11线性空间的概念

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,Department of Mathematics,Department of Mathematics,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title style,Department of Mathematics,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,Department of Mathematics,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,Department of Mathematics,线 性 空 间 引 论,Department of Mathematics, College of Sciences,1,课前预习、课中提高效率、课后复习,作业要求,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材, 矩阵论 ,哈尔滨工程大学主编,其他辅导类参考书（自选）,2,线 性 空 间 与 线 性 映 射,第 一 章,3,教 学 内 容 和 基 本 要 求,1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；,2, 掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质；,3, 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵示表示,了解,线性空间同构的含义.,重点:,线性空间的概念；子空间的维数定理,；基变换与,坐标变换.,难点:,基变换与坐标变换,4,常见数域：,复数域,C,；实数域,R,；有理数域,Q,；,设,F,是至少包含两个数的数集，如果,F,中,F,中的数，则称,F,为一个,数域,任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是,定义：,一,数域的定义,（,注意：自然数集,N,及整数集,Z,都不是数域,）,1.1,线性空间,5,说明：,1）若数集,F,中任意两个数作某一运算的结果仍在,F,中，则说数集,F,对这个运算是,封闭,的,2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数,集,F,对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）,是封闭的，则称集,F,为一个数域,6,是一个数域,例1,证明：数集,证：,又对,设,则有,设,于是,也不为0,7,或,矛盾）,（否则，若,则,于是有,为数域,是数域.,类似可证,Gauss数域,8,二、数域的性质定理,任意数域,F,都包括有理数域,Q,证明：,设,F,为任意一个数域由定义可知，,于是有,即:有理数域为最小数域,进而有,而任意一个有理数可表成两个整数的商，,9,定义1,设 是一个非空集合， 为一数域在,V,上定义运算如下：,)对任意两个元素 ，总有唯一的一个元素,与之对应，称为 与 的,和，,记作,三,线性空间的定义和举例,若对于任一数 与任一元素 ，总有唯,一的一个元素 与之对应，称为 与 的,积,，,记作,10,如果上述的两种运算满足以下,八条,运算规律，那么 就称为数域 上的,线性空间,记为:,八条运算规律:,11,（1）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的,实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性,例1,实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法,和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ,一般线性空间的判定方法,12,通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运,算满足线性运算规律,例2,数域,F,上次数小于,n,的多项式的全体，记作：,例3,不是线性空间,可以验证： 构成数域,F,上的线性空间,13,例4,正弦函数的集合,对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空,间,是一个线性空间.,14,例5.,正实数的全体，记作 ，在其中定义加法,及乘数运算为,验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间,(2) 一个集合，如果定义的加法和乘数运算不 是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律,15,下面一一验证八条线性运算规律：,证明:,所以对定义的加法与乘数运算封闭,16,所以 对所定义的运算构成线性空间,17,不构成线性空间,对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法,例6.,个有序实数组成的数组的全体,解答:,18,1零元素是唯一的,证明:,假设 是线性空间,V,中的两个零元素,，,由于,所以,则对任何,，,有,二,线性空间的性质,19,2负元素是唯一的,证明,假设 有两个负元素,与 ，,那么,则有,向量 的负元素记为,20,证明,21,4,如果 ，则 或 .,证明,假设,那么,又,同理可证：若 则有,22,证：,设,而数域,F,中有无限多个不同的数，所以,V,中有无限,多个不同的向量.,注：,只含一个向量零向量的线性空间称为,零空间,.,练习：,证明：数域,F,上的线性空间,V,若含有一个非零,向量，则,V,一定含有无穷多个向量,23,定义:,设 为数域 上的一个 维线性空间，,为 的一个子集，如果 对于 的两种运,算(加法与数乘运算)也构成数域 上的线性,空间,那么我们称 为 的一个,子空间,。,四. 线性子空间,定理,线性空间 的非空子集 构成子空间的充分,必要条件是： 对于 中的线性运算封闭,24,例7.,对于任意一个有限维线性空间 , 它必有两个,平凡子空间,，即由单个零向量构成的子空间,以及线性空间 本身。,例8,.设 ,那么线性方程组 的全部,解为线性空间 的一个子空间，我们称其为,齐次线性方程组的解空间。,当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。,25,解,(1)不构成子空间.,因为对,例9,有,26,即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间.,对任意,于是,有,27,满足,且,28,设 是线性空间 中的向量，,则由 的所有线性组合：,构成的集合是 的子空间，称为由,张成（生成）的子空间,，记为：,或：,零向量集合与 本身称为,平凡子空间,， 非平凡子空间称为 的,真子空间,张成子空间的定义:,29,思考题,30,思考题解答,31,八条运算规律:,32,（1）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的,实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性,例1,实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法,和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ,一般线性空间的判定方法,33,通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运,算满足线性运算规律,例2,例3,不是线性空间,34,例5.,正实数的全体，记作 ，在其中定义加法,及乘数运算为,验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间,(2) 一个集合，如果定义的加法和乘数运算不 是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律,35,下面一一验证八条线性运算规律：,证明:,所以对定义的加法与乘数运算封闭,36,所以 对所定义的运算构成线性空间,37,不构成线性空间,对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法,例6.,个有序实数组成的数组的全体,解答:,38,例7.,设 是一个域，令：,构成线性空间,对于通常的有序数组的加法及乘法,特别的，对于含有 个元素的有限域 ，,由 构成的线性空间 记为：,39,1零元素是唯一的,四,线性空间的性质,2负元素是唯一的,4,如果 ，则 或 .,40,定义:,设 为数域 上的一个 维线性空间，,为 的一个子集，如果 对于 的两种运,算(加法与数乘运算)也构成数域 上的线性,空间,那么我们称 为 的一个,子空间,。,五. 线性子空间,定理,线性空间 的非空子集 构成子空间的充分,必要条件是： 对于 中的线性运算封闭,41,例7.,对于任意一个有限维线性空间 , 它必有两个,平凡子空间,，即由单个零向量构成的子空间,以及线性空间 本身。,例8,.设 ,那么线性方程组 的全部,解为线性空间 的一个子空间，我们称其为,齐次线性方程组的解空间。,当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。,42,解,(1)不构成子空间.,因为对,例9,有,43,即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间.,对任意,于是,有,44,满足,且,45,设 是线性空间 中的向量，,则由 的所有线性组合：,构成的集合是 的子空间，称为由,张成（生成）的子空间,，记为：,或：,零向量集合与 本身称为,平凡子空间,， 非平凡子空间称为 的,真子空间,张成子空间的定义:,46,47,