中南大学电磁场与电磁波课件ch

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,中南大学信息科学与工程学院,*,电磁场与电磁波,第,3,章 静态电磁场及其边值问题,第,3,章 静态电磁场及其边值问题的解,静态电磁场,：,场量不随时间变化，包括：,静电场,恒定电场,恒定磁场,时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场,静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立,9/22/2024,1,中南大学信息科学与工程学院,本章内容,3.1,静电场分析,3.2,导电媒质中的恒定电场分析,3.3,恒定磁场分析,3.4,静态场的边值问题及解的惟一性定理,3.5,镜像法,3.6,分离变量法,9/22/2024,2,中南大学信息科学与工程学院,3.1,静电场分析,本节内容,3.1.1,静电场的基本方程和边界条件,3.1.2,电位函数,3.1.3,导体系统的电容与部分电容,3.1.4,静电场的能量,3.1.5,静电力,9/22/2024,3,中南大学信息科学与工程学院,2.,边界条件,微分形式：,本构关系：,1.,基本方程,积分形式：,或,或,3.1.1,静电场的基本方程和边界条件,若分界面上不存在面电荷，即 ，则,9/22/2024,4,中南大学信息科学与工程学院,介质,2,介质,1,在静电平衡的情况下，导体内部的电场为,0,，则导体表面的边界条件为,或,场矢量的折射关系,导体表面的边界条件,D,与,E,均垂直于导体表面,9/22/2024,5,中南大学信息科学与工程学院,即,静电场可以用,一个标量函数的梯度,来表示，,标量函数 称为静电场的,标量电位,或简称,电位,。,由,1.,电位函数的定义,3.1.2,电位函数,2.,电位的表达式,对于连续的体分布电荷，由,9/22/2024,6,中南大学信息科学与工程学院,同理得，,面电荷,的电位：,电位：,点电荷,的电位：,线电荷,的电位：,9/22/2024,7,中南大学信息科学与工程学院,3.,电位差,两端点乘 ，则有,将,上式两边从点,P,到点,Q,沿任意路径进行积分，得,关于电位差的说明,P,、,Q,两点间的,电位差,等于,电场力将单位正电荷从,P,点移至,Q,点,所做的功,，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。,电位差也称为,电压,，可用,U,表示。,电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，,与积分路径无关,。,P,、,Q,两点间的电位差,电场力做的功,9/22/2024,8,中南大学信息科学与工程学院,选择电位参考点的原则,应使电位表达式有意义。,应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无,限远作电位参考点。,同一个问题只能有一个参考点。,静电位不惟一，可以相差一个常数，即,选,参考点,令参考点电位为零,电位确定值,(,电位差,),两点间,电位差有定值,4.,电位参考点,9/22/2024,9,中南大学信息科学与工程学院,例,3.1.1,求电偶极子的电位,.,解,在球坐标系中,用二项式展开，由于，得,代入上式，得,表示,电偶极矩,，方向由负电荷指向正电荷。,+q,电偶极子,z,o,d,q,9/22/2024,10,中南大学信息科学与工程学院,将 和 代入上式，,解得,E,线方程为,由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度,等位线,电场线,电偶极子的场图,电场线微分方程,：,等位线方程,：,9/22/2024,11,中南大学信息科学与工程学院,在,圆柱坐标系,中，取 与,x,轴方向一致，即 ，而,，故,解,选定均匀电场空间中的一点,O,为坐标原点，而任意点,P,的位置矢量为,r,，则,若选择点,O,为电位参考点，即 ，则,在,球坐标系,中，取极轴与 的方向一致，即 ，则有,例,3.1.2,求均匀电场的电位分布。,9/22/2024,12,中南大学信息科学与工程学院,解,采用圆柱坐标系，,令线电荷与,z,轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与,无关。,在带电线上位于,z,处的线元 ，它,到点 的距离 ，,则,x,y,z,L,-L,例,3.1.3,求长度为,2,L,、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。,9/22/2024,13,中南大学信息科学与工程学院,在上式中若令,，则可得到无限长直线电荷的电位。当,时，上式可写为,当,时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有,并选择有限远处为电位参考点。例如，选择,=,a,的点为电位参,考点，则有,9/22/2024,14,中南大学信息科学与工程学院,在均匀介质中，有,5.,电位的微分方程,在无源区域，,标量泊松方程,拉普拉斯方程,9/22/2024,15,中南大学信息科学与工程学院,6.,静电位的边界条件,设,P,1,和,P,2,是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为,1,和,2,。,当两点间距离,l,0,时,导体表面上电位的边界条件：,由 和,媒质,2,媒质,1,若介质分界面上无自由电荷，即,常数,，,9/22/2024,16,中南大学信息科学与工程学院,例,3.1.4,两块无限大接地导体平板分别置于,x,= 0,和,x,=,a,处，在两板之间的,x,=,b,处有一面密度为,的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的,电位,和,电场,。