10量子力学基础

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,量子力学初步,量子力学基础,量子力学基础,第十九章,quantum mechanics,preliminary remarks of,chapter 19,1,本章内容,本章内容,Contents,chapter 19,de Broglie material wave,德布罗意物质波,uncertainty relation,不确定关系,波函数,wave function,一维无限深势阱中的粒子运动,partical motion in one- dimensional infinite deep potential well,氢原子及多电子原子的结论,conclusion on hydrogen atom and multiple- electroned atom,薛定谔方程,Schrodinger equation,2,第一节,19 - 1,wave-particle dualism of material,物质的波粒二象性,德布罗意波-物质波,de Broglie wave - material wave,3,引言,一 光的波粒二象性引起的思考,光的干涉 衍射和偏振现象证明光具有波动性.,光电效应 康普顿效应证明了光具有粒子性.,因此,光具有波粒二象性.,光,作为光子(静止质量为零的粒子)具有波动性,宏观运动物体,是否也具有波动性?,静止质量不为零的实物粒子,如电子 质子 中子,甚至,换言之,是否一切物质都具有波粒二象性?,4,德布罗意,德布罗意与物质波,1923年他提出电子既具有粒子性又具有波动性。1924年,正式发表一切物质都具有波粒二象性的论述。并建议用电子在晶体上做衍射实验来验证。,1927,年被实验证实。他的论述被爱因斯坦誉为 “ 揭开了巨大面罩的一角 ”。,德布罗意为此获得,1929,年诺贝尔物理学奖。,德 布 罗 意,Prince Louis Victor de Broglie,(18921987),德 布 罗 意,5,德布罗意方程,二 物质波 德布罗意方程,德布罗意假设,微观粒子与光子一样,既具有,粒子性,也具有波动性,它们都是波粒二象性粒子,称为波粒子,波粒子的运动,既可用粒子性特征的动量 和能量 来描述,又可用波动性特征的频率 和波长 来描述.,物质的波粒二象关系为,是普朗克常量,的方向沿波动传播的方向,与物质粒子联系的波称为,德布罗意波,物质波,与物质波粒二象性联系的方程称为,德布罗意方程,德布罗意关系式,6,德布罗意波长,三 自由粒子的德布罗意波长,自由粒子,静止质量为,以速率,在空间作匀速直线运动,不受任何外界作用的粒子,低速自由粒子的德布罗意波长,可不考虑相对论效应,应考虑相对论效应,速度 很高,甚至接近光速,高速自由粒子的德布罗意波长,7,例,电子的电量大小,1.6,10,19,电子的静止质量,10,31,9.1,6.63,10,34,普朗克常量,解法,提要,题设为低速粒子,可不考虑相对论效应,电子枪内电场力做功为,电子获得动能,离开电子枪成为自由粒子,动能,由动能定理,已知,电子,加速电压,设加速电压不太高,电子受加速电压,作用后离开电子枪,不考虑重力作用,视为自由粒子.,电子可看作低速自由粒子.,该电子的德布罗意波长,伏特,8,续上,已知,电子,加速电压,设加速电压不太高,电子受加速电压,作用后离开电子枪,不考虑重力作用,视为自由粒子.,电子可看作低速自由粒子.,该电子的德布罗意波长,电子的电量大小,1.6,10,19,电子的静止质量,10,31,9.1,6.63,10,34,普朗克常量,解法,提要,题设为低速粒子,可不考虑相对论效应,电子枪内电场力做功为,电子获得动能,离开电子枪成为自由粒子,动能,由动能定理,伏特,1.6,10,19,10,31,9.1,6.63,10,34,1.225,10,1.225,nm,进一步的计算表明(略),当,20000,若不进行相对论修正,则会导致计算波长的误差超过,20000,讨论:,1.225,nm,可得,nm,10,100,1000,10000,10,100,1000,10000,0.39,0.12,0.039,0.012,根据,9,戴-革实验,30,50,相对强度,60,90,0.215,nm,50,一级主极大方向,入射电子束,衍射电子束,镍单晶,探测器,54V,加速电压,由物质波理论得,54,1.225,该运动电子的波长,0.167 nm,由电子衍射实验数据处理得,sin,相长干涉条件,时,得,sin,0.215,0.165 nm,sin,50,符合得相当好,四 最早的电子衍射实验,戴维逊-革末实验,1927年,10,汤姆孙实验,1927年，G.P.汤姆孙等令一电子束通过薄铝箔，结果发,现，同X射线一样，也能得到清晰的电子衍射图样。,射线衍射,电子衍射,11,电子衍射图片,电子在氧化镁晶体半平面的直边衍射,氧化锌晶体对电子的衍射,钨晶体薄片对电子的衍射,由于电子进入到晶体内部时容易被吸收，人们通常采用极薄的晶片，或让电子束以掠入射的形式从晶体表面掠过，使电子只与晶体最外层的原子产生衍射，从而成功地观察到多种晶体的电子衍射图样。,12,电子及中子衍射图片,NaCl晶体的中子衍射,UO,2,晶体的电子衍射,电子衍射、中子衍射、甚至原子和分子束在晶体表面散射所产生的衍射实验都接连获得了成功。微观粒子具有波粒二象性的理论得到了公认。