时在科学研究或高精度测量中，为了获得足够的信息，有意改变测量条件，比如不同的地点、用不同精度的仪表，或是用不同的测量方法等进行测量，这样的测量属于不等精度测量。 ,对于不等精度的测量，测量数据的分析和综合不能套用前面等精度测量的数据处理的计算公式，需推导出新的计算公式。,（1） “权”的概念,在,等精度测量,中，即多次重复测量得到的各个测得值具有相同的精度，可用同一个标准偏差值来表征，或者说各个测得值具有相同的可信程度，并取所有测量值的算术平均值作为测量结果。 ,在,不等精度测量,时，对同一被测量进行m组独立无系统误差及无粗大误差的测量，得到m组测量列（进行多次测量的一组数据称为一测量列）的测量结果及其误差，由于各组测量条件不同，各组的测量结果及误差不能同等看待，即各组测量结果的可靠程度不一样。 测量精度高（即标准差小）的测量列具有较高的可靠性。为了衡量这种可靠性和可信赖程度，引进“权”的概念。,“权”可理解为各组测量结果相对的可信赖程度。测量次数多，测量方法完善，测量仪表精度高，测量的环境条件好，测量人员的水平高， 则测量结果可靠，其权也大。,权是相比较而存在的。 权用符号p表示， 有两种计算方法： , 用各组测量列的测量次数n的比值表示,p,1,p,2, .,p,m,=,n,1,n,2,.,n,m,(1-28), 用各组测量列的标准差平方的倒数的比值表示,从式（1 - 29）可看出：每组测量结果的权与其相应的标准差平方成反比。如果已知各组算术平均值的标准差，即可确定响应权的大小。测量结果权的数值只表示各组间的相对可靠程度，它是一个无量纲的数。通常在计算各组权时，令最小的权数为“1”， 以便用简单的数值来表示各组的权。,(1-29),（2） 加权算术平均值,x,p,在等精度测量时，测量结果的最佳估计值用算术平均值表示; 而在不等精度测量时，测量结果的最佳估计值用加权算术平均值表示。加权算术平均值不同于一般的算术平均值，它是各组测量列的全体平均值，不仅要考虑各测得值，而且还要考虑各组权。 ,若对同一被测量进行m组不等精度测量，得到,m,个测量列的算术平均值，相应各组的权分别为,p,1,p,2, .,p,m,， 则加权平均值可用下式表示：,（1-30）,（3）加权算术平均值 的标准差 用加权算术平均值作为不等精度测量结果的最佳估计值时，其精度由加权算术平均值的标准差来表示。 ,对同一个被测量进行,m,组不等精度测量，得到,m,个测量结果 ，则加,权算术平均值,x,p,的标准差,可由下式计算:,(1 - 31),【例1-2】 用三种不同的方法测量某电感量，三种方法测得的各平均值与标准差为,求电感的加权算术平均值及其加权算术平均值的标准差。,解,：令,p,3,=1，则,加权算术平均值为,加权算术平均值的标准差为,残余误差,1.2.2 系统误差的通用处理方法,1. 从误差根源上消除系统误差,查找误差根源的关键， 就是要对测量设备、测量对象和测量系统作全面分析，明确其中有无产生明显系统误差的因素，并采取相应措施予以修正或消除。通常，我们可以从以下几个方面进行分析考虑：,传感器、测量仪表或组成元件是否准确可靠,比如传感器或仪表灵敏度不足，仪表刻度不准确，变换器、放大器等性能不太优良等都会引起误差， 而且是常见的误差。 ,测量方法是否完善,如用电压表测量电压，电压表的内阻对测量结果有影响。 ,传感器仪表安装、调整或放置是否正确合理,例如，未调好仪表水平位置，安装时仪表指针偏心等都会引起误差。 ,传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件,例如: 环境、 温度、 湿度、 气压等的变化也会引起误差。 ,测量者操作是否正确,例如， 读数时视差、 视力疲劳等都会引起系统误差。,2. 系统误差的发现与判别,发现系统误差一般比较困难，下面只介绍几种发现系统误差的一般方法。 ,（1）,实验对比法,这种方法是通过改变产生系统误差的条件从而进行不同条件的测量，来发现系统误差的。,实验对比法,适用于发现固定的系统误差。例如，一台测量仪表本身存在固定的系统误差，即使进行多次测量也不能发现，只有用更高一级精度的测量仪表测量时，才能发现这台测量仪表的系统误差。,（2）,残余误差观察法,这种方法是根据测量值的残余误差的大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无变化的系统误差。把残余误差按照测量值先后顺序作图。