,解,在两块无限大接地导体平板之间，除,x,=,b,处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足,一维拉普拉斯,方程,方程的解为,o,b,a,x,y,两块无限大平行板,9/22/2024,17,中南大学信息科学与工程学院,利用边界条件，有,处，,最后得,处，,处，,所以,由此解得,9/22/2024,18,中南大学信息科学与工程学院,电容器广泛应用于电子设备的电路中：,3.1.3,导体系统的电容与部分电容,在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁,路、选频等作用。,通过电容、电感,、,电阻的排布，可组合成各种功能的复杂,电路。,在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以,减少电能的损失和提高电气设备的利用率。,9/22/2024,19,中南大学信息科学与工程学院,电容,是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电,荷能力的物理量。,孤立导体的电容定义为所带电量,q,与其电位,的比值，即,1.,电容,孤立导体的电容,两个带等量异号电荷（,q,）,的,导体组成的电容器,，其电容为,电容的大小只与导体系统的,几何尺寸,、,形状,和及,周围电介质,的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。,9/22/2024,20,中南大学信息科学与工程学院,(1),假定两导体上分别带电荷,+,q,和,q,；,计算电容的方法一,：,(4),求比值 ，即得出所求电容。,(3),由 ，求出两导体间的电位差；,(2),计算两导体间的电场强度,E,；,计算电容的方法二,：,(1),假定两电极间的电位差为,U,；,(2),计算两电极间的电位分布,；,(3),由,得到,E,;,(4),由,得到,;,(5),由 ，求出导体的电荷,q,；,(6),求比值 ，即得出所求电容。,9/22/2024,21,中南大学信息科学与工程学院,解,：,设内导体的,电荷为,q,，则由高斯定理可求得内外导体间的电场,同心导体间的电压,球形电容器的电容,当,时，,例,3.1.5,同心球形电容器的内导体半径为,a,、外导体半径为,b,，其间填充介电常数为,的均匀介质。,求此,球形电容器的电容,。,孤立导体球的电容,9/22/2024,22,中南大学信息科学与工程学院,例,3.1.6,如图所示的平行双线传输线，导线半径为,a,，,两,导线的轴线距离为,D,，且,D,a,，求,传输线单位长度的电容,。,解,设两导线单位长度带电量分别为 和 。由于 ，故,可近似地认为电荷分别均匀分布在两,导线的表面上。应用高斯定理和叠加原,理，可得到两导线之间的平面上任一点,P,的电场强度为,两导线间的电位差,故单位长度的电容为,9/22/2024,23,中南大学信息科学与工程学院,解,设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和 ，,应用,高斯定理,可得到内外导体间任一点的电场强度为,例,3.1.7,同轴线内导体半径为,a,，,外,导体半径为,b,，内外导体间填充的介电常数为,的均匀介质，,求同轴线单位长度的,电容,。,内外导体间的电位差,故得同轴线单位长度的电容为,同轴线,9/22/2024,24,中南大学信息科学与工程学院,2.,部分,电容（自学）,9/22/2024,25,中南大学信息科学与工程学院,如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说,电场能量,就等于,外加电源在此电场建立过程中所做的总功。,静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。,静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有,能量。,任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立,(,或充电,),过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。,3.1.4,静电场的能量,9/22/2024,26,中南大学信息科学与工程学院,1,静电场的能量,讨论系统充电并稳定后的电场能量，与,充电过程无关,从零状态开始充电，充电结束时，电荷为,、电位为,充电过程中，,电荷与电位同比增加,，比例因子,，即充电过程中某一时刻电荷与电位分别为,和,充电过程由,= 0,到,= 1,，由无数个充电单元,d,组成,对于系统中的一个单位体积，在每个充电单元，电源将输送电荷,d,，同时做功,(,)(,d,),，此功将转换为电场的能量,所以，在一个充电单元中，整个系统能量的增加，即外电源为此所做的功为,9/22/2024,27,中南大学信息科学与工程学院,通过电位计算,面分布电荷,电容器的储能,第,i,个导体所带的电荷,第,i,个导体的电位,式中：,充电完成后，系统的总能量为,9/22/2024,28,中南大学信息科学与工程学院,讨论的是充电完成系统稳定后的情况，所以,只适用于静电场,积分区域为存在电荷分布的空间，由于在无电荷分布的区域积分为零，所以积分也可以为整个空间,能量是分布在有电场存在的整个空间，并非仅仅存在于有电荷分布的区域，所以,被积函数,不代表能量密度,关于静电场能量表达式的补充说明,9/22/2024,29,中南大学信息科学与工程学院,2.,电场能量密度,从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。,电场能量密度,：,电场的总能量,：,积分区域为电场所在的整个空间,对于线性、各向同性介质，则有,9/22/2024,30,中南大学信息科学与工程学院,由于体积,V,外的电荷密度,0,，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面,S,无限扩大时，则有,故,推证,：,0,S,9/22/2024,31,中南大学信息科学与工程学院,例,3.1.8,半径为,a,的球形空间内均匀分布有电荷体密度为,的电荷，试求静电场能量。