,13,作业选解1,作业选解,作业选解,向心,德布罗意波长,即氦核,粒子,粒子在磁感应强度为,的均匀磁场中沿半径为磁感应强度为,的低速圆形轨道运动,则 粒子的德布罗意波长为,14,作业选解2,题设为低速粒子,质子,氦核,作业选解,作业选解,低速运动的质子和 粒子,若它们的德布罗意,波长相同,则它们的动能之比为,15,作业选解3,作业选解,作业选解,1.67,10,27,kg,300 K,已知中子质量,当中子的动能,为温度,热平衡,中子气体的平均平动,动能时,其德布罗意波长为,nm,中子气的平均平动动能,300 K,题意,热运动中的粒子，可看作低速粒子,中子的动能,1.67,10,27,10,34,6.63,1.46,10,10,1.38,10,23,300,0.146,nm,16,作业选解4,作业选解,作业选解,某金属产生光电效应的红限频率为,当用频率,的单色光照射该金属时,从金属中逸出的光电子,(质量为 )的德布罗意波长为,光电效应中的光电子，可看作低速粒子,光电效应方程,其中,17,作业选解5,宏观粒子，总是看作低速粒子,小球,10,kg,10,作业选解,作业选解,质量为,速度为,cm,的小球,其德布罗意波长为,nm,10,10,10,34,6.63,10,29,6.63,10,20,6.63,nm,18,作业选解6,作业选解,作业选解,已知经加速电势差 后,一个带有单位电荷,的粒子的德布罗意波长为,则这个粒子的质量为,0.02,206,它是什么粒子.,不需作相对论修正,kg,解得,10,34,6.63,0.02,10,10,206,1.6,10,19,10,27,1.67,kg,这是质子,质子的电量,1.6,10,19,质子的质量,10,27,1.67,kg,19,作业选解7,作业选解,作业选解,一束光的波长 ,光子的质量 ;,若一电子的德布罗意波长也是,400 nm,400 nm,不考虑相对论效应,电子的速度,光子:,6.63,10,34,400,10,10,10,36,5.53,kg,电子:,若不考虑相对论效应,6.63,10,34,400,10,10,31,9.1,1.82,10,20,例,德布罗意波,概念,用,导出,玻尔的角动量,量子化条件,解法,提要,电子绕核运动的轨道半径为,电子的德布罗意波的波长为,设,若满足,则,形成驻波,，电子在相应的定态轨道上运动而,不辐射能量,。,将德布罗意公式,代入得,玻尔的角动量量子化条件,21,要点1,物质波,德布罗意波,自由粒子,波动性,波粒二象关系,德布罗意方程,要求熟练写出公式,要点：,粒子性,平面波,22,要点2,德布罗意波长,低速粒子,已知,已知,对于加速电压,不太高的低能电子,23,第三节,Uncertianty relation,不确定关系,19 - 2,24,海森伯,不确定关系,不 确 定 关 系,不 确 定 关 系,海森伯因创立用矩阵数学描述微观粒子运动规律的矩阵力学，获1932年诺贝尔物理奖,（,注：不确定关系又称测不准关系，在上述表达式中的 和 都具有统计含义，分别代表有关位置和动量的方均根偏差。）,位置和动量的不确定关系,称为海森伯位置和动量的不确定关系，它说明，,同时精确测定微观粒子的位置和动量是不可能的。,微观粒子不能同时具有确定的位置和动量，,位 置 的 不 确 定 量,该方向动量的不确定量,同一时刻,的关系,1927年，德国物理学家海森伯提出,Werner Heisenberg,(19011976),海 森 伯,25,不确定关系,续上,电子束,缝宽,衍射图样,电子通过单缝时发生衍射，概略地用一级衍射角所对应的动量变化分量 粗估其动量的不确定程度,得,即,考虑到高于一级仍会有电子出现,取,从电子的单缝衍射现象不难理解位置和动量的不确定关系,同时为零，即微观粒子的位置和动量不可能同时精确测定，这是微观粒子具有波粒二象性的一种,客观反映。不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界限，如果在某一具体问题中，普朗克,常数可以看成是一个小到被忽略的量，则不必考虑客体的波粒二象性，可用经典力学处理。,通常也作为不确定关系的一种简明的表达形式，它表明,和,不可能,衍射图样,缝宽 可用来粗估电子通过单缝时其位置,x,的不确定程度。,根据右图可粗估,为了减小位置测量的不确定程度，可以减小缝宽 ，但与此同时，被测电子的动量的不确定量 却变大了。,与 的关系。,单缝衍射一级暗纹条件,sin,德布罗意波长,sin,tan,26,归纳,不确定关系可推广到三维运动情况:,不确定关系式表明:,沿某一方向同时测量粒子的位置坐标和动量时,坐标不确定量与动量不确定量之乘积不得小于普朗克常数,不确定关系式可从电子单缝衍射现象得出,而电子单缝衍射现象是物质波动性的一种表现,因此,不确定关系是物质波动性的一种反映.,27,例,电子相应速度的不确定值,电子在原子中运动,如果测量在 方向的坐标,其不确定值,(原子本身大小为本 ,即测量误差,的相对值为 ),0.1,解法,提要,取等号估算,又因,10,31,9.1,6.63,10,34,10,7.28,28,例,电子,10,31,9.1,200,0.01,子弹,10,1.0,200,0.01,已知,已知,解法,提要,0.01,10,31,9.1,200,10,1.8,10,32,6.63,10,34,1.8,10,32,3.7,10,3.7,cm,0.01,2.0,10,2.6,10,30,200,10,10,1.0,6.63,10,34,2.0,10,位置不确定量小到没有任何实际意义,对宏观运动物体不必考虑物质的波动性.,可见,物质的波动性对微观粒子意义重大.,29,例,已知,mm,0.1,电子枪,10,通常电视显象管中的电子速率,10,31,9.1,电子质量,解法,提要,10,31,9.1,10,6.63,10,34,0.1,7.28,此结果表明,即电子的波动性,不会对显象管的正常工作造成严重影响.,30,作业选解8,缝宽,电子束,联系单缝衍射中央亮纹宽的计算,一级暗纹的角位置,sin,一级暗纹在屏上坐标,德布罗意波长,作业选解,作业选解,已知在电子束单缝衍射中,入射电子的动量为,缝宽为,缝屏距为,衍射图样中心亮纹宽,tan,sin,31,作业选解9,缝宽,电子束,作业选解,作业选解,已知,0.1,nm,。