一维随机变量及其分布

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,下,回,停,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,概率论与数理统计,一、随机变量的定义,二、分布函数的性质,第一节 一维随机变量 及其分布,(1),一、随机变量的定义,1,.,随机变量的引入,P(A):,随机事件发生的概率。,A,可为数字、描述等，例如投骰子出现的点数、灯泡的产品寿命等。,为了更好的研究试验结果,需要,将随机试验的结果,数量化,以便于数学上的推导和计算。为此建立了,随机变量的概念。,例,1,这样便把非数量的样本空间数量化了,.,若以数”,1”,表示正面,数”,0”,表示反面,那么我们就,可以将试验结果与数值联系起来,即可以通过如,下示性函数与数值发生联系,.,抛掷一枚均匀硬币,观察出现正面或是反面,.,=1,、,2,、,3,、,4,、,5,、,6,由于样本点本身已经是数量表示,这时我们可以做,即,例,2,那么,试,验的所有可能结果即样本空间为,抛掷骰子,观察出现的点数,.,一个恒等变换,2.,随机变量的定义,定义,2.1,设,E,是随机试验，其样本空间为,= ,.,若对于每一个样本点, ，都有唯一的实数值,X,(,),与之对应，则称定义在样本空间,=,上,的单值实函数,X,(,),为,随机变量（,r.v.,）,，简记为,X,.,作用：,将对,随机事件,的研究转化为对,随机变量,的研究，从而可利用数学方法研究随机现象及其统计规律性。,分类：,离散型随机变量,：,X,的取值有限或至多可列个。如古典概型、呼叫次数等。,连续型随机变量,：,X,的取值为无限不可列个。如速度、候车时间、降水量等。,1,X,的定义域是样本空间,，而不一,随机变量,X,与高等数学中的实函数,定是实数集；,2,X,的取值是随机的，它的每一个可,3,随机变量是随机事件的数量化,.,即,对于任意实数,x, ,X,x,是随机事件,.,能取值都有一定的概率；,4,对于随机变量,我们常常关心它的取值,.,注,有本质的区别：,二、分布函数及其性质,如果我们对,随机事件,X,x,求概率,就引出,为随机变量,X,的,分布函数,.,1.,分布函数的定义,定义,2.2,称,了随机变量分布函数的概念,.,记作,X,F,(,x,),或,X,F,X,(,x,).,2.,分布函数的性质,(1),由于对于任意的,为一概率,根据概率公理化定义,有,证,(4),的证明要用到较多的测度论的知识,注,1,可以证明：,一个函数若具有上述性质,则此函数一定是,这里从略,.,某个随机变量的分布函数,.,2,重要公式,例,3,解,由分布函数的右连续性，得,一个靶子是半径为,2,米的圆盘,设击中靶上任,解,例,4,一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以,X,表示弹着点与圆心的距离,.,试求随机变量,X,的分布函数,.,于是,故,X,的分布函数为,内容小结,1,.,随机变量是一个函数，是定义在样本空间上,2.,随机变量主要分为离散型和连续型。,3.,随机变量分布函数的概念,.,的函数,.,4,.,分布函数的性质,.,再见,思考题,不同的随机变量,他们的分布函数一定不相同吗,?,解,不一定,.,例如抛均匀硬币,令,X,1,与,X,2,在样本空间上对应法则不同,是两个不同,的随机变量,但它们却有相同的分布函数,.,备用题,例,3-1,设连续型随机变量,X,的分布函数为,:,求,:,(1),常系数,A,及,B,;,(2),随机变量,X,落在,(-1,1),内的概率,.,解,(1),根据分布函数的性质可知,依题意可得,联立上面两个方程可以解得,(2),随机变量,X,落在,(-1,1),内的概率可以表示为,例,4-1,抛掷均匀硬币,求随机变量,X,的分布函数,.,解,