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,理学院,矩阵论教学团队,Department of Mathematics, College of Sciences,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材,矩阵论教程,国防工业出版社,2012,其他辅导类参考书（自选）,课 程 要 求,作业要求,矩阵论网站,授课预计,(8,学时,),1,2,3,4,第一章 线性空间与线性映射,线 性 空 间,线 性 子 空 间,线性映射与线性变换,线性变换的不变子空间,5,线性空间的同构,教 学 内 容 和 基 本 要 求,2,掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质；,3,理解线性映射及线性变换的概念，掌握线性映射及变,换 的矩阵表示。掌握线性映射的值域、核等概念,.,重点,:,线性空间的概念；子空间的维数定理,；,线性映射,及线性变换,;,不变子空间,难点,:,基变换与坐标变换,;,不变子空间,4,理解线性变换的不变子空间得相关概念和性质,1,，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；,线性空间是解析几何和线性代数中向量概念的抽象化。,本章将给出线性映射和线性变换的概念与性质，同时也建立了矩阵和线性映射及线性变换之间的一种关系,线性空间既是代数学的基本概念，也是矩阵论的基本概念之一，本章首先介绍这一概念。学习过这一部分内容的同学可以将本章作为对所学知识的回顾和延伸。,对于一个有限维的,n,维,线性空间,V,，设,T,是一个线性变换,，,总有,T,V,V,，,如何才能选到,V,的一个,基,，使,T,关于,这个,基,的矩阵具有尽可能简单的形式,.,由于,一个线性变换关于不同基的矩阵是相似的,.,因而,问题,也可以,这样提出,：,在一切彼此,相似,的,n,阶,矩阵中,，,如何选出一个,形式尽可能简单的矩阵,？,线性变换的不变子空间,1.4,本节介绍一个,关于线性变换的重要概念,不变子空间,.,同时利用不变子空间的概念，来说明,线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系,.,定义,1,设 是数域,F,上线性空间,V,的线性变换，,则称,W,是,的不变子空间,，简称为,子空间,.,W,是,V,的的子空间，若 有,V,的平凡子空间（,V,及零子空间）对于,V,的,任意一个变换 来说，都是 子空间,.,Hot,定理,1,两个子空间的交与和仍是子空间,子空间,设 则,W,是,证：,显然成立,.,任取 设,则,故,W,为 的不变子空间,.,由于,定理,2,的充要条件是,证：,有,故 为 的不变子空间,.,线性变换 的值域 与核 都是 的,不变子空间,.,所以， 也为 的不变子空间,.,又任取 有,例,1.,证：,对存在,使,于是有,:,为 的不变子空间,.,若 则 与 都是 子空间,.,其次，由,对,有,所以,只需证明,即有,:,例,2.,故 为 的不变子空间,.,例,3.,任何子空间都是数乘变换的不变子空间,.,例,4.,线性变换 的特征子空间 是 的,有,不变子空间,.,例,5.,由 的特征向量生成的子空间是 的不变子空间,的特征向量,.,设,则,为 的不变子空间,.,证：,设 是的分别属于特征值,任取,设是 维线性空间,V,的线性变换，,W,是,V,的,子空间， 为,W,的一组基，把它扩允为,V,的一组基,：,在基 下的矩阵具有下列形状,:,若 在基 下的矩阵为 ，则,定理,3,反之，若,不变子空间,.,则由 生成的子空间必为 的,事实上，因为,W,是,V,的不变子空间,.,均可被,线性表出,.,即，,从而,，,设,在这组基下的矩阵为,若 ，则,为,V,的一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵,设 是 维线性空间,V,的线性变换， 都是,的不变子空间，而 是 的一组基，且,（,1,）,定理,4,的子空间 为 的不变子空间，且,V,具有直和分解：,由此即得：,下的矩阵为准对角矩阵,(1),则由生成,V,的线性变换在某组基下的矩阵为准对角形,V,可分解为一些的不变子空间的直和,.,反之，若 在基,设,3,维线性空间,V,的线性变换在基,下的矩阵为,证明： 是的不变子空间,.,令,由,练习,1,解答,有,即,故,W,为的不变子空间,.,Good,Bye,
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