,则衍射电子横向动量的最小不确定值,电子束单缝衍射的缝宽,6.63,10,34,10,10,6.63,10,24,根据位置和动量的不确定关系,32,作业选解10,沿 轴动量的不确定量大小,位置和动量的不确定关系,5000,10,2.5,10,10,。,2.5,作业选解,作业选解,已知,5000,。,波长为,。,10,的光沿,轴正向,传播,若光波波长的不确定量为,则光子的 坐标不确定量,。,则光子的动量,33,作业选解11,作业选解,作业选解,已知,如果某运动粒子的位置不确定量,等于该粒子的,德布罗意波长,证明其速度的不确定量,其速度,34,作业选解12,作业选解,作业选解,如果某一维运动粒子的动量不确定量,等于该粒子的,动量,证明其位置的不确定量,其德布罗意波长,已知,35,完,下册完,36,后续选讲内容,后续选讲内容,37,第四节,Wave function,波函数,19 - 3,38,引言,量子力学是描述微观粒子运动规律,的学科,。,它是现代物理学的理论支柱,之一，被广泛地应用于化学、生物学、,电子学及高新技术等许多领域,。,本章主要介绍量子力学的基本概念及,原理,，,并通过几个具体事例的讨论来说,明量子力学处理问题的一般方法。,39,波函数,回顾：德布罗意关于物质的波粒二象性假设,速度,为,质量,为,的,自由粒子,一方面可用,能量,和,动量,来描述它的,粒子性,另一方面可用,频率,和,波长,来描述它的,波动性,一、波函数,波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数，知道了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微观客体的全部知识。,下面从量子力学的基本观点出发，建立自由粒子的波函数。,波函数及其统计解释,波函数及其统计解释,40,自由粒子波函数,在量子力学中用复数表达式：,应用欧拉公式,取实部,cos,sin,应用德布罗意公式,即,即,即,的自由粒子的波函数为,沿 X方向匀速直线运动,在波动学中,，,描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数,一列沿,X,轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程,cos,cos,沿 方向匀速直线运动,的自由粒子的波函数为,41,续上,在量子力学中用复数表达式：,应用欧拉公式,取实部,cos,sin,应用德布罗意公式,即,即,即,沿 方向匀速直线运动,的自由粒子的波函数为,的自由粒子的波函数为,沿 X方向匀速直线运动,在波动学中,，,描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数,一列沿,X,轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程,cos,cos,自由粒子的,波函数,自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布,罗意波是平面波。,不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。,对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量,外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也,不相同。,微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是,量子力学的一个基本假设。,42,概率密度,二、波函数的统计解释,设描述粒子运动状态的波函数为 ，则,空间某处波的强度与在该处,发现粒子的概率成正比；,在该处单位体积内发现粒子,的概率（概率密度）,与 的模的平方成正比。,是,的共轭复数,德布罗意波又称,概率波,波函数又称,概率幅,取比例系数为1，即,Max Born,(18821969),玻 恩,1926 年提出了对,波函数的统计解释,43,波函数归一化,因概率密度,故在 矢端的体积元 内,发现粒子的概率为,在波函数存在的全部空间,V,中必能找到粒子，即在全部空间,V,中,粒子出现的概率为1。,此条件称为,波函数的归一化条件,满足归一化条件的波函数称为,归一化波函数,波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：,44,概率波与经典波,德布罗意波,（概率波）,不同于,经典波,（如机械波、电磁波）,德布罗意波,经 典 波,是振动状态的传播,不代表任何物理量的传播,波强（,振幅的平方）,代表通过某点的能流密度,波强（,振幅的平方）,代表粒子在某处出现的概率密度,概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于波强的绝对值。,能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。,因此，,将波函数在空间各点的振幅同时增大,C,倍，不影响粒子的概率密度分布,，即 和,C,所描述德布罗意波的状态相同。