计算流体力学 第2讲差分方法1

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,第二讲 有限差分法（1）,数学楼315； 52377625 email:,计算流体力学讲义,第2节 差分方法理论基础,第0节 前言,第1节 有限差分法基本概念,第0节 前言,(1) 有限差分法研究背景,(2) 研究CFD的手段,研究CFD的理论手段,研究CFD的实验手段,研究CFD的计算手段,9/22/2024,2,传统计算方法：,有限差分法， 有限体积法 ， 有限元法， 谱方法（谱元法）等；,最近发展的方法:,基于粒子的算法（格子-Boltzmann, BGK），无网格,(1) 有限差分法研究背景,3,Copyright by Li Mingjun,4,流体力学,理论研究,实验研究,数值研究,计算流体力学,（数值计算技术、,计算方法研究）,理论研究：,格式推导、 稳定性分析，精度及误差分析，,数值实验：,采用实际问题考核方法的正确性,数值研究：,采用数值计算推导格式、考察精度/稳定性/分辨率,“计算流体力学”作为一个学科， 其研究手段依然包括理论、实验及数值模拟。,Copyright by Li Mingjun,与 的依赖关系,5,(2) 研究CFD的手段,例：Fourier分析,线性系统：,线性方程+ 线性格式,任意函数都可分解为三角函数的叠加,差分系统,(解差分方程),初始值,数值解（特定时刻离散的函数值）,记为：,是差分算子，把离散函数（有限点列） 映射 为另一个离散函数,v,i, 与u,i,的依赖关系,线性系统，可大为简化,波数空间单一的依赖关系：,原理：,线性系统，输入一个波，只能输出一个波（且波数不变）。,非线性系统会产生多个谐波,线性差分系统：,针对,一个单波,， 研究经过差分系统后的变化就可以了解该系统。,Fourier误差分析； Fourier稳定性分析,理论分析的局限性： 对于复杂系统（非线性方程、非线性格式）非常困难,Copyright by Li Mingjun,研究CFD的理论手段,6,研究CFD的实验手段:,例： 精度分析,思想：,通过具体算例来研究（考核，分析）差分方法,典型的文章：,提出方法+理论分析 + 算例验证,差分离散,理论方法，Taylor展开，求余项 。 对于复杂（如非线性）格式，难度大。,实验方法，通过算例考核精度,精确解:,为该离散函数的模,计算误差:,分析误差对网格步长的依赖关系,斜率为精度的阶数,（通常用最小二乘法计算）,斜率为精度的阶数n,Copyright by Li Mingjun,常用的模：,1 模：,2 模：,无穷模,：,7,常用的验证算例（“实验验证”）,考核方法通常找一些难度大的（条件苛刻、极端）的算例。否则，无法突出方法的优越性。,1维算例,： Shu-Osher,Sod 激波管， 方波/尖波,Shu-Osher问题的计算结果 （Li et al. Init. J. Num. Fluid. 2005),航空领域权威的考核算例, DPW,标准计算模型,Copyright by Li Mingjun,2维算例：,前/后台阶、双马赫反射、二维Riemann问题、RT不稳定性问题、翼型扰流、圆柱绕流,3维复杂算例：,各向同性湍流的DNS, 槽道湍流的DNS, 激波-边界层干扰的DNS,8,研究CFD的计算手段,例： 差分格式构造,理论方法：,手工推导系数（工作量大）,数值方法：,通过数值手段推导系数,数值求解，获得系数,格式优化；,通过数值计算手段进行 Fourier分析;,Copyright by Li Mingjun,第1节 有限差分法基本原理,1. 差分方法的基本概念,2. 时间项的离散,3. 数值算例,4*. 复杂网格的处理方法,9/22/2024,9,1. 差分方法的基本概念,离散点上利用,Taylor,展开，,把微分转化成差分, j-2 j-1 j j+1 ,（等距网格）,10,Copyright by Li Mingjun,多维问题,各方向独自离散；（时间同样考虑）,比有限体积法计算量小；,便于构造高阶格式,；,11,Copyright by Li Mingjun,基本概念：,截断误差,差分表达式,（1阶）,精度,（2阶）,12,Copyright by Li Xinliang,a. 