二次函数的图像与性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二次函数的图像与性质,东厦中学 陈舒雄,1.抛物线y=ax+bx+c(a0)的性质：,2.二次函数图像的平移、增减性及对称性：,3. 二次函数解析式的求法：,一. 抛物线y=ax+bx+c(a0)的性质：,a、b、c的代数式,作用,说明,a,1. a的正负决定抛物线开口方向；,2. 决定抛物线开口大小。,a0,开口向_,a0,开口向_,b,决定对称轴的位置，对称轴为直线,a、b同号,对称轴在y轴的_侧,b=0,对称轴为_轴,a、b异号,对称轴在y轴的_侧,c,确定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为（0，c）,c0,交点在y轴的_半轴,c=0,交点是_点,c0,交点在y轴的_半轴,上,下,原,正,负,左,y,右,a、b、c的代数式,作用,说明,b-4ac,决定抛物线与x轴交点个数,b-4ac0,抛物线与x轴有_个交点,b-4ac=0,抛物线与x轴有_个交点,b-4ac0,抛物线与x轴有_个交点,决定顶点位置,a0时，顶点纵坐标,是二次函数的最_值,a0时，顶点纵坐标,是二次函数的最_值,2,1,0,小,大,a、b、C的代数式,作用,说明,决定抛物线与x轴的交点的横坐标,当y=0时，即ax+bx+c=0则抛物线与x轴的交点坐标为,_,练习一,1. 二次函数 的图像,如图所示，则下列结论：a0；,c0；b-4ac0，其中正确,的个数是（ ）,A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个,2. 二次函数y=kx-6x+3的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）,A. k3 B. k3且k0,C. k3 D. k3且k0,C,D,考查从图像中找出a、c及b-4ac性质的应用。,考查抛物线与x轴有交点时b-4ac0，及a0的问题。,4.已知函数y=ax+bx+c的图像如图所示，那么函数的表达式为（ ）,A. y=-x+2x+3,B. y=x-2x-3,C. y=-x-2x+3,D. y=-x-2x-3,3. 二次函数y=ax+bx+c(a0)的图像,如图所示，根据图像回答：,(1)写出方程,ax+bx+c=0的两个根：_；,(2)写出y0时x的取值范围：_。,1x3,ax+bx+c=0的根实质就是抛物线与x轴交点的横坐标；y0时x的取值范围可以从图像直接得到。,A,考查在图像中通过a、b、c的特点来选择合适的表达式。,6.如图所示，某中学教学楼前喷水池,喷出的抛物线形水柱，其解析式为,y=-x+4x+2，此水柱的最大高度,是（ ）,A. 2 B. 4 C. 6 D.,C,本题可利用 是该二次函数的最大值来解题。,5. 在同一坐标系中，函数y=-x-1和y=x+2x+1,的图像可能是（ ）,x,O,x,O,x,O,x,y,O,D,考查当一次函数k0、b0时，直线经过第二、三、四象限；当二次函数a0、b0、c0时，抛物线开口向上、对称轴在y轴的左侧及与y轴的交点在y轴的正半轴。,y,y,y,二（1）. 二次函数图像的平移：,例：把抛物线y=-3x向左平移1个单位，平移后得到抛物线_。把抛物线y=-3x向右平移1个单位，平移后得到抛物线_。,即：左加右减,把抛物线y=-3x向上平移1个单位，平移后得到抛物线_。把抛物线y=-3x向下平移1个单位，平移后得到抛物线_。,即：上正下负,y=-3(x+1),y=-3(x-1),y=-3x+1,y=-3x-1,二（2）. 二次函数的增减性：,1. 如图1，当a0时，当 时，,y随x的增大而_，当 时，,y随x的增大而_。,2. 如图2，当a0时，当 时，,y随x的增大而_，当 时，,y随x的增大而_。,增大,减小,减小,增大,左减右增,左增右减,二（3）.二次函数的对称性：,二次函数的图像是一个关于对称轴 对称的轴对称,图形，当抛物线上两点的纵坐标相同，即,时，_。,对称轴,练习二,7. 如图所示，抛物线y=ax+bx+c,的对称轴为x=2且抛物线上点,A（3，-8），则抛物线上纵坐标为,-8的另一点的坐标为_。,8.把抛物线y=2x向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后得到抛物线_。,（1，-8）,考查抛物线的对称性，即抛物线上纵坐标相等的两个点，其横坐标符合,y=2(x+1)-2,抛物线y=2x向左平移再向下平移，即左加下负。,9.已知点 、 均在抛物线y=x-1上，下列说法正确的是（ ）,A. 若 ，则,B. 若 ，则,C. 若 ，则,D. 若 ，则,D,由图像可知，抛物线开口向上，则,左减右增,三.二次函数解析式的求法：,1. 