程控交换技术

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 连续系统的频域分析,4.1 信号分解为正交函数,4.2 傅里叶级数,4.3 周期信号的频谱,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,4.5 傅里叶变换的性质,4.6 周期信号的傅里叶变换,4.7 LTI系统的频域分析,4.8 取样定理,1,傅立叶变换的提出,让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。,2,谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。,为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。,3,傅立叶变换分类,根据原信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四种类别,：,1,非周期性连续信号,傅立叶变换（,Fourier Transform,）,2,周期性连续信号,傅立叶级数,(Fourier Series),3,非周期性离散信号,离散时域傅立叶变换（,Discrete Time Fourier Transform,）,4,周期性离散信号,离散傅立叶变换,(Discrete Fourier Transform),4,傅里叶的两个最主要的贡献,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点,“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点,5,第四章 连续系统的频域分析,4.1 信号分解为正交函数,一、矢量正交与正交分解,时域分析,，以,冲激函数,为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而y,f,(t) = h(t)*f(t)。,本章将以,正弦信号,和,虚指数信号e,jt,为基本信号，任意输入信号可分解为一系列,不同频率,的正弦信号或虚指数信号之和。,这里用于系统分析的独立变量是,频率,。故称为,频域分析,。,矢量,V,x,= (,v,x1,v,x2,v,x3,)与,V,y,= (,v,y1,v,y2,v,y3,)正交的定义：,其内积为0。即,6,由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为,正交矢量集,如三维空间中，以矢量,v,x,=,（,2，0，0）、,v,y,=（0，2，0）、,v,z,=（0，0，2),所组成的集合就是一个,正交矢量集,。,例如对于一个三维空间的矢量,A =(2，5，8),，可以用一个三维正交矢量集,v,x,，,v,y,，,v,z,分量的线性组合表示。即,A,=,v,x,+ 2.5,v,y,+ 4,v,z,矢量空间正交分解的概念可推广到,信号,空间，在信号空间找到若干个,相互正交的信号,作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。,7,1. 定义：,定义在(t,1,，t,2,)区间的两个函数,1,(t)和,2,(t),若满足,(两函数的内积为0),则称,1,(t)和,2,(t) 在区间(t,1,，t,2,)内,正交,。,2. 正交函数集：,若n个函数,1,(t)，,2,(t)，,n,(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t,1,，t,2,)内满足,则称此函数集为在区间(t,1,，t,2,)的,正交函数集,。,二、信号正交与正交函数集,8,如果在正交函数集,1,(t)，,2,(t)，,n,(t)之外，不存在函数(t)(0）满足,则称此函数集为,完备正交函数集,。,例如,：,三角函数集,1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和,虚指数函数集,e,jnt,，n=0，1，2，是两组典型的在区间(t,0,，t,0,+T)(T=2/)上的完备正交函数集。,(,i,=1，2，n),3. 完备正交函数集：,9,三、信号的正交分解,设有n个函数,1,(t)，,2,(t)，,n,(t)在区间(t,1,，t,2,)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为,f(t)C,1,1,+ C,2,2,+ C,n,n,如何选择各系数,C,j,使f(t)与近似函数之间误差在区间(t,1,，t,2,)内为最小。,通常使误差的方均值(称为,均方误差,)最小。均方误差为,10,为使上式最小,展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为,即,所以系数,11,代入，得最小均方误差（推导过程见教材）,在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有,上式称为,(Parseval),巴塞瓦尔公式,，表明：在区间(t,1,t,2,) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。,函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和,12,4.2 傅里叶级数,一、傅里叶级数的三角形式,设周期信号f(t)，其周期为T，角频率,=2,/T，当满足,狄里赫利,(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为f(t)的,傅里叶级数,系数a,n, b,n,称为,傅里叶系数,可见， a,n,是n的偶函数， b,n,是n的奇函数。,13,式中，A,0,=,a,0,上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。,其中， A,0,/2为,直流分量,；,A,1,cos(,t+,1,)称为,基波或一次谐波,，它的角频率与原周期信号相同；,A,2,cos(2,t+,2,)称为,二次谐波,，它的频率是基波的2倍；,一般而言，A,n,cos(n,t+,n,)称为,n次谐波,。,可见A,n,是n的偶函数，,n,是n的奇函数。