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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二、静电场的保守性环路定理,1.电场力的功,1,.点电荷的场,点电荷的场中移动点电荷,从 到 ,电场做的功：,点电荷q,0,所受电场力为：,1,在,q,的电场中将检验电荷,q,0,从,a,点移动到,b,点，电场力作功为：,电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关。,2,.任意带电体系的场,对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带,电体，可看成是由无数电荷元组成，由场强叠加原理,可得到电场强度的线积分（移动单位电荷的功）为：,2,任何静电场，电场强度的线积分只取决于起始和终了,的位置,而与路径无关。这一特性,叫做静电场的保守性,。,结论：,电场力为保守力，静电场为保守场。,2.静电场的环路定理,静电场的保守性还可表述为：,在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零。,这称为静电场的环路定理或环流定理。,运动电荷的场不是保守场，,而是,非保守场，将在磁场部分讨论。,3,三、电势能和电势,1.电势能,电场力是保守力，可引入势能的概念。,静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度。,设在静电场中，将检验电荷,q,0,从,a,点沿任意路径移动到,b,点，电场力作功为A,ab。,因为保守力所作的功等于势能增量的负值。,电荷,q,0,在静电场中从,a,点沿任意路径移动到,b,点时，电场力所作的作功A,ab,与这两点电势能E,a,、E,b,的关系为:,4,电势能也是一个相对的量，必须选择一个零势能点作为参考。,式中：E,pa,、E,pb,是电荷q,0,分别在a点和b点时,q,0,与电场所组成的系统的静电势能。,令,即选定b点为电势能零点。,电荷q,0,在此系统的电场中a点的的电势能为：,意义：电荷在静电场中某点的电势能等于,将此电荷由该点沿任意路径移到电势能零点的过程中电场力所作的功,。,5,电荷q,0,在此系统的电场中a点的的电势能为：,意义：电荷q,0,在静电场中某点的电势能等于将该电荷由该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。,强调：,对于无限带电体，不能取无穷远处为电势能零点。,即：,2.电势与电势差,两边同除以,q,0,，得：,将,这一比值与,q,0,的值无关，仅取决于电场的性质及场点的位置。,对有限带电体，通常规定无穷远处为电势能零点。,6,定义电势：,意义：,把单位正电荷从场点a经过任意路径移到零电势参考点时电场力所作的功。也等于单位正电荷在a点所具有的电势能。,电势差：静电场中两点电势值的差。,意义：,把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电场力所作的功。,电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势的单位为：焦耳/库仑（记作,J/C,），也称为伏特（V），即1V1J/C。,7,1,.电势是标量，只有正负之分。,2,.,电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。,对有限带电体一般选无穷远为电势零点。,注意几点：,3,.,电势零点的选择：,在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。,对,无限带电体,不宜选无穷远为电势零点。此时只有电势的相对值（即电势差）有意义。,4,.电势能与电势的区别：,E,P,可正可负，取决于,q,和,q,0,；,U,只取决于场源电荷,q,。,8,当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电场中移动时电场力所做的功：,例、,用场强分布和电势的定义直接积分求点电荷产生的电场中的电势分布。,负点电荷周围的场电势为离负电荷越远，电势越高。,正点电荷周围的场电势为离正电荷越远，电势越低。,解：,强调：,9,3.电势迭加原理,表述：,一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个,带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。,由场强叠加原理和电势的定义，可得电势叠加原理。