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单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,主要内容,第二节 标准正交基,定义,标准正交基的求法,正交矩阵,举例,一、定义,1.,正交向量组的定义,定义,5,欧氏空间,V,中一组非零的向量，如,果它们两两正交，就称为一,正交向量组,.,应该指出，按定义，由单个非零向量所成的向,量组也是正交向量组,.,当然，以下讨论的正交向量,组都是非空的,.,2.,正交向量组的性质,性质,正交向量组是线性无关的,.,证明,设,1,2, ,m,是一正交向量组,，,k,1,k,2, ,k,m,是,m,个实数，且有,k,1,1,+,k,2,2,+, +,k,m,m,= 0 .,用,i,与等式两边作内积，得,k,i,(,i,i,) = 0 .,由,i,0,，有,(,i,i,) 0,，从而,k,i,= 0 (,i,= 1, 2, ,m,) .,证毕,这个结果说明，在,n,维欧氏空间中，两两正交,的非零向量不能超过,n,个,.,这个事实的几何意义是,清楚的,.,例如，在平面上找不到三个两两垂直的非,零向量；,在空间中，找不到四个两两垂直的非零向,量,.,从解析几何中看到，直角坐标系在图形度量性,质的讨论中有特殊的地位,.,在欧氏空间中，情况是,相仿的,.,3.,正交基的定义,定义,6,在,n,维欧氏空间中，由,n,个向量组成,的正交向量组称为,正交基,；,由单位向量组成的正交,基称为,标准正交基,.,对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交,基,.,4.,正交基的性质,性质,1,设,1,2, ,n,是一组标准正交基，,则,显然，,(1),式完全刻画了标准正交基的性质,.,换句,话说，,一组基为标准正交基的充分必要条件是：,它的度量矩阵为单位矩阵,.,因为度量矩阵是正定的,.,根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同,于单位矩阵,.,这说明在,n,维欧氏空间中存在一组基,它的度量矩阵是单位矩阵,.,由此可以断言，,在,n,维,欧氏空间中，标准正交基是存在的,.,性质,2,设,1,2, ,n,是一组标准正交基，,向量,在该基下的坐标为,(,x,1,x,2, ,x,n,) ,即,=,x,1,1,+,x,2,2,+, +,x,n,n,，,则,x,i,= (,i,) (,i,= 1, 2, ,n,) .,证明,(,i,) = (,i,x,1,1,+,x,2,2,+, +,x,n,n,),= (,i,x,1,1,) + +,(,i,x,i-,1,i-,1,) +,(,i,x,i,i,) +,+,(,i,x,i+,1,i+,1,) + +,(,i,x,n,n,),=,x,1,(,i,1,) + +,x,i-,1,(,i,i-,1,) +,x,i,(,i,i,) +,+,x,i+,1,(,i,i+,1,) + +,x,n,(,i,n,),=,x,i,(,i,i,),=,x,i,.,证毕,性质,3,设,1,2, ,n,是一组标准正交基，,且,=,x,1,1,+,x,2,2,+, +,x,n,n,，,=,y,1,1,+,y,2,2,+, +,y,n,n,，,那么,(,) =,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+, +,x,n,y,n,=,X,T,Y,. (2),这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中,的坐标表达式的推广,.,应该指出，内积的表达式,(2) ,对于任一组标准,正交基都是一样的,.,这说明了，所有的标准正交基,在欧氏空间中有相同的地位,.,在下一节，这一点将,得到进一步的说明,.,下面我们将结合内积的特点来讨论标准正交基,的求法,.,二、标准正交基的求法,定理,1,n,维欧氏空间中任一个正交向量组都,能扩充成一组正交基,.,证明,设,1,2, ,m,是一正交向量组,，,我们对,n,-,m,作数学归纳法,.,当,n,-,m,= 0,时，,1,2, ,m,就,是一组正交,基,.,假设,n,-,m,=,k,时定理成立，也就是说，可以,找到向量,1,2, ,s,使得,1,2, ,m,1,2, ,s,成为一组正交基,.,现在来看,n,-,m,=,k +,1,的情形,.,因为,m,n,，,所以一定有向量,不能被,1,2, ,m,线性表出，,作向量,m +,1,=,-,k,1,1,-,k,2,2,-, -,k,m,m,这里,k,1,k,2, ,k,m,是待定的系数,.,用,i,与,m +,1,作,内积，得,(,i,m +,1,) = (,i,) -,k,i,(,i,i,) (,i,= 1, 2, ,m,).,取,有,(,i,m +,1,) = 0 (,i,= 1, 2, ,m,).,由,的选择可知，,m +,1,0 .,因此,1,2, ,m,m +,1,是一正交向量组，根据归纳法假定，,1,2,m,m +,1,可以扩充成一正交基,.,证毕,应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个,具体的扩充正交向量组的方法,.,如果我们从任一个,非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后,就得到一组正交基,.,再单位化，就得到一组标准正,交基,.,在求欧氏空间的正交基时，常常是已经有了空,间的一组基,.,对于这种情形，有下面的结果：,定理,2,对于,n,维欧氏空间中任意一组基,1,2, ,n,，都可以找到一组标准正交基,1,2, ,n,，使,L,(,1,2, ,i,) =,L,(,1,2, ,i,) ,i,= 1,2,n .,证明,设,1,2, ,n,是一组基，我们来逐,个地求出向量,1,2, ,n,.,首先，可取,一般地，假定已经,求出,1,2, ,m,，它们是单位正交的，具有性,质,L,(,1,2, ,i,) =,L,(,1,2, ,i,) ,i,= 1,2,m .,下一步求,m +,1,.,因为,L,(,1,2, ,m,) =,L,(,1,2, ,m,) ,所以,m +,1,不能被,1,2, ,m,线性表出,.,按定,理,1,证明中的方法，作向量,显然,m,+1, 0 ,且,(,m,+1,i,) = 0,，,i,= 1 , 2 , ,m,.,令,则,1,2, ,m,m +,1,就是一单位正交向量组,.,同时,L,(,1,2, ,m +,1,) =,L,(,1,2, ,m +,1,) .,由归纳法原理，定理,2,得证,.,证毕,应该指出，定理中的要求,L,(,1,2, ,i,) =,L,(,1,2, ,i,) ,i,= 1,2,n .,就相当于由基,1,2, ,n,到基,1,2, ,n,的,过渡矩阵是上三角形的,.,定理,2,中把一组线性无关的向量变成一单位正,交向量组的方法称为,施密特,(Schimidt),正交化过程,.,三、举例,例,1,设,试用施密特正交化过程把这组向量变成单位正交,的向量组；并解释施密特正交化过程的几何意义,.,解,取,b,1,=,a,1,;,再把它们单位化,取,则,e,1,e,2,e,3,即为所求,.,例,1,中各向量如图,9-1,所示,.,用解析几何的术,语解释如下,:,四、正交矩阵,设,1,2, ,n,与,1,2, ,n,是欧氏空间,V,中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是,A,= (,a,ij,),，即,因为,1,2, ,n,是标准正交基，所以,(,i,j,) =,1,当,i,=,j,0,当,i,j,.,(4),矩阵,A,的各列就是,1,2, ,n,在标准正交基,1,2, ,n,下的坐标，按公式,(3),，,(4),式可以表,a,1,i,a,1,j,+,a,2,i,a,2,j,+ +,a,ni,a,nj,=,1,当,i,=,j,0,当,i,j,.,(5),示为,(5),式相当于一个矩阵的等式,A,T,A = E,，,(6),或者,A,-1,=,A,T,.,定义,7,n,级实数矩阵,A,称为,正交矩阵,，如,果,A,T,A = E .,因此，以上分析表明，,由标准正交基到标准正,交基的过渡矩阵是正交矩阵；,反过来，如果第一组,基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么,第二组基一定也是标准正交基,.,最后我们指出，根据逆矩阵的性质，由,A,T,A = E,即得,AA,T,= E .,写出来就是,a,i,1,a,j,1,+,a,i,2,a,j,2,+ +,a,in,a,jn,=,1,当,i,=,j,0,当,i,j,.,(7),(5),式是矩阵列与列之间的关系，,(7),式是行与行之,间的关系，这两组关系是等价的,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,本节内容已结束,!,若想结束本堂课,请单击返回按钮,.,
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