,a,n,= A,n,cos,n,，,b,n,= A,n,sin,n,，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为,14,二、波形的对称性与谐波特性,1,.,f(t)为偶函数对称纵坐标,b,n,=0，展开为余弦级数。,2,.,f(t)为奇函数对称于原点,a,n,=0，展开为正弦级数。,实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即 f(t) = f,od,(t) + f,ev,(t),由于f(-t) = f,od,(-t) + f,ev,(-t) = -f,od,(t) + f,ev,(t) 所以,15,3,.,f(t)为奇谐函数,f(t),=,f(tT/2),此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即 a,0,=a,2,=b,2,=b,4,=0,三、傅里叶级数的指数形式,三角形式,的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用,指数形式,的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 cosx=(e,jx,+ e,jx,)/2,16,上式中第三项的n用n代换，A, n,=A,n,，, n,= ,n,，,则上式写为,令A,0,=A,0,e,j,0,e,j0,t,，,0,=0,所以,17,令复数,称其为,复傅里叶系数,，简称傅里叶系数。,n = 0, 1, 2，,表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 F,0,= A,0,/2为直流分量。,18,四、周期信号的功率Parseval等式,直流和n次谐波分量在1,电阻上消耗的平均功率之和。,n0时， |F,n,| = A,n,/2。,周期信号一般是功率信号，其平均功率为,19,4.3 周期信号的频谱及特点,一、信号频谱的概念,从广义上说，信号的某种,特征量,随信号频率变化的关系，称为,信号的频谱,，所画出的图形称为信号的,频谱图,。,周期信号的频谱,是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即,将A,n,和,n,的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为,振幅频谱图,和,相位频谱图,。因为n0，所以称这种频谱为,单边谱,。,也可画|F,n,|和,n,的关系，称为,双边谱,。若F,n,为实数，也可直接画F,n,。,20,试求该周期信号的基波周期,T,，基波角频率,，画出它的单边频谱图，并求,f,(,t,) 的平均功率。,解,首先应用三角公式改写,f,(,t,)的表达式，即,显然1是该信号的直流分量。,的周期T,1,= 8,的周期T,2,= 6,所以f(t)的周期T = 24，基波角频率=2/T = /12,根据帕斯瓦尔等式，其功率为,例：,周期信号,f,(,t,) =,P=,21,是f(t)的/4/12 =3次谐波分量；,是f(t)的/3/12 =4次谐波分量；,画出,f,(,t,)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图,22,二、周期信号频谱的特点,举例：有一幅度为1，脉冲宽度为,的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。,令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）,23, n = 0 ,1，2，,F,n,为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。,零点为,所以,，,m,为整数。,特点,：,(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。,24,谱线的结构与波形参数的关系：,(a) T一定，,变小，此时,（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：,1,/,=（2,/,）/(2,/T)=T/,增多。,(b),一定，T增大，间隔,减小，频谱变密。幅度减小。,如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的,离散频谱,就过渡到非周期信号的,连续频谱,。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。,25,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,一、傅里叶变换,非周期信号f(t)可看成是周期T时的周期信号。,前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔,趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。,为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令,(单位频率上的频谱）,称F(j)为频谱密度函数。,26,考虑到：T，无穷小，记为d；,n （由离散量变为连续量），而,同时， ,于是，,傅里叶变换式“,-,”,傅里叶反变换式,F(j)称为f(t)的,傅里叶变换,或,频谱密度函数,，简称,频谱,。,f(t)称为F(j)的,傅里叶反变换,或,原函数,。,根据傅里叶级数,27,也可简记为,F(j) =,F,f(t),f(t) =,F,1,F(j),或 f(t) F(j),F(j)一般是复函数，写为,F(j) = | F(j)|e,j,(),= R() + jX(),说明,(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)的傅里叶变换存在的,充分条件:,(2)用下列关系还可方便计算一些积分,28,二、常用函数的傅里叶变换,单边指数函数,f(t) = e,t,(t),，,0,实数,2. 双边指数函数,f(t) = e,t,0,29,3. 门函数(矩形脉冲),4. 冲激函数,(t)、,(t),30,5. 常数1,有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，,(t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。