,图 1 - 8 残余误差变化规律,残余误差有规律地递增(或递减),残余误差大小和符号大体呈周期性,残余误差变化规律较复杂,表明存在线性变化的系统误差,可以认为有周,期性系统误差,怀疑同时存在线,性系统误差和周,期性系统误差,（3）,准则检查法,目前已有多种准则供人们检验测量数据中是否含有系统误差。 不过这些准则都有一定适用范围。 ,如马利科夫判据将残余误差前后各半分为两组，若“,v,i,前”与“,v,i,后”之差明显不为零，则可能含有线性系统误差。 ,阿贝检验法,是检查残余误差是否偏离正态分布，若偏离， 则可能存在变化的系统误差。将测量值的残余误差按测量顺序排列, 且设,A,=,v,2,1,+,v,2,2,+,v,2,n,B,=(,v,1,-,v,2,),2,+(,v,2,-,v,3,),2,+ +(,v,n,-1,-,v,n,),2,+(,v,n,-,v,1,),2,若,则可能含有变化的系统误差， 但类型不能判定。,3. 系统误差的消除,（1）,在测量结果中进行修正,对于已知的恒值系统误差，可以用修正值对测量结果进行修正；对于变值系统误差，设法找出误差的变化规律，用修正公式或修正曲线对测量结果进行修正； 对未知系统误差，则按随机误差进行处理。 ,（2）,消除系统误差的根源,在测量之前，仔细检查仪表，正确调整和安装；防止外界干扰影响；选好观测位置消除视差； 选择环境条件比较稳定时进行读数等。,（3）,在测量系统中采用补偿措施,找出系统误差规律在测量过程中自动消除系统误差。 如用热电偶测量温度时，热电偶参考端温度变化会引起系统误差，消除此误差的办法之一是在热电偶回路中加一个冷端补偿器，从而实现自动补偿。,（4）,实时反馈修正,由于自动化测量技术及微机的应用， 可用实时反馈修正的办法来消除复杂的变化系统误差。当查明某种误差因素的变化对测量结果有明显的复杂影响时，应尽可能找出其影响测量结果的函数关系或近似的函数关系。在测量过程中，用传感器将这些误差因素的变化，转换成某种物理量形式（一般为电量），及时按照其函数关系，通过计算机算出影响测量结果的误差值， 并对测量结果作实时的自动修正。,1.2.3 粗大误差,1.,3准则,前面已讲到，通常把等于3,的误差称为极限误差，对于正态分布的随机误差，落在3,以外的概率只有0.27%，它在有限次测量中发生的可能性很小。,3,准则就是如果一组测量数据中某个测量值的残余误差的绝对值|,v,i,|3时，则该测量值为可疑值（坏值），应剔除。,3,准则又称莱以达准则,。3准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则，它应用于测量次数充分多的情况。 ,2. 肖维勒准则,肖维勒准则,是以正态分布为前提的，假设多次重复测量所得的n个测量值中，,某个测量值的残余误差|,v,i,|,Z,c, 则剔除此数据,。 实用中,Z,c,3，所以在一定程度上弥补了3,准则的不足。肖维勒准则中的,Z,c,值见表1 - 3。,表1-3 肖维勒准则中的,Z,c,值,3. 格拉布斯准则,格拉布斯准则,也是以正态分布为前提的，理论上较严谨， 使用也较方便。,某个测量值的残余误差的绝对值|,v,i,|,G,，则判断此值中含有粗大误差，应予剔除,，此即格拉布斯准则。,G,值与重复测量次数,n,和置信概率,P,a,有关，见表1 - 4。,表1 - 4 格拉布斯准则中的G值,以上准则是以数据按正态分布为前提的，当偏离正态分布， 特别是测量次数很少时，判断的可靠性就差。因此，对待粗大误差，除用剔除准则外，更重要的是要提高工作人员的技术水平和工作责任心。另外，要保证测量条件的稳定，以防止因环境条件剧烈变化而产生的突变影响。,【例1-3】,对某一电压进行12次等精度测量，测量值如表1-5所示，若这些测量值已消除系统误差，试判断有无粗大误差， 并写出测量结果。,解：, 求算术平均值及标准差:,s标准差的估计值,残余误差, 判断有无粗大误差。,由于本例中测量次数比较少，不采用3,准则判断粗大误差。 这里采用格拉布斯准则, 已知测量次数,n,=12，取置信概率,P,a,=0.95, 查表1 - 4, 得格拉布斯系数,G,。,G,s,=2.280.032=0.073,m,），显然，用一般的代数方法无法求解，而只有采用最小二乘法来求解。