,因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大,C,倍，则个处的能流密度增大,C,倍，变为另一种能流密度分布状态。,波函数存在归一化问题。,波动方程无归一化问题。,波函数存在归一化问题。,45,波函数标准条件,波函数的三个标准条件：,连续,因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续；,单值,因任一体积元内出现的概率只有一种，故波函数一定是单值的；,有限,因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的；,以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件,符合,不符合,不符合,不符合,46,算例,某粒子的波函数为,sin,归一化波函数,概率密度,概率密度最大的位置,解法,提要,sin,sin,令,求,sin,积分得：,得 到 归 一 化 波 函 数 ：,sin,概率密度,sin,得,令,求极大值的,x,坐标,sin,sin,解得,另外两个解,处题设,处,最大,47,第五节,19 - 4,薛定谔方程,Schrodinger equation,48,薛定谔方程引言,经典力学,牛顿力学方程,根据初始条件可求出经典质点的,运动状态,经典质点有运动轨道概念,不考虑物质的波粒二象性,量子力学,一、引 言,针对物质的波粒二象性,微观粒子无运动轨道概念,运动状态,波函数,量子力学方程,是否存在一个,根据某种条件可求出微观粒子的,薛定谔方程,薛定谔方程,49,基本算符,量子力学中的,算符是表示对某一函数进行某种数学运算的符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。,算 符,劈形算符,数学运算符号,拉普拉斯算符,动量算符,动能算符,哈密顿算符,含动、势能,位矢算符,力 学 量 算 符 统称 举 例,若 作用在某函数 上的效果,和 与某一常量 的乘积相当，,即,则,称为 的 本征值,称为 的 本征函数,所描述的状态称为 本征态,力学量的可能值是它的本征值,力学量的平均值由下述积分求出,50,薛定谔方程,二、,薛定谔方程,二、,薛定谔方程,1925年德国物理学家薛定谔提出的非相对论性的量子力学基本方程,获1933年诺贝尔物理学奖,薛定谔,Enwin Schrodinger,（1887-1961）,薛定谔,Enwin Schrodinger,当其运动速度远小于光速时,它的波函数 所满足的方程为,质量为 的粒子,在势能函数为 的势场中运动,它反映微观粒子运动状态随时间变化的力学规律，又称含时薛定谔方程。,式中， 为哈密顿算符，,薛定谔方程,薛定谔方程,51,定态薛定谔方程,三、,定态薛定谔方程,可分离变量，写成,解释：,若,则,积分,解得,将常量 归入 中，得,定态,波函数,此外，对,得,定态薛定谔方程,故,常量,时间的函数,空间的函数,由,对应一个可能态有一常量,定态薛定谔方程,势场只是空间函数,即,若粒子所在的,有一个能量定值,含时薛定谔方程,定态,波函数,对应于一个可能态,，,则,52,其概率密度,与时间无关,所描述的状态。它的重要特点是：,所谓“定态”，就是波函数具有 形式,定态,波函数,中的,称为,振幅函数,（有时直称 为,波函数）。,的函数形式也应满足统计的条件,连续、单值、有限的标准条件；,归一化条件；,对坐标的一阶导数存在且连续（使,定态薛定谔方程成立）。,定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。,若已知势能函数 ，应用,定态薛定谔方程,可求解出 ，并得到定态,波函数,续上,53,态跌加原理,四、,态叠加原理,为薛定谔方程的两个解,，,分别代表体系的两个可能状态。,设,为它们的线性叠加,即,为复常数,将上式两边对时间,求偏导数并乘以,因,都满足薛定谔方程,即,这表明：,体系两个可能状态的叠加仍为体系的一个可能态。,称为,态叠加原理,54,第六节,19 - 5,一维无限深势阱中的粒子,Particle in one-dimensional,infinite deep potential well,55,一维无限深势阱,一维无限深势阱,粒子在某力场中运动，若力场的势函数,U,具有下述形式,该势能函数称作一维无限深势阱。,应用定态,薛定谔方程可求出运动粒,微观系统中，有关概率密度、能量,这是一个理想化的物理模型，,子的,波函数，有助于进一步理解在,量子化等概念。,56,续上求解,阱内,阱外,只有,因,及,要连续、有限，,薛定谔方程才成立，,在阱外,故粒子在无限深势阱外出现的概率为零。,设质量为 的微观粒子，,处在一维无限深势阱中，,该势阱的势能函数为,阱外,阱内,建立定态薛定谔方程,一维问题,57,续上求解,求定态薛定谔方程的通解,阱内,即,令,得,此微分方程的通解为,其三角函数表达形式为,sin,式中 和 为待定常数,根据标准条件确定常数,和,并求能量 的可能取值,sin,以及,在边界 和,处,又因,得,sin,sin,的取值应与阱外 连续，,边界处的,故,得,及,时阱内 不合理 舍去,的负值和正值概率密度相同。,同一,取,得,58,续求解,求归一化定态波函数,sin,由上述结果,阱外,阱内,及,得,sin,应满足归一化条件,sin,得,积分,sin,sin,归一化定态波函数,sin,概率密度,sin,59,势阱问题小结,能量量子化极不明显，可视为经典连续。