,可构造一函数序列f,n,(t)逼近f,(t),，即,而f,n,(t)满足绝对可积条件，并且f,n,(t)的傅里叶变换所形成的序列F,n,(j,)是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换F,(j,)为,这样定义的傅里叶变换也称为,广义傅里叶变换,。,31,构造,f,(t)=e,-,t,，, 0,所以,又,因此，,12(),另一种求法,： (t)1代入反变换定义式，有,将t，t,-,再根据傅里叶变换定义式，得,32,6. 符号函数,7. 阶跃函数,(t),33,归纳记忆：,1.,F,变换对,2. 常用函数,F,变换对：,(,t,),(,t,),e,-,t,(,t,),g,(,t,),sgn,(,t,),e,|,t,|,1,1,2,(,),34,4.5 傅里叶变换的性质,一、线性(Linear Property),If,f,1,(,t,) ,F,1,(j)，,f,2,(,t,) ,F,2,(j),then,Proof:,F,a,f,1,(,t,) + b,f,2,(,t,),= a,F,1,(j) + b,F,2,(j) ,a,f,1,(,t,) + b,f,2,(,t,) a,F,1,(j) + b,F,2,(j) ,35,For example,F,(j) = ?,Ans,:,f,(t) =,f,1,(t) ,g,2,(t),f,1,(,t,) = 1 2(),g,2,(t) 2Sa(),F,(j) = 2(),-,2Sa(),-,36,二、时移性质(Timeshifting Property),If,f,(,t,) ,F,(j) then,where,“,t,0,” is real constant.,Proof,:,F,f,(,t,t,0,) ,37,For example,F,(j) = ?,Ans:,f,1,(t) =,g,6,(t - 5) ,f,2,(t) =,g,2,(t - 5),g,6,(t - 5) ,g,2,(t - 5) ,F,(j) =,+,38,三、对称性质(Symmetrical Property),If,f,(,t,) ,F,(j) then,Proof:,（1）,in (1),t,，,t,then,（2）,in (2) ,-, then,F,(j,t,) 2,f,() end,F,( j,t,) 2,f,(),39,For example,F,(j) = ?,Ans:,if =1,*,if,F,(j) = ?,40,四、频移性质(Frequency Shifting Property),If,f,(,t,) ,F,(j) then,Proof:,where,“,0,” is real constant.,F,e,j,0,t,f,(,t,),= F, j(,-,0,) end,For example 1,f,(t) = e,j3t,F,(j) = ?,Ans:,1 2(),e,j3t,1 2(,-,3),41,For example 2,f,(t) = cos,0,t,F,(j) = ?,Ans:,F,(j) = (+,0,)+ (,-,0,),For example 3,Given that,f,(t) ,F,(j),The modulated signal,f,(t) cos,0,t ,?,42,五、尺度变换性质(Scaling Transform Property),If,f,(,t,) ,F,(j) then,where “,a,”,is a nonzero real constant.,Proof:,F,f,(,a t,) =,For,a, 0,F,f,(,a t,) ,for,a, 0,F,f,(,a t,) ,That is,f,(,a,t,) ,Also,letting,a,=,-,1,f,(,- t,) ,F,(,-,j),演示,43,For example 1,Given that,f,(t),F,( j), find,f,(at b) ?,Ans:,f,(t b),e,-,jb,F,( j),f,(at b) ,or,f,(at) ,f,(at b) =,44,For example 2,f,(t) = ,F,(j) = ?,Ans:,Using symmetry,using scaling property with a =,-,1,so that,45,六、卷积性质(Convolution Property),Convolution in time domain：,If,f,1,(,t,) ,F,1,(j)，,f,2,(,t,) ,F,2,(j),Then,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,) ,F,1,(j),F,2,(j),Convolution in frequency domain：,If,f,1,(,t,) ,F,1,(j)，,f,2,(,t,) ,F,2,(j),Then,f,1,(,t,),f,2,(,t,) ,F,1,(j)*,F,2,(j),46,Proof:,F,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,) =,Using timeshifting,So that,F,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,) =,=,F,1,(j),F,2,(j),47,For example,Ans:,Using symmetry,48,七、时域的微分和积分,(Differentiation and Integration in time domain),If,f,(,t,) ,F,(j) then,Proof:,f,(n),(t) =,(n),(t)*f(t) (j ),n,F,(j),f,(,-,1),(t)=,(t)*f(t) ,49,f(t)= 1/t,2,?,For example 1,Ans:,50,For example 2,Given that f,(t),F,1,(j),Proof,f (t),F,1,(j) +,f(-)+ f()(),Proof,So,Summary:,if,f,(n),(t),F,n,(j)，and,f(-)+ f() = 0,Then,f (t),F,(j) =,F,n,(j)/ (j),n,51,For example 3,Determine f (t),F,(j),Ans:,f ”(t) =,(t+2) 2 (t) + (t 2),F,2,(j)=,F,f ”(t) = e,j2, 2 + e,j2,= 2cos(2) 