,表达式：,（1）电势是标量，迭加的结果是求代数和；,（2）要求各个点电荷的零电势点必须相同；,强调：,10,4.电势的计算,电势的求解有两种方法：,1,.,由电势的定义出发，用场强的线积分求电势，即由电势定义式 计算P点电势。,2,.,根据点电荷的电势公式和电势迭加原理求电势分布。,（1）,点电荷系：先分别求出每个点电荷单独存在时的电场的电势，再求代数和得到电势。,公式：,（2）,连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元，,将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电荷元的电势，迭加归结于积分,。,注意电荷元的选取！,11,例,1,：,均匀带电圆环，半径为,R,，带电为,q,，求圆环轴线上一点的电势,U,。,解：,将圆环分割成无限多个电荷元：,环上各点到轴线等距。,12,例,2,：,均匀带电球壳半径为,R,，电量为,q,，求：球壳内、外的电势分布。,高斯面,解：,球壳内、外的场强,作高斯球面,II,I,I,区：球面内,II,区：球面外,13,I,区：球壳内电势,选无穷远为电势,0,点，,I,II,II,区：球壳外电势,14,I,II,I,II,I,区：球面内,II,区：球面外,15,例3：,无限长带电直线线电荷密度为,，求电势分布。,解：,无限长带电直线的场强：,若选无穷远为电势,0,点，则,无意义,选取距带电直导线为R的Q点为电势零点，,当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能再选在无穷远处。,16,例,4,：,在正方形四个顶点上各放置 带电量为+,q,的四个电荷，各顶点到正方形中心O的距离为r。求： （1）O点的电势；（2）把试探电荷q,0,从无穷远处移到O点时电场力所作的功；（3）电势能的改变。,解：,（1）根据电势迭加原理,（2）根据电势差的定义,（2）根据,17,四、场强与电势的微分关系,1.等势面,引：,.场强电势的积分关系,等势面：将电场中电势相等的点连接起来组成的面叫做等势面.即 的空间曲面称为等势面。等势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。,规定：,画等势面时，相邻两个等势面的电势差为常数。,等势面,等势面,18,等势面的性质：,证明：,1.,在静电场中，沿等势面移动电荷时，静电场力对此电荷不作功。,a,b,等势面,2.,除电场强度为零处外，电力线与等势面垂直。,证明：,3.,由于,规定了两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。,因为将单位正电荷从等势面上,M,点移到,N,点，电场力做功为零，而路径不为零。,19,因沿电力线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。,4.,电力线,的方向,指向电势降低的方向。,证明：,假设电荷q,0,由2移到1，,等势面,的方向为电势降低的方向。,2.电势梯度,取两个相邻近的等势面1和2，电势分别为U和U+dU,且dU0,.,规定：,等势面的法线正方向为指向电势升高的法线方向。,20,定义电势梯度矢量：,大小：,方向：,写成矢量式：,算符,电势梯度 是一个矢量，,它的方向是沿电力线的切向并指向电势升高的方向。,沿着等势面的正法线方向,21,3.场强与电势的微分关系,根据场强与电势的积分关系，有：,即：,电场强度的方向与电势梯度矢量的方向相反，即 与 反向。,写成矢量式：,电场中某一点的电场强度等于该点电势梯度矢量的负值。,场强与电势的微分关系,22,在直角坐标系中：,在任意方向上，场强的分量为：,注意几点：,1,.“,”表示电场强度的方向为电势降低的方向。,2,.沿等势面法线方向场强最大。,3,.等势面密处，场强大，电力线也密。等势面疏处，场强小，电力线也疏。,4,.场强反映场点处的电势的“变化率”，,E,与,U,无直接的关系。,电势为零的地方，场强不一定零。场强为零的地方，电势不一定为零。,23,6,.只要知道一个量的分布就可得知另一个量的分布。,+,+,o,+,-,o,5,.,电势不变的空间场强一定为零。,如果知道电场强度在空间的分布情况，则根据电场强度与电势的积分关系 ，可以求出电势的分布；,如果知道电势在空间的分布，则根据电场强度与电势的微分关系 进行偏微商运算求得电场强度的分布。,24,例：,均匀带电圆盘半径为,R,，面电荷密度为,，求,轴线上一点的场强。,解：由带电圆盘轴线上一点的电势公式,由于等势面法线方向与,x,轴相同，,25,静电印刷术和激光打印机,静电应用,26,
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