,间距太小,在微观粒子可能取,如，电子,9.110,31,kg,处在宽度,10,-,10,m,( 原子线度)的势阱中,算得, 37.7 eV,能量量子化明显,处在宽度,10,2,m,( 宏观尺度)的势阱中,算得, 37.7 10,-,15,eV,能量量子化是微观世界的固有现象,从能级绝对间隔,看，,从能级相对间隔,看，,则,的各种能态中，随着 值增大，逐渐向经典过渡。,一维无限深势阱中的微观粒子 （小结）,能量 量子化,称,基态能,或 零点能,相邻能级的能量间隔,波函数,sin,好比驻波,sin,概率密度,的 称,节点位置,极大的 称,最概然位置,增大,节点数增多,最概然位置间隔变小。 很大，概率,密度趋近均匀分布。,60,势垒,一、势 垒,粒子在某力场中运动，若力场的势函数,U,具有下述形式,该势能函数称作一维矩形势垒。,按经典力学观点，,在量子力学中，,能量 的粒子,不可能穿越势垒。,后才能下结论。,应求解定态薛定谔方程,隧 道 效 应,隧 道 效 应,61,隧道效应,二、势垒贯穿 隧道效应,区,区,区,式中,得,上述微分方程的解为,设：,一矩形势垒的,势能函数,在势函数定义的全部空间粒子的波函数都应满足薛定谔方程,一质量为 、能量为,的粒子,由 区向势垒运动,62,续上,区,区,区,入射波,反射波,透射波,区无反射，,入,入射波,反,反射波,透,透射波,根据边界条件 和 处,和,必须连续，可求方程中各系数的关系。,透射粒子数,入射粒子数,透射系数,透,入,为描述粒子透过势垒的概率,引入,为原设,为势垒宽度,估算表明,可见，粒子能穿过比其能量更高的势垒， 这种现象称为,势垒贯穿,亦称,隧道效应,。这是微观粒子波动性的表现。,隧道效应已被许多实验所证实，并在半导体器件、超导器件、物质表面探测等现代科技领域中有着重要的应用。,63,扫描隧道显微镜,三、扫描隧道显微镜（STM）,两金属的平均逸出电势垒高度,金属1,金属2,逸出电势垒高,金属1,逸出电势垒高,金属2,金属中的电子由于隧道效应有可能穿越比其能量更高的表面势垒（逸出电势垒）而逸出金属表面，在金属外表面附近形成电子云，电子云的分布形式与金属晶体的结构和表面性质有关。,若两块金属表面相距 很近，至使表面的电子云发生相互重叠，此时若在两金属间加一微弱电压 （操作电压），则会有微弱的电流 （隧道电流） 从一金属流向另一金属，并可表示为,实验表明， 只要改变,0.1 n m(,原子直径线度）， 就会引起 变化一千倍左右。扫描隧道显微镜利用隧道效应中的这种灵敏特性，将一金属做成极细的探针（针尖细到一个原子大小），在另一金属样品表面附近扫描，它能够以原子级的空间分辨率去观察物质表面的原子结构。,若势垒宽度 和势垒平均高度 分别以,n m,和,eV,为单位时， 约为1。,64,续上,测试样品,测试样品,扫描探针,扫描探针,电子云,Si (111)表面 77 元胞的STM图像,亮点表示突起，暗部表示下凹,电子测控及数据处理系统,计算机显示系统,横向,分辨率达,0.1 n m,纵向,分辨率,达,0.005 n m,真空或介质,沿XY逐行扫描的同时，自控系统根据反馈,信号调节针尖到样品表层原子点阵的距离，,使 保持不变。针尖的空间坐标的变化,反映了样品表面原子阵列的几何结构及起,伏情况。经微机编码可显示表面结构图像。,STM可用于金属、半导体、绝缘体和有机物表面的研究。是材料科学、生命科,学和纳米科学与技术的有力武器。,Atomic Resolution STM on Si (111),65,随堂小议,（1）粒子的坐标是不能精确确定的；,（2）粒子的动量是不能精确测定的；,（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的；,（4）以上结论都不对。,不确定关系说明,结束选择,请在放映状态下点击你认为是对的答案,随堂小议,66,小议链接1,（1）粒子的坐标是不能精确确定的；,（2）粒子的动量是不能精确测定的；,（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的；,（4）以上结论都不对。,不确定关系说明,结束选择,请在放映状态下点击你认为是对的答案,随堂小议,67,小议链接2,（1）粒子的坐标是不能精确确定的；,（2）粒子的动量是不能精确测定的；,（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的；,（4）以上结论都不对。,不确定关系说明,结束选择,请在放映状态下点击你认为是对的答案,随堂小议,68,小议链接3,（1）粒子的坐标是不能精确确定的；,（2）粒子的动量是不能精确测定的；,（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的；,（4）以上结论都不对。,不确定关系说明,结束选择,请在放映状态下点击你认为是对的答案,随堂小议,69,小议链接4,（1）粒子的坐标是不能精确确定的；,（2）粒子的动量是不能精确测定的；,（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的；,（4）以上结论都不对。,不确定关系说明,结束选择,请在放映状态下点击你认为是对的答案,随堂小议,70,第七节,19 - 6,氢原子及多电子原子的结论,conclusion on hydrogen atom,and multiple- electroned atom,71,氢的薛氏方程,氢原子薛定谔方程,核,电子,一、氢原子的薛定谔方程,氢原子中的电子处在核的库仑场中，其势能为,球对称，并且与时间无关。,应用定态薛定谔方程,在球坐标系中定态薛定谔方程的形式为,sin,sin,sin,波函数 也是球坐标 的函数，令,用分离变量法,sin,sin,sin,得,然后分别求解,氢原子的薛定谔方程,氢原子的薛定谔方程,72,能量、角动量,能量、角量量子数,本课程不深究其求解过程，仅着重讨论所得出的几点重要结论。