差分表达式及截断误差,b. 前差、后差、中心差, j-2 j-1 j j+1 ,前,前差,中心差,后差,其他： 向前（后）偏心差分,；,后,13,Copyright by Li Xinliang,差分方程,如何确定精度？,1,） 理论方法， 给出误差表达式,2,）数值方法， 给出误差对,的数值依赖关系,微分方程,差分方程,截断误差：,14,Copyright by Li Xinliang,经差分离散后的方程，称为差分方程,d. 差分方程的修正方程,修正方程 差分方程准确逼近（无误差逼近）的方程,差分方程,截断误差,微分方程=差分方程+截断误差,差分方程=微分方程-截断误差, 新的微分方程（修正方程）,等价于,修正方程,15,通常要求：,修正方程中不出现时间的高价导数项 （便于进行空间分析）,修正方程,主导项： 1阶； 耗散型,16,17,e. 显格式及隐格式,显格式：,无需解方程组就可直接计算n+1层的值；,隐格式：,必须求解方程组才能计算n+1层的值.,e. 守恒型差分格式,基本思想： 保证（整个区域）积分守恒律严格满足,称为,守恒型差分格式。,其中：,特点： 消去了中间点上的值，只保留两端,物理含义： 只要边界上没有误差，总体积分方程不会有任何误差。,如果 是准确的，则 也是准确的 （假设边界条件没有误差）,守恒性的例子：,环形管道里的流动, 总质量保持不变,早期,极为强调守恒性,最近,重新认识,18,守恒型方程,定义：,对于上述守恒型方程，差分格式,关于守恒性格式的一些注解,注意：符号,与函数,f,在 点的值无关！,是,j,点周围几个点上,f,(或者,u,)值的函数， 为一记号，,Copyright by Li Mingjun,请勿理解为 点的值 ！,（1）流通量形式,（2） 常系数线性格式都是守恒的,例如,，,差分格式：,等价于,其中,20,Copyright by Li Mingjun,（3）,关于,得到 后，将j替换成,j,-1即可得到 ,无需单独计算 ！,21,Copyright by Li Mingjun,（白白增加计算量）,守恒方程+ 守恒格式= 守恒解,22,f. 传统型（非紧致）差分格式及紧致型差分格式,传统型：,运用多个点函数值的组合逼近一点的导数, j-2 j-1 j j+1 ,紧致型：,多个点函数值的组合逼近多个点导数值的组合,例：,Copyright by Li Mingjun,23,例：,联立求解 ， 多对角方程, 追赶法求解（LU分解法）,紧致格式：,同样的基架点，可构造更高阶格式,Copyright by Li Mingjun,（最高）精度,=,自由参数个数,-1,（因为自由参数更多）,Copyright by Li Xinliang,24,一些”差分算子”记号,约定：,一阶偏导数,二阶偏导数,一阶精度前差,上面两个算子表示的差分格式形式可以任意， 包括线性/非线性、低阶/高阶、普通/紧致,二阶中心,下面三个一阶偏导数的差分算子有固定含义,。,一阶精度后差, j-1 j j+1 ,2. 时间项的离散,(1) 直接离散法, 把时间导数直接差分离散,1阶Euler显格式,1阶Euler隐格式,2阶Crank-Nicolson格式,守恒方程,(2) Runge-Kutta 格式,这是目前最常使用的,3步3阶TVD型R-K方法。,推荐！,时间离散算子为：,在某一点进行,Taylor展开，构造格式,(3) 时-空耦合离散,n+1,n,j-1 j j+1,(i) 蛙跳格式,n,j,(ii) Lax-Wandrof格式,(iii) 半隐错点格式,(iv) MacCormack格式,Copyright by Li Mingjun,算例1：有限差分法求解抛物型方程,一维非定常热传导方程,初始条件,t=0, T=T,0,(x),边界条件,既可以采用显示法也可以采用隐式法。显示格式:,(a),(b),(c1),(c2),3. 