根据最小二乘法原理，在直接测得值有误差的情况下，欲求被测量最可信赖的值，应使,残余误差的平方之和,为最小，即,若,x,1,x,2, ,x,m,是被测量,X,1,X,2,X,m,最可信赖的值，又称最佳估计值， 则,相应的估计值,亦有下列函数关系:,(1-36),设,l,1,，,l,2,，,l,n,为带有误差的实际直接测得值，它们与相应的估计值,y,1,y,2, ,y,n,之间的偏差即为,残余误差,，残余误差方程组为,(1 - 37),按最小二乘法原理， 要得到可信赖的结果,x,1,x,2,x,m,，上述方程组的残余误差平方和为最小。根据求极值条件， 应使,(1 - 38),将上述偏微分方程式整理， 最后可写成,(1 - 39),式(1-39）即为重复性测量的线性函数最小二乘估计的正规方程。 式中,正规方程是一个,m,元线性方程组，当其系数行列式不为零时，有唯一确定的解，由此可解得欲求被测量的估计值,x,1,x,2,x,m, 即为符合最小二乘原理的最佳解。 ,线性函数的最小二乘法处理应用矩阵这一工具进行讨论有许多便利之处。 将误差方程（式1-37）用下列的矩阵表示：,(1-40),式中，系数矩阵为,被测量估计值矩阵为,直接测得值矩阵为,残余误差矩阵为,残余误差平方和最小这一条件的矩阵形式为,即,V,V,=最小,或,将上述线性函数的正规方程式（1 - 39）用残余误差表示， 可改写成,(1-41),写成矩阵形式为,即,A,V,=0,(1-42),由式（1 - 40）有,（1 - 43）,式（1 - 43）即为最小二乘估计的矩阵解,。,【,例1 - 5,】铜电阻的电阻值,R,与温度,t,之间关系为,R,t,=,R,0,(1+,t,)， 在不同温度下，测得铜电阻的电阻值如下表所示。试估计0时的铜电阻的电阻值,R,0,和铜电阻的电阻温度系数,。,解：,列出误差方程,式中,r,ti,为温度,t,i,下测得的铜电阻电阻值。 ,令,x=r,0,y=r,0, 则误差方程可写为,76.3-(,x,+19.1,y,)=,v,1,77.8-(,x,+25.0,y,)=,v,2,79.75-(,x,+30.1,y,)=,v,3,80.80-(,x,+36.0,y,)=,v,4,82.35-(,x,+40.0,y,)=,v,5,83.9-(,x,+45.1,y,)=,v,6,85.10-(,x,+50.0,y,)=,v,7,按式（1 - 39），其正规方程为,于是有,将各值代入上式，得到,7,x,+245.3,y,=566,245.3,x,+9325.38,y,=20 044.5,解得,x,y,=0.288/,即,r,0,=70.8 ,用矩阵求解，则有,所以,3.,用经验公式拟合实验数据回归分析,在工程实践和科学实验中，经常遇到对于一批实验数据，需要把它们进一步整理成曲线图或经验公式。用经验公式拟合实验数据， 工程上把这种方法称为回归分析。 回归分析就是应用数理统计的方法，对实验数据进行分析和处理，从而得出反映变量间相互关系的经验公式，也称回归方程。 ,当经验公式为线性函数时， 例如,y,=,b,0,+,b,1,x,1,+,b,2,x,2,+,b,n,x,n,(1-44),称这种回归分析为线性回归分析， 它在工程中应用价值较高。,在线性回归分析中，当独立变量只有一个时，即函数关系为,y,=,b,0,+,bx,这种回归称为一元线性回归，这就是工程上和科研中常遇到的直线拟合问题。,设有,n,对测量数据(,xi,yi,)，用一元线性回归方程,拟合，则根据测量数据值，实际上只要求出方程中系数,b,0、,b,的最佳估计值，一元线性回归方程也就确定了。 ,求取一元线性回归方程中系数,b,0、,b,的值，最常用的方法是利用最小二乘法原理，即应使各测量数据点与回归直线的偏差平方和为最小，见图1 - 10。,图 1 - 10 用最小二乘法求回归直线,误差方程组为,(1-46),式中： 分别为在,x,1,x,2, ,x,n,点上,y,的估计值。,用最小二乘法求系数,b,0,、,b,同上，这里不再叙述。 ,在求经验公式时，有时用图解法分析显得更方便、直观， 将测量数据值（,x,i,y,i,）绘制在坐标纸上(称之为散点图)，把这些测量点直接连接起来， 根据曲线（包括直线）的形状、特征以及变化趋势，可以设法给出它们的数学模型（即经验公式）。 这不仅可把一条形象化的曲线与各种分析方法联系起来，而且还在相当程度上扩展了原有曲线的应用范围。,1.2.5 测量不确定度,测量的目的是确定被测量的值或获取测量结果，测量结果的完整表述应包括估计值、 测量单位及测量不确定度。众所周知， 没有测量单位的数据不能表征被测量的大小，没有测量不确定度的测量结果不能评定测量的质量，从而失去或削弱了测量结果的可用性和可比性。