,1.,能量量子化,1, 2, 3, ,主量子数,决定氢原子的主能量,（与玻尔理论的结果一致，但这里是量子力学的求解结果，不是人为的假设。）,2.,角动量量子化,0, 1, 2, ,(,n,1),角量子数（副量子数）,决定角动量的大小,（与玻尔的人为假设 有所 区别，实验证明 ，量子力学的结果更为准确。）,73,空间取向,磁量子数,3.,角动量的空间取向量子化,决定角动量的取向,0, 1, 2, , ,磁量子数,角动量 的空间取向是量子化的，通常设,Z,轴方向为某一特定方向,（外场方向）， 在此特定方向上的投影的可能值为,时,0, 1,0, ,有,3,种可能取向,它们在Z轴的,投影值分别为,时,0, 1, 2,0, ,2,有,5,种可能取向,它们在Z轴的,投影值分别为,例如：,74,电子概率分布,氢原子电子概率分布,二、氢原子核外电子的概率分布,sin,sin,sin,氢原子核外电子的定态波函数,可通过求解前面已,经提到过的下述微分方程组而获得,其波函数通常用下述形式表示,量子数 的可能取值表示氢原子核外电子所处的可能状态，,为电子处于 定态时，在空间,处出现的概率密度。,为电子处于 态时沿 出现的概率密度。,为电子处于 定态时沿 出现的概率密度。,为电子处于 定态时沿 出现的概率密度。,75,图示,径向概率分布示例,n,=,2 ,l,=,0,n,=,1 ,l,=,0,电子沿径向出现的概率密度分布剖面示意图,n,=,2 ,l,=,1,r,1,r,r,1,r,r,1,r,（用明暗定性示意概率密度大小）,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,n,=,1 ,l,=,0,n,=,2 ,l,=,0,n,=,2 ,l,=,1,0.3,0.1,0.5,0.4,0.2,r,1,r,0.6,不同态的电子沿球坐标径向出现的概率密度分布曲线举例,横坐标中的 表示玻尔第一轨道半径,r,1,76,续上,角向概率分布示例,q,Z,Y,0,0,q,Z,Y,1,0,q,Z,Y,1,1,Y,Z,q,2,1,0,Y,Z,q,2,q,Z,Y,2,2,不同 态的电子时沿角向 出现的概率密度分布举例：,图中，从原点引向曲线某点的距离，代表在该方向上概率密度的大小。,由量子力学计算还可以得知，概率密度 与角向 无关。,因此，电子沿角向 的概率密度分布，可用 曲线,绕,Z,轴旋转所得的回旋面来描述。从原点引向回旋面某点的,距离，代表在该 方向上概率密度的大小。,77,续上,电子云示例,n,=,1,l,=,0,n,=,2,l,=,1,n,=,3,l,=,2,m,l,= 0,m,l,= 0,m,l,=1,m,l,= 0,m,l,=1,m,l,=2,以,Z,为轴的回旋面上的电子云側视图,n,=,1,l,=,0,n,=,2,l,=,1,n,=,3,l,=,2,m,l,= 0,m,l,= 0,m,l,= 0,m,l,=1,m,l,=1,m,l,=2,含,Z,轴的剖面上的电子云示意图,综合考虑径向和角向的概率密度分布，得到 ，,可将这种概率密度的空间分布形象化地作成象云一样的图象，空间任何一点,上云的密度（图中定性表示为明亮程度）与概率密度成正比。称为电子云图。,所谓 “电子云”，,并非表示一个电子,右图为处在几种,的概率密度。,示在某点发现电子,个空间，它只是表,同时占据云图的整,意图。,氢原子的电子云示,不同的量子态时，,78,塞曼效应,塞曼效应,三、塞曼效应,无外磁场时的某一谱线,加外磁场后分裂成三条谱线,光 源,光 源,外磁场,外磁场,分光计,这里仅以一种最简单的情况为例，将锌灯置于强磁场中，,在垂直于,磁场,的,方向上观测，锌原子能级跃迁原来发射的单线，分裂成,三条谱线。,塞曼效应是由于具有磁矩的原子在磁场中获得附加能量，使原来的一个能级发生分裂成若干个能级，谱线亦随之分裂。这一现象也证明了角动量空间量子化的存在。,若将光源置于足够强的外磁场中，它所发出的一条谱线会分,裂成若干条相互靠近的谱线，这种现象是荷兰物理学家塞曼于,1896年发现的，称为塞曼效应。,79,例,续上,若用玻尔的轨道模型作比喻,好比圆电流,此圆电流的磁矩大小为,电子轨道角动量大小为,联立解得,与,因,反向，故,在量子力学中，角动量大小量子化,相应地存在磁矩量子化,称为,玻尔磁子,9. 27410,-,24,J T,-,1,相应地存在磁矩取向量子化,角动量取向量子化,当沿,Z,轴方向对上述原子系统施以外磁场,B,时，磁力矩对各可能取向的 做功 ，使原子系统获得附加能量为,0, 1, 2, , ,附加能量 使得原子系统原来的一个能级分裂成 个能级，这是,导致谱线分裂的重要因素之一。在不同光源、外磁场及观测方向的条件下，塞曼效应呈现更复杂的谱线分裂现象，对后来电子自旋的发现起了重要作用。,80,电子自旋,银原子沉积记录屏,一束银原子分裂成两束,一、斯特恩 盖拉赫实验,非,均,磁,场,匀,银原子发射源,狭缝,的银原子束,l,=,0，,m,l,=,0,1,924年德国物理学家斯特恩和革拉赫发明了,的方法测量原子的磁矩。,直接用原子束通过非均匀磁场时发生偏转,电子的自旋,电子的自旋,对于外层只有一个价电子而且处于基态的银原子，其轨道角动量为零，磁矩本应为,零，这样的原子束通过磁场时不应发生偏转，但实验结果是原子束分成了对称的两,这一方法不但能直接证明角动量的空间量子化和原子磁矩的量子化，而且还发现，,束。这预示着原子系统中还有另一类起源的磁矩，它在外场的方向上仅有两个投影,81,自旋角动量,二、电子的自旋,为了解释斯特恩,-,革拉赫实验，1925年美籍荷兰物理学家乌仑贝克和古兹密特,提出了电子自旋的概念：,（1）,电子除空间运动外，还有自旋运动，与之相联系的,有,自旋角动量,和,自旋磁矩,。