,解：,方法一,，,利用 计算,根据高斯定理求得电场强度,故,9/22/2024,32,中南大学信息科学与工程学院,方法二,：,利用 计算,先求出电位分布,故,9/22/2024,33,中南大学信息科学与工程学院,3.1.5,静电力,(,自学,),9/22/2024,34,中南大学信息科学与工程学院,3.2,导电媒质中的恒定电场分析,本节内容,3.2.1,恒定电场的基本方程和边界条件,3.2.2,恒定电场与静电场的比拟,3.2.3,漏电导,9/22/2024,35,中南大学信息科学与工程学院,由,J,E,可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为,恒定电场,。,恒定电场,与,静电场,的重要区别：,（,1,）恒定电场可以存在于导体内部。,（,2,）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。,恒定电场和静电场都是,无旋场,，具有相同的性质。,3.2.1,恒定电场的基本方程和边界条件,9/22/2024,36,中南大学信息科学与工程学院,1.,基本方程,恒定电场的基本方程为,微分形式：,积分形式：,恒定电场的基本场矢量是,电流密度,和,电场强度,线性各向同性导电媒质的本构关系,恒定电场的电位函数,由,若媒质是均匀的，则,均匀导电媒质中没有体分布电荷,9/22/2024,37,中南大学信息科学与工程学院,2.,恒定电场的边界条件,媒质,2,媒质,1,场矢量的边界条件,即,即,导电媒质分界面上的电荷面密度,场矢量的折射关系,9/22/2024,38,中南大学信息科学与工程学院,电位的边界条件,恒定电场同时存在于,导体内部,和,外部,，在,导体表面,上的电场,既有,法向分量,又有,切向分量,，电场并不垂直于导体表面，因,而,导体表面不是等位面,；,说明,：,9/22/2024,39,中南大学信息科学与工程学院,媒质,2,媒质,1,媒质,2,媒质,1,如,2,1,、且,2,90,，,则,1,0,，,即电场线近似垂直于与良导体表面。,此时，良导体表面可近似地看作为,等位面；,若媒质,1,为理想介质,，,即,1,0,，,则,J,1,=0,，,故,J,2n,= 0,且,E,2n,= 0,，即导体,中的电流和电场与分界面平行,。,9/22/2024,40,中南大学信息科学与工程学院,3.2.2,恒定电场与静电场的比拟,如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为,比拟法,。,静电场,恒定电场,9/22/2024,41,中南大学信息科学与工程学院,恒定电场与静电场的比拟,基本方程,静电场（ 区域）,本构关系,位函数,边界条件,恒定电场（电源外）,对应物理量,静电场,恒定电场,9/22/2024,42,中南大学信息科学与工程学院,例,3.2.1,一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为,1,、,1,和,2,、,2,，外加电压,U,。,求介质面上的自由电荷密度。,解,：,极板是理想导体，为等位面，电流沿,z,方向。,9/22/2024,43,中南大学信息科学与工程学院,工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压,U,时，必定会有微小的漏电流,J,存在。,漏电流与电压之比为漏电导，即,其倒数称为绝缘电阻，即,3.2.3,漏电导 （自学）,9/22/2024,44,中南大学信息科学与工程学院,(1),假定两电极间的,电流,为,I,；,计算两电极间的,电流密度,矢量,J,；,由,J,=, E,得到,E,;,由 ，求出两导,体间的电位差；,(5),求比值 ，即得出,所求电导。,计算电导的方法一,：,计算电导的方法二,：,(1),假定两电极间的电位差为,U,；,(2),计算两电极间的电位分布,；,(3),由,得到,E,;,(4),由,J =, E,得到,J,;,(5),由 ，求出两导体间,电流；,(6),求比值 ，即得出所,求电导。,计算电导的方法三,：,静电比拟法：,9/22/2024,45,中南大学信息科学与工程学院,例,3.2.3,求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为,a,、,b,，,长度为,l,，其间媒质的电导率为,、介电常数为,。,解,：直接用恒定电场的计算方法,电导,绝缘电阻,则,设由内导体流向外导体的电流为,I,。,9/22/2024,46,中南大学信息科学与工程学院,方程通解为,例,3.2.4,在一块厚度为,h,的导电板上， 由两个半径为,r,1,和,r,2,的圆弧和夹角为,0,的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿,方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为,。,解：,设在沿,方向的两电极之间外加电压,U,0,，,则电流沿,方向流动，而且电流密度是随,变化的。但容易,判定电位,只是变量,的函数，因此电位函数,满足一维,拉普拉斯方程,代入边界条件,可以得到,环形导电媒质块,r,1,h,r,2,0,9/22/2024,47,中南大学信息科学与工程学院,电流密度,两电极之间的,电流,故,沿,方向的两电极之间的电阻,为,所以,9/22/2024,48,中南大学信息科学与工程学院,本节内容,3.3.1,恒定磁场的基本方程和边界条件,3.3.2,恒定磁场的矢量磁位和标量磁位,3.3.3,电感,3.3.4,恒定磁场的能量,3.3.5,磁场力,3.3,恒定磁场分析,9/22/2024,49,中南大学信息科学与工程学院,微分形式,:,1.,基本方程,2.,边界条件,本构关系：,或,若,分界面,上不存在面电流，即,J,S,0,，则,积分形式,:,或,3.3.1,恒定磁场的基本方程和边界条件,9/22/2024,50,中南大学信息科学与工程学院,矢量磁位的定义,磁矢位的任意性,与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量,的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即,由,即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。,磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的,A,，,可以对,A,的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为,库仑规范,。,1.,恒定磁场的矢量磁位,矢量磁位或称磁矢位,3.3.2,恒定磁场的矢量磁位和标量磁位,9/22/2024,51,中南大学信息科学与工程学院,磁矢位的微分方程,在无源区：,矢量泊松方程,矢量拉普拉斯方程,磁矢位的表达式,直角坐标系下,都是常矢量,即,9/22/2024,52,中南大学信息科学与工程学院,因为 与源方向相同，如取坐标系同源方向一致，则得一维标量，故可引入标量函数，将 的方程转化成标量方程。,由 求,，,求偏微分即可。,9/22/2024,53,中南大学信息科学与工程学院,磁矢位的边界条件,利用磁矢位计算磁通量,：,其中,C,1,、,C,2,为闭合小柱面的上底面和下底面的边界,9/22/2024,54,中南大学信息科学与工程学院,例,3.3.1,求,小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回路的半径为,a,，回路中的电流为,I,。,解,如图所示，由于具有轴对称性，,矢量磁位和磁场均,与,无关，计算,xO,z,平面上的矢量磁位与磁场,将不失一般性。选取球坐标。,小圆环电流,a,I,x,z,y,r,R,I,P,O,9/22/2024,55,中南大学信息科学与工程学院,对于远区，有,r,a,，所以,由于在,= 0,面上,，所以上式可写成,于是得到,9/22/2024,56,中南大学信息科学与工程学院,式中,S,=,a,2,是小圆环的面积。,载流小圆环可看作磁偶极子，,为磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则,或,9/22/2024,57,中南大学信息科学与工程学院,解,：先求长度为,2,L,的直线电流的磁矢位。,电流元 到点 的距离 。则,例,3.3.2,求无限长线电流,I,的磁矢位，设电流沿,+,z,方向流动。,与计算无限长线电荷的电位一样，令 可得到无限长线电流的磁矢位,x,y,z,L,-L,9/22/2024,58,中南大学信息科学与工程学院,2.,恒定磁场的标量磁位,一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（,J,0,）的空间 中，则有,即在无传导电流,（,J,0,）,的空间中，可以引入一个,标量位函数来描述磁场。,标量磁位的引入,标量磁位或磁标位,磁标位的微分方程,在线性、各向同性的均匀媒质中,9/22/2024,59,中南大学信息科学与工程学院,标量磁位的边界条件,和,静电位 磁标位,磁标位与静电位的比较,9/22/2024,60,中南大学信息科学与工程学院,1.,磁通与磁链,3.3.3,电感,单匝线圈形成的回路的磁链定,义为穿过该回路的磁通量,多匝线圈形成的导线回路的磁,链定义为所有线圈的磁通总和,C,I,细,回路,粗导线构成的回路，磁链分为,两部分：一部分是粗导线包围,的、磁力线不穿过导体的外磁通量,o,；另一部分是磁力线穿过,导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量,i,。,i,C,I,o,粗回路,9/22/2024,61,中南大学信息科学与工程学院,设回路,C,中的电流为,I,，,所,产生的磁场与回路,C,交链的磁链为,，则磁链,与回路,C,中的电流,I,有正比关系，其比值,称为回路,C,的自感系数，简称自感。,外自感,2.,自感,内自感；,粗导体回路的自感：,L = L,i,+ L,o,自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。,自感的特点,：,9/22/2024,62,中南大学信息科学与工程学院,解,：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为,I,，由安培环路定理,穿过沿轴线单位长度的矩形面积元,d,S,= d,的磁通为,例,3.3.4,求同轴线单位长度的自感,。,设内导体半径为,a,，,外导体厚度可忽略不计，其半径为,b,，,空气填充。,得,与,d,i,交链的电流为,则与,d,i,相应的磁链为,9/22/2024,63,中南大学信息科学与工程学院,因此内导体中总的内磁链为,故单位长度的内自感为,再求内、外导体间的外自感。,则,故单位长度的外自感为,单位长度的总自感为,9/22/2024,64,中南大学信息科学与工程学院,例,3.3.5,计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半径为,a,，两导线的间距为,D,，且,D,a,。导线及周围媒质的磁导率为,0,。,穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为,解,设两导线流过的电流为,I,。由于,D,a,，故,可近似地认为导线中的电流是均匀分布的。