若已知抛物线上三点坐标，则可设表达式为,，然后组成三元一次方程组来解。,2. 若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程或最大（小）值，可设表达式为 ，其中顶点坐标为,（h，k），对称轴为x=h。,3.,一些常见二次函数图像的解析式,1. 如图1：若抛物线的顶点是原点，设,2. 如图2：若抛物线过原点，设,3. 如图3：若抛物线的顶点在y轴上，设,4.如图4：若抛物线经过y轴上一点，设,5.如图5：若抛物线知道顶点坐标（h，k），设,例1：如图，直线y=x+m和抛物线y=x+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）,（1）求m的值和抛物线的解析式；,（2）求不等式x+bx+cx+m,的解集（直接写出答案）。,解,（1）,直线y=x+m经过点A(1,0),0=1+m,m=1即m的值为1,抛物线y=x+bx+c经过点A(1,0),B(3,2), 解得：,二次函数的解析式为 y=x-3x+2,（2）x3或x1,练习三,10. 如图所示，抛物线的对称轴为x=2，且经过A、B两点，求抛物线的解析式。,解：抛物线的对称轴为x=2,设抛物线的解析式为y=a(x-2)+k,又A（1，4）、B（5，0）在抛,物线上, 解得：,抛物线的解析式为,例2：2009年汕头市高中阶段招生考试首次将体育科计入总分，考查掷实心球、立定跳远或一分钟跳绳。男同学小明在一次实心球模拟测试中，已知小明同学球出手时侯的高度为2米，整个球运动的路线是一条抛物线，并在在距小明同学4米时达到最高点米（如图所示）；,（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；,（2）根据教育局规定：米得分为90分，以后每增加米可增加1分，增加幅度不足米不加分。则小明在这次测试中，小明能得多少分？,O,A,C,4米,米,解,（1）,以O为原点，OC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,依题意得：A(0,2),抛物线的顶点坐标为(4,3.6),则设抛物线的解析式为,将A代入得：,解得：,C,即：,(2)令y=0，得,解得：,则小明投掷了10米。,（）0.15+90,94（分）,答：这次测试，小明得了94分。,4米,3.6米,O,A,练习四,11. 某工厂大门是一抛物线水泥建筑物，如图所示，大门底部宽AB=4m，顶点C离地面高度为4m，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为米，请判断这辆车能够顺利通过大门？,x,y,(-2,-4),(2,-4),y=ax,以C为原点建立平面直角坐标系，使x轴AB,练习四,11. 某工厂大门是一抛物线水泥建筑物，如图所示，大门底部宽AB=4m，顶点C离地面高度为4m，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为米，请判断这辆车能够顺利通过大门？,x,y,(2,0),(0,4),y=ax+c,O,以大门底部宽AB的中点O为原点，大门底部AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系,练习四,11. 某工厂大门是一抛物线水泥建筑物，如图所示，大门底部宽AB=4m，顶点C离地面高度为4m，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为米，请判断这辆车能够顺利通过大门？,x,y,(2,4),(4,0),y=ax+bx,以A为原点，大门底部AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系,11. 某工厂大门是一抛物线水泥建筑物，如图所示，大门底部宽AB=4m，顶点C离地面高度为4m，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为米，请判断这辆车能够顺利通过大门？,x,y,(2,0),(0,4),O,解：以大门底部宽AB的中点O为原点，大门底部AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。,设抛物线的解析式为y=ax+c(a0),依题意得：B(2,0),C(0,4)代入,得： 解得：,抛物线的解析式为y=-x+4,当时，有,解得：,这辆车能通过大门,课堂小结,1. 抛物线y=ax+bx+c(a0)的性质。,2. 抛物线的平移。,3. 抛物线的增减性。,4. 抛物线的对称性。,5. 抛物线解析式的求法。,6. 如何建立恰当的坐标系来解决实际问题。,作业,完成课后练习,Thank you,