,（2）,自旋角动量 和轨道角动量一样，均服从角动量的,普遍法则， 的大小是量子化的,称为,自旋量子数,仅有一个值，而且是半整数：,故,称为,自旋磁量子数,只能取两个值：,（3）,在,Z,轴（外磁场）方向上的投影,故,82,自旋磁矩,电子自旋磁矩,研究表明，与,电子自旋角动量相联系的自旋磁矩,自旋磁矩外磁场方向上的投影,继斯特恩,-,革拉赫的基态银原子实验之后，1927年费蒲斯和泰勒用基态的氢原子,做了同类实验，结果也是分成两束，电子的自旋及自旋磁矩的存在进一步被证实。,电子自旋是电子的固有性质，任何经典机械运动图像都不可能确切描述这种特性。,其它基本粒子也有自旋特性。其中，质子和中子的自旋量子数 也是 。,电子自旋角动量,电子自旋量子数,电子自旋角动量大小,电子自旋磁量子数,在,Z,轴（外磁场）方向上的投影,简称 自旋,83,全同粒子,全同粒子,一、全同粒子与全同性原理,全同粒子,例如，所有的电子是全同粒子；所有的电质子也是全同粒子。,质量、电荷、自旋等固有性质完全,相同的微观粒子。,全同性原理,全同粒子体系中任何两个粒子的交,换，不会引起体系状态的改变。,在经典力学中，即使固有性质完全相同的两个质点，是可以根据,运动轨迹对它们进行追踪并加以辨认和区分的。,但在量子力学中，轨道概念对微观粒子没有意义，不可能对全同,粒子进行追踪和区分，全同粒子失去了个别性。因此，全同粒子在,同样的条件下其行为是完全相同的，,全同粒子体系中任何两个粒子的交,换，不会引起体系状态的改变,。,全 同 粒 子,全 同 粒 子,84,全同粒子波函数,全同粒子系统的波函数,在波函数一节中曾提到，波函数 和 描述同一状态，其概率密,度 相同。这里有必要结合全同性原理，定性地介绍一下量,子力学中有关全同粒子系统的波函数的若干重要概念和结论。,设某全同粒子系统的波函数为 ，将其中的任意两个粒子互换后，系,统状态不变，但其波函数有可能仍为 ，也有可能是 ，前者称为对,称函数，后者称为反称函数。,是对称的或反对称的，而且，其对称性不随时间的改变而改变。,由量子力学可以证明（略），描述全同粒子系统的状态的波函数只能,实验表明，自旋为 奇数倍的粒子，如电子、质子和中子，粒子,系统用反对称波函数描述，这类粒子称为费密子。自旋为 偶数倍,（包括零 ）的粒子，如光子、,a粒子，,粒子系统用对称波函数描述。这类,粒子称为玻色子。,85,泡利不相容原理,二、泡利不相容原理,Wolfgang Pauli,(19001958),泡 利,Wolfgang Pauli,(19001958),泡 利,1925年,奥地利物理学家泡利在研究全同粒子系统的波函数时发现，若全同粒子系统,由费密子组成，由于费密子系统的波函数是反对称函数，如果有两个粒子的状态相同，则系统的波函数为零，即,不能有两个或两个以上的费密子,处在同一个状态。,这一结果称为,泡利不相容原理。,对于原子系统，泡利不相容原理表明,在一个原子中，不可能有两个或两,个以上的电子具有两个完全相同的量,子态。或者说，原子中的每一个量子,态上最多只允许有一个电子。,86,原子的电子壳层结构,名 称,允 许 取 值,含 义,主量子数,n,=,1, 2,n,磁量子数,m,l,角量子数,l,=,0, 1, 2, (,-,1 ),n,l,自旋磁量子数,m,s,m,s,=,其值决定原子中电子的能量,其值决定原子中电子的角动量。由于轨道磁矩与自旋磁矩间的相互作用， 对能量也有一定影响， 又称副量子数,l,l,其值决定电子轨道角动量在外磁场中的取向,其值决定电子自旋角动量在外磁场中的取向，同时还影响电子在外磁场中的能量,m,l,=,1, 2,l,0,四个量子数,如前所述，氢原子核外电子的运动状态由四个量子数,（,n,l,m,l,m,s,),决定。,对于其它多电子的原子，其薛定谔方程比氢原子的情况要复杂得多，但近似计算表明，,其核外电子的运动状态仍由四个量子数决定，即,87,第九节,electron shell structure in atom,原子的电子壳层结构,原子的电子壳层结构,88,主壳层与支壳层,原子中电子的壳层结构,多电子原子核外的电子分壳层排布，同一壳层的电子具有相同的主量子数,n,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,代号：,K,，,L,，,M,，,N,，,O,，,P,，,Q,，,n,=,在同一壳层上角量子数相同的电子组成分壳层（或支壳层）,0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,代号：,s,，,p,，,d,，,f,，,g,，,h,，,i,，,l,=,代号,s,，,p,，,d,，,f,，,是沿用早期光谱学对某一谱线状况的称呼，,f,后面则接着按字母顺序排列。,fundamental,f,（,基本的），,（,strong,强的）,（,主要的）,principal,如:,dispersive,d,（,弥散的）,，,，,p,s,，,89,两条原则,电子在壳层和支壳层上分布遵循下列两条原则：,泡利不相容原理 前面已经叙述。在这里，我们可更,具体地表述为在一个原子中，任何两个电子不可能具有完,全相同的一组量子数（,n,l,m,l,m,s,) 。,能量最低原理 原子处于未激发的正常状态时，在不,违背泡利不相容原理的条件下，每个电子都趋向占据可能的,最低能级，使原子系统的总能量尽可能的低。,根据上述两个原则，可定性确定多电子原子核外电子按壳层的分布。