应用安培环路定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点,P,的磁感应强度为,P,I,I,9/22/2024,65,中南大学信息科学与工程学院,于是得到平行双线传输线单位长度的外自感,两根导线单位长度的内自感为,故得到平行双线传输线单位长度的自感为,9/22/2024,66,中南大学信息科学与工程学院,对两个彼此邻近的闭合回路,C,1,和回路,C,2,，,当回路,C,1,中通过电流,I,1,时，不仅与回路,C,1,交链的磁链与,I,1,成正比，而且与回路,C,2,交链的磁链,12,也与,I,1,成正比，其比例系数,称为回路,C,1,对回路,C,2,的互感系数，简称互感。,3.,互感,同理，回路,C,2,对回路,C,1,的互感为,C,1,C,2,I,1,I,2,R,o,9/22/2024,67,中南大学信息科学与工程学院,互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围,磁介质有关，而与电流无关。,满足互易关系，即,M,12,=,M,21,当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互,感系数,M,为正值；反之，则互感系数,M,为负值,。即互感正负取决于回路（电流）正方向的选择，互感磁通与电流满足右手螺旋关系互感为正的，否则为负的；自感都是正的，因为自感磁通总是与电流呈右螺旋关系。,互感的特点：,9/22/2024,68,中南大学信息科学与工程学院,4.,纽曼公式,如图所示的两个,回路,C,1,和回路,C,2,，,回路,C,1,中的电流,I,1,在回路,C,2,上的任一,点产生的矢量磁位,回路,C,1,中的电流,I,1,产生的磁场与回路,C,2,交链的磁链为,C,1,C,2,I,1,I,2,R,o,纽曼公式,同理,故得,9/22/2024,69,中南大学信息科学与工程学院,由图,中,可知,长直导线与三角形回路,穿过三角形回路面积的磁通为,解,设长直导线中的电流为,I,，,根据,安培环路定理，得到,例,3.3.6,如图所示，长直导线与三角,形导体回路共面，求它们之间的互感。,9/22/2024,70,中南大学信息科学与工程学院,因此,故长直导线与三角形导体回路的互感为,9/22/2024,71,中南大学信息科学与工程学院,3.3.4,恒定磁场的能量,1.,磁场能量,在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。,电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定,磁场具有能量。,磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从,零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因,而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。,假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。,假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐,射损耗。,9/22/2024,72,中南大学信息科学与工程学院,设回路从零开始充电，最终的电流为,I,、交链的磁链为,。 在时刻,t,的电流为,i =,I,、磁链为,=,。,(0,1),根据能量守恒定律，此功也就是电流,为,I,的载流回路具有的磁场能量,W,m,，即,对,从,0,到,1,积分，即得到外电源所做的总功为,外加电压应为,所做的功,当,增加为,(,+,d,),时，回路中的感应电动势,:,9/22/2024,73,中南大学信息科学与工程学院,对于,N,个载流回路，则有,对于体分布电流，则有,例如，对于两个电流回路,C,1,和回路,C,2,，有,回路,C,2,的自,有能,回路,C,1,的自,有能,C,1,和,C,2,的,互能,9/22/2024,74,中南大学信息科学与工程学院,2.,磁场能量密度,从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。,磁场能量密度：,磁场的总能量：,积分区域为电场所在的整个空间,对于线性、各向同性介质，则有,9/22/2024,75,中南大学信息科学与工程学院,若电流分布在有限区域内，当闭合面,S,无限扩大时，则有,故,推证,：,S,9/22/2024,76,中南大学信息科学与工程学院,例,3.3.8,同轴电缆的,内导体半径为,a,，,外导体的内、外半径分别为,b,和,c,，如图所示。导体中通有电流,I,，,试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。,解,：由安培环路定理，得,9/22/2024,77,中南大学信息科学与工程学院,三个区域单位长度内的磁场能量分别为,9/22/2024,78,中南大学信息科学与工程学院,单位长度内总的磁场能量为,单位长度的总自感,内导体的内自感,内外导体间的外自感,外导体的内自感,9/22/2024,79,中南大学信息科学与工程学院,3.3.5,磁场力,（自学）,假定第,i,个回路在磁场力的作用下产生一个虚位移,d,g,i,。此时，磁场力做功,d,A,F,i,d,g,i,，系统的能量增加,d,W,m,。根据能量守恒定律，有,式中,d,W,S,是与各电流回路相连接的外电源提供的能量。,具体计算过程中，可假定各回路电流维持不变，或假定与各回路交链的磁通维持不变。,虚位移原理,9/22/2024,80,中南大学信息科学与工程学院,1 .,各回路电流维持不变,若假定各回路中电流不改变，则回路中的磁链必定发生改变，因此两个回路都有感应电动势。此时，外接电源必然要做功来克服感应电动势以保持各回路中电流不变。此时，电源所提供的能量,即,于是有,故得到,不变,系统增加的磁能,9/22/2024,81,中南大学信息科学与工程学院,2.,各回路的磁通不变,故得到,式中的“”号表示,磁场力做功是靠减少系统的磁场能量来实现的,。,若假定各回路的磁通不变，则各回路中的电流必定发生改变。