不确定度这个术语虽然在测量领域已广泛使用，但表示方法各不相同。为此，早在1978年国际计量大会(CIPM) 责成国际计量局(BIPM)协同各国的国家计量标准局制定一个表述不确定度的指导文件。1993年，以国际标准化组织(ISO) 等7个国际组织的名义制定了一个指导性的文件， 即测量不确定度表示指南（GUM）。,为此，国际上有了一致的普遍承认的表征测量结果质量的概念。我国于1999年颁布了适合我国国情的测量不确定度评定与表示的技术规范(JJF1059-1999)，其内容原则上采用了测量不确定度表示指南的基本方法，以利于国际间的交流与合作， 与国际接轨。,测量不确定度定义为表征合理赋予被测量之值的分散性， 与测量结果相联系的参数。 从词义上理解，测量不确定度意味着对测量结果的可靠性和有效性的怀疑程度或不能肯定的程度。,测量不确定度可用标准差u(即前面的)表示，用标准差表示的测量不确定度称为标准不确定度。一般测量不确定度包括若干个分量，将这些分量合成后的不确定度称为合成标准不确定度， 用,u,c,表示。对正态分布而言，合成标准不确定度的置信概率只有68%。在一些重要的测量中，要求给出较高的置信概率，需采用扩展不确定度,U,，它是合成不确定度的倍数，即,U=ku,c,。,测量不确定度是一个与测量结果联系在一起的参数。在测量结果的完整表示中，应有测量值的估计值,y,和测量不确定度,U,， 即,y,U,。,评定不确定度实际上是对测量结果的质量进行评定。不确定度按其评定方法可分为A类评定和B类评定。A类评定是用统计方法进行评定。即对某被测量进行等精度的独立的多次重复测量，得到一系列的测得值。A类评定通常以算术平均值,x,作为被测量的估计值，以,x,的标准差,x,作为测量结果的A类标准不确定度,u,A,。B类评定用非统计分析方法，它不是由一系列的测得值确定，而是利用影响测得值分布变化的有关信息和资料进行分析，并对测量值进行概率分布估计和分布假设的科学评定，得到B类标准不确定度,u,B,。B类评定在不确定度评定中占有重要地位，因为有时不确定度无法用统计方法来评定，或者可用统计法，但不经济可行, 所以B类评定在实际工作中应用很多。,A、B,类不确定度与随机误差和系统误差的分类不存在对应关系。随机误差和系统误差表示测量误差的两种不同的性质，,A、B,类不确定度表示两种不同的评定方法。不确定度的基本含义是分散性， 不能把它划分为随机性和系统性。,.,1-3 用测量范围为-50150kPa的压力传感器测量140kPa压力时，传感器测得示值为142kPa，求该示值的绝对误差、实际相对误差、标称相对误差和引用误差。,解：1),绝对误差,x-L=142-140=2,2),实际相对误差,(/L) % =(2/140) % =1.42%,3）,标称相对误差, (/x) % =(2/142) % =1.4%,4),引用误差, (/（测量范围上限-测量范围下限）) % =2/(150-(-50) % =2/200 % =1 %,1-10、对某节流元件（孔板）开孔直经d,20,的尺寸进线了15次测量，测量数据如下（单位：mm):,120.42 120.43 120.40 120.42 120.43 120.39,120.30 120.40 120.43 120.41 120.43 120.42,120.39 12040,试用各拉布斯准则判断上述数据是否含有粗,大误差，并写出其测量结果。,测量序号,开孔直径测量（mm),Vi,Vi,2,1,120.42,0.02,0.009,0.0004,0.000081,2,120.43,0.03,0.019,0.0009,0.000361,3,120.40,0,-0.011,0,0.000121,4,120.42,0.02,0.009,0.0004,0.000081,5,120.43,0.03,0.019,0.0009,0.000361,6,120.39,-0.01,-0.021,0.0001,0.000441,7,120.30,-0.1,0.01,8,120.40,0,-0.001,0,0.000001,9,120.43,0.03,0.019,0.0009,0.000361,10,120.41,0.01,-0.001,0.0001,0.000001,11,120.43,0.03,0.019,0.0009,0.000361,12,120.42,0.02,0.009,0.0004,0.000081,13,120.39,-0.01,-0.021,0.0001,0.000441