,90,壳层可容电子数计算,m,s,n,3,l,：,1,2,m,l,0,0,0,1,-,1,0,1,-,1,2,-,2,从图中可见，,n,=,3,的主壳层中最多能容纳,18,个电子。,：,：,：,-,+,-,+,-,+,-,+,-,+,-,+,-,+,-,+,-,+,n,=,1, 2,l,=,1, 2, , (,-,1 ),n,m,l,=,1, 2,l,m,s,=,四个量子数的允许取值为,0,0,n,= 3,的主壳层中,最多能容纳几个电子？,问,计算主量子数为,n,的主壳层中最多能容纳电子数的通式为,由此不难得出：,91,壳层可容电子数图表,l,n,0 1 2 3 4 5 6,s,p d,f,g,h,i,1 2 3 4 5 6 7,K,L,M,N,O,P,Q,666666,1010101010,181818,2222,26,28,1832507298,N,n,各壳层最多可容纳的电子数,主量子数为,n,的壳层中最多能容纳电子数为,N,n,2,n,2,角量子数为,l,的支壳层中最多能容纳电子数为,2,（2,l +,1 ),92,徐光宪定则,l,n,0 1 2 3 4 5 6,s,p d,f,g,h,i,1 2 3 4 5 6 7,K,L,M,N,O,P,Q,666666,1010101010,181818,2222,26,28,1832507298,N,n,各壳层最多可容纳的电子数,主量子数为,n,的壳层中最多能容纳电子数为,N,n,2,n,2,角量子数为,l,的支壳层中最多能容纳电子数为,2,（2,l +,1 ),0 1 2 3 4 5 6,s,p d,f,g,h,i,l,n,1 2 3 4 5 6 7,K,L,M,N,O,P,Q,28,1832507298,N,n,1010101010,181818,2222,26,666666,电子的能量主要由主量子数,n,决定,n,越小,能级越低，该壳层离核越近。,电子一般按,n,由小到大的顺序填入各,能级。,但角量子数对电子的能量也有影响，使得一些较重元素的原子，有时,n,较小的壳层尚未填满，电子就开始填入,n,较大的壳层。我国科学家徐光宪,总结出一条规律,徐光宪定则：,对原子外层的电子，能级高低由 (,n,+,0.7,l,) 的大小,来确定，其值越大，能级越高。,例如，,n,=,3,l,=,2,的,3,d,支壳层，,(3+0.72)=4.4,高于,n,=,4,l,=,0,的,4,s,支壳层，,(4+0.70)=4,又如，,n,=,4,l,=,2,的,4,d,支壳层，,(4+0.72)=5.4,高于,n,=,5,l,=,0,的,5,s,支壳层，,(5+0.70)=5 ,等等,93,举例,2,s,3,s,4,s,5,s,2,p,3,p,4,p,5,p,4,d,3,d,1,s,能 量,H,He,Li,Be,C,O,F,Ne,Na,Mg,Al,Si,Cl,K,Ca,Sc,Ti,B,N,P,S,A,Rb,Sr,Y,Zr,V,Cr,Mn,Fe,Co,Ni,Cu,Zn,Ga,Ge,As,Se,Br,Kr,Nb,Mo,Tc,Ru,Rh,Pd,Ag,Cd,In,Sn,Sb,Te,I,Xe,1,s,2,2,s,2,2,p,6,3,s,2,3,p,6,4,s,2,3,d,10,4,p,6,5,s,1,37号元素,Rb,（,铷,）,的电子组态,：,根据徐光宪定则，对原子外层的电子，能级高低由 (,n,+,0.7,l,) 的大小,来确定，其值越大，能级越高。得,1,s,2,2,s,2,2,p,6,3,s,2,3,p,6,4,s,1,19,号元素,K,（,钾,）,的电子组态,：,3,d,4,s,；,高于,4,d,5,s,高于,等等。,21,号元素,Sc,（,钪,）,的电子组态,：,1,s,2,2,s,2,2,p,6,3,s,2,3,p,6,4,s,2,3,d,1,94,元素的电子组态,K,L,M,N,O,1,s,2,s,2,p,3,p,3,s,3,d,4,s,4,p,4,d,4,f,5,s,5,p,5,d,5,f,5,g,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,B,N,11,12,13,15,14,17,16,18,19,20,P,S,A,37,38,21,22,H,He,Li,Be,C,O,F,Ne,Na,Mg,Al,Si,Cl,K,Ca,Sc,Ti,39,40,Rb,Sr,Y,Zr,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,6,6,2,6,2,6,6,2,1,2,6,6,6,1,2,2,2,1,2,3,4,5,6,6,6,6,6,6,6,6,6,1,2,2,2,2,2,2,2,6,6,6,6,1,2,3,4,5,6,2,2,2,2,6,6,6,6,10,10,10,10,2,2,2,2,6,6,6,6,2,1,1,2,2,2,1,s,2,2,s,2,2,p,6,3,s,2,3,p,6,4,s,2,3,d,10,4,p,6,5,s,1,1,s,2,2,s,2,2,p,6,3,s,2,3,p,6,4,s,2,1,s,1,1,s,2,1,s,2,2,s,2,2,p,2,1,s,2,2,s,2,2,p,5,1,s,2,2,s,2,2,p,6,3,s,2,3,p,1,1,s,2,2,s,2,2,p,6,3,s,2,3,p,4,元素的,电子组态,1,s,2,2,s,2,2,p,6,3,s,2,3,p,6,4,s,2,3,d,10,5,s,2,4,p,6,4,d,1,1,s,2,2,s,2,2,p,6,3,s,2,3,p,6,4,s,1,3,d,1,95,本章部分选例1,已知,某电子的动能,100 eV,某子弹的质量,400 m / s,0.01 kg,它们的,德布