由于各回路的磁通不变，回路中都没有感应电动势，故与回路相连接的电源不对回路输入能量，即,d,W,S,0,，因此,不变,9/22/2024,82,中南大学信息科学与工程学院,例,3.3.9,如图所示的一个电磁铁，由铁轭（绕有,N,匝线圈的铁心）和衔铁构成。铁轭和衔铁的横截面积均为,S,，平均长度分别为,l,1,和,l,2,。铁轭与衔铁之间有一很小的空气隙，其长度为,x,。设线圈中的电流为,I,，铁轭和衔铁的磁导率为 。若忽略漏磁和边缘效应，求铁轭对衔铁的吸引力。,解,在忽略漏磁和边缘效应的情况下，若保持磁通,不变，则,B,和,H,不变，储存在铁轭和衔铁中的磁,场能量也不变，而空气隙中的磁场能量则,要变化。于是作用在衔铁上的磁场力为,电磁铁,空气隙中的,磁场强度,变,9/22/2024,83,中南大学信息科学与工程学院,若采用式 计算，由储存在系统中的磁场能量,由于 和 ，考虑到 ，可得到,同样得到铁轭对衔铁的吸引力为,根据安培环路定理，有,9/22/2024,84,中南大学信息科学与工程学院,3.4,静态场的边值问题及解的唯一性定理,本节内容,3.4.1,边值问题的类型,3.4.2,惟一性定理,边值问题,：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或,拉普拉斯方程,9/22/2024,85,中南大学信息科学与工程学院,3.4.1,边值问题的类型,已知场域边界面,S,上的位函数值，即,第一类边值问题（或狄里赫利问题）,已知场域边界面,S,上的位函数的法向导数值，即,已知场域一部分边界面,S,1,上的,位函数值，而另一部分边界面,S,2,上则已知,位函数的法向导数值，即,第三类边值问题（或混合边值问题）,第二类边值问题（或纽曼问题）,9/22/2024,86,中南大学信息科学与工程学院,实际问题中除了给定的边界条件外，有时还要引入某些补充的物理约束条件，称为自然边界条件。（自然边界条件不是事先给定的，必须根据具体问题自行确定。）,当电荷分布在有限区域，而场域扩展至无限远处，在无限远处电位应为零。,在圆柱坐标中的二维场，当,一定，而角度,相差,2,的整数倍的点实际上是同一点，所以场量应相等。,9/22/2024,87,中南大学信息科学与工程学院,衔接条件,由于电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程都是在均匀介质条件下导出的，当场域内有分区均匀的多种介质时，则要在各区域内分别求解各自的电位微分方程。作为定解需要还要引入不同区域分界面上的边界条件，如下。这两个方程表示的边界条件也称为分界面上的衔接条件。,9/22/2024,88,中南大学信息科学与工程学院,例：,（第一类边值问题）,（第三类边值问题）,例：,9/22/2024,89,中南大学信息科学与工程学院,在场域,V,的边界面,S,上,给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域,V,具有惟一解。（即满足泊松方程和拉普拉斯方程及其边界条件的解是唯一的。）,3.4.2,惟一性定理,惟一性定理的重要意义,给出了静态场边值问题具有惟一解的条件,为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据,为求解结果的正确性提供了判据,惟一性定理的表述,9/22/2024,90,中南大学信息科学与工程学院,惟一性定理的证明,反证法,：假设解不惟一，则有两个位函数,和 在场域,V,内满足同样的方程，即,且在边界面,S,上有,令,，,则,在场域,V,内,且在边界面,S,上满足同样的边界条件。,或,或,9/22/2024,91,中南大学信息科学与工程学院,由格林第一恒等式,可得到,对于第一类边界条件：,对于第二类边界条件：若 和 取同一点,Q,为参考点 ，则,对于第三类边界条件：,9/22/2024,92,中南大学信息科学与工程学院,边值问题的解法可分为,解析法,和,数值法,两大类。,解析法,得到的解是一种数学表示式,分离变量法,镜像法,数值法,则是直接计算离散点上的场量数值包括有限差分法等。,优缺点：,解析法得到的场量表达式是准确解，但它只能解决规则边界场问题。,数值法属于近似计算法，但对于不规则边界的复杂场问题是很有用的方法。,9/22/2024,93,中南大学信息科学与工程学院,本节内容,3.5.1,镜像法的基本原理,3.5.2,接地导体平面的镜像,3.5.3,导体球面的镜像,3.5.4,导体圆柱面的镜像,3.5.5,点电荷与无限大电介质平面的镜像,3.5.6,线电流,与无限大磁介质平面的镜像,3.5,镜像法,9/22/2024,94,中南大学信息科学与工程学院,当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。,非,均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,1.,问题的提出,几个实例,q,3.5.1,镜像法的基本原理,接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。,q,非均匀感应电荷,等效电荷,9/22/2024,95,中南大学信息科学与工程学院,接地导体球附近有一个点电荷，如图。,非,均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电,荷为线电荷。,q,非均匀感应电荷,q,等效电荷,结论,：,所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷,或线电荷的作用。,9/22/2024,96,中南大学信息科学与工程学院,2.,镜像法的原理,用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。,在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在,同一方程,下问题所给定的,边界条件,，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。