拉普拉斯变换及其应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复习、提问,1,、系统的三大性能是什么？,2,、系统动态性能的三大指标是什么,?,3,、对一个系统的基本要求可归纳为三个字：稳、快、准。谈谈你对这三个字的理解。,4,、系统分析的一般步骤分三步走，哪三步？,5,、对于单输入单输出系统，经典的分析方法有三种，哪三种？,曹冲称象,利用拉氏变换求解微分方程的思路是：,第二章拉普拉斯变换及其应用,拉普拉斯,(1749-1827) ,法国著名数学家和天文学家。他是天体力学的主要奠基人，是天体演化学的创立者之一，是分析概率论的创始人，是应用数学的先躯。,拉氏变换的定义公式为：,第一节拉氏变换的概念,【,例,2-1】,求单位阶跃函数,1(t),的拉氏变换式。,解：,【,例,2-2】,求单位脉冲函数,(t),的拉氏变换式。,解：,【,例,2-3】,求,(t),与,1(t),间的关系。,结论：单位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数。单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数。,解：,【,例,2-4】,求正弦函数,f(t,)=,sint,的拉氏变换式。,解法一：利用手算。,解法二：利用,MATLAB,软件。,实例,求下面这个函数,f(t,),的拉氏变换式。,解法一：利用手算。,解法二：利用,MATLAB,软件。,教材表,2-1,是常用函数的拉氏变换表，要求会查表。,有九个定理（或者说九个性质），教材介绍了,5,个。要熟悉这,5,个定理的结论与用途。,1,、,线性定理（包括叠加定理、比例定理）,2,、,位移定理（也叫延迟定理）,3,、相似定理,4,、,微分定理,5,、,积分定理,6,、周期函数的拉氏变换,7,、初值定理,8,、,终值定理,9,、卷积定理,第二节拉氏变换的运算定理,两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即,1.,叠加定理,K,倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的,K,倍。即,2.,比例定理,思考,（,1,）阶跃函数,K,1(t),的拉氏变换式为多少？,（,2,）脉冲函数,K,(t),的拉氏变换式为多少？,在零初始条件下，,即,3.,微分定理,则,上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的,n,阶导数的拉氏式等于其象函数乘以,s,n,。,在零初始条件下，,即,4.,积分定理,则,上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的,n,重积分的拉氏式等于其象函数除以,s,n,。,当原函数,f(t,),延迟时间,，成为,f(t,-,),时，它的拉氏式为,5.,延迟定理（也叫位移定理）,上式表明，当原函数,f(t,),延迟,，即成为,f(t,-,),时，相应的象函数,F(s,),应乘以因子,e,-s,。,6.,终值定理,上式表明原函数在,t,时的数值,(,稳态值,),，可以通过将象函数,F(s,),乘以,s,后，再求,s0,的极限值来求得。条件是当,t,和,s0,时，等式两边各有极限存在。,终值定理在分析研究系统的稳态性能时,(,例如分析系统的稳态误差，求取系统输出量的稳态值等,),有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。,实例,1,记，设,求下面这个函数的拉氏变换。函数式中,m,、,B,、,K,都是常数。,实例,2,记，设,求下面这个函数的拉氏变换。函数式中,a,n,、,a,n-1,、,、,a,1,、,a,0,都是常数。,拉氏反变换的定义公式为：,第三节拉氏反变换,公式右端的积分是一个复变函数的积分,计算很麻烦。求拉氏反变换的方法主要有部分分式法、,查表法,、留数法等。,实例,求下面这个函数,F(s,),的拉氏反变换式。,解法一：利用手算。,解法二：利用,MATLAB,软件。,应用拉氏变换求解微分方程的思路是：,第四节应用拉氏变换求解微分方程,【,例,2-5】,已知某系统的微分方程为：,方程式中，,r(t,),是输入信号；,c(t,),是输出信号；,T,是常数。方程的初始条件为零。,若系统的输入量是单位阶跃函数，则系统输出量的变化曲线是怎样的？,解法一：利用手算。,解法二：利用,MATLAB,软件。,图,2-3,典型一阶系统的单位阶跃响应曲线,本次课小结：,了解并理解拉氏变换和拉氏反变换的定义、性质。会查拉氏变换表。,能够利用,MATLAB,软件求解已知函数的拉氏变换式、拉氏反变换式。,能够利用拉氏变换和拉氏反变换求解简单的微分方程。,第三次作业：,教材习题,2-1,、,2-2,。,下次课展望：,系统的微分方程,系统的传递函数,休息一下,