正态分布、指数分布

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,正态分布、指数分布,正态分布,若连续型,r .v,X,的,概率密度为,记作,其中 和,( 0 ),都是常数,则称,X,服从参数为 和 的,正态分布,或,高斯分布,.,事实上,则有,曲线 关于 轴对称；,函数 在 上单调增加,在 上,单调减少,在 取得最大值；,x =,为,f,(,x,),的两个拐点的横坐标；,当,x,时，,f,(,x,),0,.,f,(,x,),以,x,轴为渐近线,根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图,.,决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度,.,正态分布,的图形特点,设,X, ,X,的分布函数,是,正态分布 的分布函数,正态分布由它的两个参数,和,唯一确定， 当,和,不同时，是不同的正态分布。,标准正态分布,下面我们介绍一种最重要的正态分布,的正态分布称为,标准正态分布,.,其密度函数和分布函数常用,和,表示：,标准正态分布,的性质,:,事实上,标准正态分布的重要性,在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准,正态分布,.,定理,1,证,Z,的分布函数为,则有,根据定理,1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题,.,于是,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表,.,正态分布表,当,x,0,时,(,x,),的值.,若,若,X,N,(0,1),N,(0,1),则,【,例,】,设,N,(1,4) ,求,P,(0, 1.6,),【解】,附表,解一,解二,图解法,0.2,由图,0.3,【,例,5】,设测量的误差,N,(7.5,100)(,单位：米,),问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次,误差的绝对值不超过,10,米的概率大于,0.9?,解,设,A,表示进行,n,次独立测量至少有一次误差,的绝对值不超过,10,米,n, 3,所以至少要进行,4,次独立测量才能满足要求。,例,10,（第,79,页）,练习题,14,、,16,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，,X,的取值几乎全部集中在,-,3,3,区间,内，超出这个范围的可能性仅占不到,0.3%,.,当,X,N,(0,1),时，,P,(|,X,| 1)=2,(,1,)-,1,=,0.6826,P,(|,X,| 2)=2,(,2,)-,1,=,0.9544,P,(|,X,| 3)=2,(,3,)-,1,=,0.9974,3,准则,将上述结论推广到一般的正态分布,可以认为，,Y,的取值几乎全部集中在,区间内,.,这在统计学上称作,“,3,准则,”,.,N,(0,1),时，,解,P,(,X h,)0.01,或,P,(,X,h,),0.99,，,下面我们来求满足上式的最小的,h,.,看一个应用正态分布的例子,:,例,公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在,0.01,以下来设计的,.,设男子身高,X,N,(,170,6,2,),问车门高度应如何确定,?,设车门高度为,h,cm,按设计要求,因为,X,N,(,170,6,2,),故,P,(,X,0.99,因而,=,2.33,即,h,=170+13.98 184,设计车门高度为,184,厘米时，可使,男子与车门碰头,机会不超过,0.01,.,P(,X, 0,为常数,-,=,-,0,1,0,0,),(,x,e,x,x,F,x,l,对于任意的,0 ,a,b,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布常作为各种,“,寿命,”,分布的近似,【例6】,令：,B,=,等待时间为,10,20,分钟,