,3.,镜像法的理论基础,解的,惟一性定理,9/22/2024,97,中南大学信息科学与工程学院,像电荷的个数、位置及其电量大小,“,三要素”,。,4.,镜像法应用的关键点,5.,确定镜像电荷的两条原则,等效求解的“有效场域”,。,镜像电荷的确定,像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。,像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场,区域 的边界条件来确定。,9/22/2024,98,中南大学信息科学与工程学院,1.,点电荷对无限大接地导体平面的镜像,满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。,3.5.2,接地导体平面的镜像,镜像电荷,电位函数,因,z,= 0,时，,有效区域,q,q,9/22/2024,99,中南大学信息科学与工程学院,上半空间,(,z,0,）的电位函数,q,导体平面上的感应电荷密度为,导体平面上的总感应电荷为,9/22/2024,100,中南大学信息科学与工程学院,2.,线电荷对无限大接地导体平面的镜像,镜像线电荷：,满足原问题的边界条件，,所得的解是正确的。,电位函数,原问题,当,z,= 0,时，,有效区域,9/22/2024,101,中南大学信息科学与工程学院,3.,点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像,如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷,q,位于,(,d,1,d,2,),处。,显然，,q,1,对平面,2,以及,q,2,对平面,1,均不能满足边界条件。,对于平面,1,，有镜像电荷,q,1,=,q,，位于,(,d,1,d,2,),对于平面,2,，有镜像电荷,q,2,=,q,，位于,(,d,1,d,2,),只有在,(,d,1,d,2,),处,再设置一,镜像电荷,q,3,=,q,，所有边界条件才能,得到满足。,电位函数,d,1,1,q,d,2,2,R,R,1,R,2,R,3,q,1,d,1,d,2,d,2,q,2,d,1,q,3,d,2,d,1,9/22/2024,102,中南大学信息科学与工程学院,例,3.5.1,一个点电荷,q,与无限大导体平面距离为,d,，,如果把它移至无穷远处，需要做多少功？,解,：移动电荷,q,时，外力需要克服电场力做功，而电荷,q,受的,电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷,q,移至无穷远时电场力所做的功。,q,q,x, =,0,d,-d,由镜像法，感应电荷可以用像电荷,替代。当电荷,q,移至,x,时，像电荷,应位于,x,，,则,像电荷产生的电场强度,9/22/2024,103,中南大学信息科学与工程学院,3.5.5,点电荷与无限大电介质平面的镜像,图,1,点电荷与电介质分界平面,特点：,在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。,图,2,介质,1,的镜像电荷,问题：,如图,1,所示，介电常数分别为,和 的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质,1,中有一个点电荷,q,，距分界平面为,h,。,分析方法：,计算电介质,1,中的电位时，用位于介质,2,中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 的均匀介质，如图,2,所示。,9/22/2024,104,中南大学信息科学与工程学院,介质,1,中的电位为,计算电介质,2,中的电位时，用位于介质,1,中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 的均匀介质，如图,3,所示。介质,2,中的电位为,图,3,介质,2,的镜像电荷,9/22/2024,105,中南大学信息科学与工程学院,可得到,说明：,对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无限长线电荷（单位长度带,），其镜像电荷为,利用电位满足的边界条件,9/22/2024,106,中南大学信息科学与工程学院,图,1,线电流与磁介质分界平面,图,2,磁介质,1,的镜像线电流,特点,：在直线电流,I,产生的磁场作用下，磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流分布，空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生。,问题,：如图,1,所示，磁导率分别为 和 的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，在磁介质,1,中有一根无限长直线电流平行于分界平面，且与分界平面相距为,h,。,分析方法,：在计算磁介质,1,中的磁场时，用置于介质,2,中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图,2,所示。,3.5.6,线电流,与无限大磁介质平面的镜像,9/22/2024,107,中南大学信息科学与工程学院,因为电流沿,y,轴方向流动，所以矢量磁位只有,y,分量，则磁介质,1,和磁介质,2,中任一点的矢量磁位分别为,图,3,磁介质,2,的镜像线电流,在计算磁介质,2,中的磁场时，用置于介质,1,中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图,3,所示。,9/22/2024,108,中南大学信息科学与工程学院,相应的磁场可由,求得。