数值算例,Copyright by Li Mingjun,x=0,x=L,Copyright by Li Mingjun,Copyright by Li Mingjun,表1 有限差分法计算结果(FDS)与解析解(AS)在x=0.3的对比数据(r=0.10),Copyright by Li Mingjun,表2,有限差分法计算结果(FDS)与解析解(AS)在x=0.3的对比数据(r=0.50),Copyright by Li Mingjun,表3 在不同空间位置有限差分法计算的结果(r=1),Copyright by Li Mingjun,(d1),(d2),在i=0点，式(a)表述为,如果选用中心差分公式，式(d1)可写为,由式(e1)和式(e2)联立消掉 得,(e1),(f1),注：,考虑以下边界条件的情况,Copyright by Li Mingjun,在i=K点，式(a)表述为,根据中心差分公式，在i=K点边界条件可写为,4*. 复杂网格的处理方法,(1) 一维情况：,非均匀网格, j-2 j-1 j j+1 ,非均匀网格,0,1的均匀网格,将方程由物理空间变到计算空间,（以,x,为自变量变为以 为自变量）,其中 为已知函数,37,物理坐标, 计算坐标,Copyright by Li Mingjun, j-2 j-1 j j+1 ,方法1 （常用）：,网格（Jacobian）变换,常用的一维坐标变换函数：,38,要求：,(1),坐标变换必须足够光滑，,否则会降低精度,(2) 网格间距变化要缓慢，,否则会带来较大误差,Copyright by Li Mingjun,网格非光滑、间距剧烈变化不会降低精度； 随机网格都可保证精度,指数函数,双曲正切函数,方法2：,在非等距网格上直接构造差分格式, j-2 j-1 j j+1 ,原理：,直接进行Taylor展开，构造格式格式系数是坐标（或网格间距）的函数,解出系数,注： 系数随网格点(j)变化！,39,Copyright by Li Mingjun,(2) 二维/三维情况,坐标变换, 均匀的直角网格,40,控制方程,三个方向共需计算9次导数，计算量大,对流项可组合，求3次导数即可,41,RAE2822翼型周围的网格,42,第2节 差分方法理论基础,2. 差分格式稳定性分析方法,1. 相容、收敛、稳定性与Lax等价定理,9/22/2024,43,1）,相容性：,2）收敛性：,L2 模：,模：,44,当时间与空间步长均趋近于0 时，差分方程的解趋近于微分方程的解，则称差分方程的解收敛于原微分方程的解。,注意！,方程互相趋近 解互相趋近,（,多值性、奇异性 ,）,不一定等于,只有连续函数才满足,（根据,Lax等价定理,，只有稳定性条件满足的情况下，方程趋近才能保证解趋近）,含义： 方程趋近,含义： 解趋近（更强）,分别为差分方程和微分方程的解,1. 相容、收敛、稳定性与Lax等价定理,相似的例子：,当差分方程中 ，时间与空间步长均趋近于0 时，差分方程的截断误差也趋近于0，则称差分方程与原微分方程是相容的。,3） 稳定性,：,定义：,称差分方程的初值问题是稳定的，如果当,足够小时，存在于 无关的常数C1和C2使得:,含义：,在差分方程的求解过程中，如果引入的误差随时间的增长有界，则称差分方程是稳定的。,45,4） Lax 等价定理,如果微分方程的初边问题是适定的，差分方程是相容的，则差分方程解的,收敛性,与,稳定性,是等价的。,含义：,如果微分方程不出问题（适定），差分方程性质好（稳定），,则方程逼近就可保证解逼近。,如果方程逼近就可以导致解逼近，则差分方程的性质肯定好,（稳定）,Copyright by Li Mingjun,2. 差分格式稳定性分析方法,Fourier分析法：,基本思想： 初始时刻引入单波扰动，考虑其随时间的变化,基本原理： 任何扰动都可认为是单波扰动的叠加；,线性情况下不同波之间独立发展。,引入单波扰动，带入差分方程，如果其振幅放大，则不稳定；否则稳定,引入单波扰动,：,解出放大因子：,46,稳定性条件：,对所有,a,代入差分方程,例1：,考察右式给出差分格式的稳定性,一些注解,：,通常为复数； 可反映振幅及相位；,称为库朗数,稳定条件：,有效波数,一个波里面的网格点数,Copyright by Li Mingjun,9/22/2024,47,