,可得到,故,利用矢量磁位满足的边界条件,9/22/2024,109,中南大学信息科学与工程学院,应用：天线不能太靠近地面否则发送的信号会被镜像削弱,正电荷向右移动动,镜像负电荷向右移动所形成的电流向左，与原电流抵消,9/22/2024,110,中南大学信息科学与工程学院,应用：单极天线，发送的信号被加强,正电荷向上移动,相当于负电荷向下移动，则镜像电流方向向上,9/22/2024,111,中南大学信息科学与工程学院,小型天线,9/22/2024,112,中南大学信息科学与工程学院,因此，如果能够构造出导磁体表面，将可以设计出低剖面水平极化天线，,具有重要意义！,刚才考虑的是导电体（切向电场,0,），在存在导磁体,（切向磁场,0,）的情况下。,9/22/2024,113,中南大学信息科学与工程学院,3.6,分离变量法,本节内容,3.6.1,分离变量法解题的基本原理,3.6.2,直角坐标系中的分离变量法,3.6.3,圆柱坐标系中的分离变量法,3.6.4,球坐标系中的分离变量法,9/22/2024,114,中南大学信息科学与工程学院,将偏微分方程中含有,n,个自变量的待求函数表示成,n,个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成,n,个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。,分离变量法是求解边值问题的一种经典方法,分离变量法的理论依据是惟一性定理,分离变量法解题的基本思路：,3.6.1,分离变量法解题的基本原理,9/22/2024,115,中南大学信息科学与工程学院,二阶常系数微分方程的解,一、 二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式,其中,p,q,是常数，称之为二阶,常系数,齐次线性方程；,如果,p,q,不全为常数，则称它为,二阶变系数,齐次线性微分方程。,9/22/2024,116,中南大学信息科学与工程学院,二、二阶常系数齐次线性微分方程的通解,要找,它,的通解，可先求出它的两个解,y,1,与,y,2,如果,即,y,1,与,y,2,线性无关，那么,就是方程的通解。,9/22/2024,117,中南大学信息科学与工程学院,对于指数函数,若它是方程的解，则有,由于,，从而有,微分方程的,特征方程,。,9/22/2024,118,中南大学信息科学与工程学院,根据特征方程根的不同情形，有微分方程的通解,9/22/2024,119,中南大学信息科学与工程学院,特征方程有一对共轭复根：,是微分方程的两个解，根据齐次方程解的叠加原理，有,9/22/2024,120,中南大学信息科学与工程学院,再进行线性组合，有,微分方程的通解,9/22/2024,121,中南大学信息科学与工程学院,在直角坐标系中，若位函数与,z,无关，则拉普拉斯方程为,3.6.2,直角坐标系中的分离变量法,将,(,x,y,),表示为两个一维函数,X,(,x,),和,Y,(,y,),的乘积，即,将其代入拉普拉斯方程，得,再除以,X,(,x,),Y,(,y,),，有,分离常数,9/22/2024,122,中南大学信息科学与工程学院,若取,k,2,，则有,当,当,9/22/2024,123,中南大学信息科学与工程学院,将所有可能的,(,x,y,),线性,叠加起来，则得到位函数的通解，即,若取,k,2,，同理可得到,通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。,9/22/2024,124,中南大学信息科学与工程学院,例,3.6.1,无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为,U,0,，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。,解：,位函数满足的方程和边界条件为,因,(0 ,y,),0,、,(,a , y,),0,，故,位函数的通解应取为,9/22/2024,125,中南大学信息科学与工程学院,说明将,(0 ,y,),0,、,(,a , y,),0,，代入,（,3.6.9,）有,综上,3.6.9,不适合作为本题的通解。,9/22/2024,126,中南大学信息科学与工程学院,确定待定系数,9/22/2024,127,中南大学信息科学与工程学院,将,U,0,在（,0,a,）上按 展开为傅里叶级数，即,其中,9/22/2024,128,中南大学信息科学与工程学院,由,故得到,9/22/2024,129,中南大学信息科学与工程学院,3.6.3,圆柱坐标系中的分离变量法,令其解为,代入方程，可得到,由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分方程,在圆柱坐标系中，若位函数与,z,无关，则拉普拉斯方程为,9/22/2024,130,中南大学信息科学与工程学院,欧拉方程,9/22/2024,131,中南大学信息科学与工程学院,当 时，,其解为：,9/22/2024,132,中南大学信息科学与工程学院,当,k,= 0,时,当,k,0,时,9/22/2024,133,中南大学信息科学与工程学院,通常,(,),随变量,的变化是以,2,为周期的周期函数。 因此，分离常数,k,应为整数，即,k,n,(,n,0, 1, 2,),。,考虑到以上各种情况，,电位微分方程,的解可取下列一般形式,也可以写为,9/22/2024,134,中南大学信息科学与工程学院,解,选取圆柱坐标系，令,z,轴为圆柱轴线，电场强度的方向与,x,轴一致，即,因介质柱内外都不存在自由电荷的体密度，因此介质柱内外都满足拉普拉斯方程，又因为介质柱是均匀无限长的，而且均匀外电场与圆柱轴线垂直，因此电位函数与变量,z,无关。,例,3.6.2,均匀外电场 中，有一半径为,a,、介电常数为,的无限长均匀介质圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为空气，如图所示。试求介质圆柱内、外的电位函数和电场强度。,x,y,a,E,0,o,P,(,),9/22/2024,135,中南大学信息科学与工程学院,设介质圆柱内的电位函数为,1,，介质圆柱外的电位函数为,2,，应满足的条件为,1,