2,F,(j) =,Notice:,d(t)/dt = (t), 1,(t), 1/(j),52,八、频域的微分和积分,(Differentiation and Integration in frequency domain),If,f,(,t,) ,F,(j) then,(jt),n,f,(,t,) ,F,(n),(j),where,For example 1,Determine f (t) = t,(t),F,(j)=?,Ans:,53,Notice:,t,(t),=,(t),*,(t),Its wrong,.,Because,(,),(,) and (1/j,),(,) is not defined.,For example 2,Determine,Ans:,54,九、帕斯瓦尔关系,(Parsevals Relation for Aperiodic Signals),Proof,|F(j)|,2,is referred to as the,energy-density spectrum,of f(t). 单位频率上的频谱 (,能量密度谱,）Js,55,For example,Determine the energy of,Ans:,56,十、奇偶性,(Parity),If f(t) is real, then,= R() + jX(),So that,R()= R() , X() = X (),|F(j)| = |F( j)| ,() = ,(),(2) If f(t) = f(-t) ,then X() = 0, F(j) = R(),If f(t) = -f(-t) ,then R() = 0, F(j) =,jX(,),57,4.6 周期信号的傅里叶变换,一、正、余弦的傅里叶变换,12(),由频移特性得,e,j ,0,t, 2(,0,),e,j ,0,t, 2(+,0,),cos(,0,t)=,(e,j ,0,t,+ e,j ,0,t,) ,(,0,) +(+,0,),sin(,0,t)=,(e,j ,0,t,- e,j ,0,t,)/(2j) ,j(+,0,) ( ,0,),58,二、一般周期信号的傅里叶变换,例1,：周期为T的单位冲激周期函数,T,(t)=,解,：,(1),59,例2,：周期信号如图，求其傅里叶变换。,解,：周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f,0,(t)的周期拓展。即,f(t) =,T,(t)* f,0,(t),F(j) = ,() F,0,(j),F(j) =,本题 f,0,(t) = g,2,(t),(2),(2)式与上页(1)式比较，得,这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。,60,4.7 LTI系统的频域分析,傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。,对周期信号：,对非周期信号：,其,基本信号,为 e,j,t,一、基本信号,e,j,t,作用于LTI系统的响应,说明：频域分析中，信号的定义域为(，)，而t= 总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常写为y(t)。,61,设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率的基本信号e,j,t,时，其响应,而上式积分 正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(j,)，常称为系统的频率响应函数。,y(t) = H(j,) e,j,t,H(j,)反映了响应y(t)的幅度和相位。,y(t) = h(t)* e,j,t,62,二、一般信号,f(t),作用于LTI系统的响应,e,j,t,H(j,) e,j,t,F(j,) e,j,t,d,F(j,)H(j,) e,j,t,d,齐次性,可加性,f(t),y(t) =,F,1,F(j,)H(j,) ,Y(j,) = F(j,)H(j,),63,频率响应,H(j,)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j,)与激励f(t)的傅里叶变换F(j,)之比，即,H(j,),称为,幅频特性,（或,幅频响应,）；,(),称为,相频特性,（或,相频响应,）。,H(j,),是,的偶函数，,(,)是,的奇函数。,频域分析法步骤：,傅里叶变换法,64,对周期信号还可用傅里叶级数法。,周期信号,若,则可推导出,65,例,：某LTI系统的,H(j,),和()如图，,若,f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t),，求系统的响应。,解法一,：用傅里叶变换,F(j,) = 4() + 4(5) + (+5),+ 4(10) + (+10),Y(j,) = F(j,)H(j,) =,4() H(0) + 4(5) H(j,5,) + (+5) H(-j,5,),+ 4(10) H(j,10,) + (+10) H(-j,10,) ,H(j,),=,H(j,),ej(),= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) ,y(t) =,F,-1,Y(j,) = 2 + 2sin(5t),66,解法二,：用三角傅里叶级数,f(t)的基波角频率=5rad/s,f(t)= 2 + 4cos(,t) + 4cos(2,t),H(0) =1， H(j) = 0.5e,-j0.5,， H(j2) = 0,y(t) = 2 + 40.5cos(,t 0.5,),=,2 + 2sin(5t),67,三、频率响应,H(j,)的求法,1.,H(j,) =,F,h(t),2.,H(j,) = Y(j,)/F(j,),由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。,由电路直接求出。,例1,：某系统的微分方程为,y,(t) + 2y(t) = f(t),求f(t) = e,-t,(t)时的响应y(t)。,解,：微分方程两边取傅里叶变换,j,Y(j,) + 2Y(j,) = F(j,),68,f(t) = e,-t,(t),Y(j,) = H(j,)F(j,),y(t) = (e,-,t, e,-,2t,)(t),例2,：如图电路，R=1，C=1F，以u,C,(t)为输出，求其h(t)。,解,：画电路频域模型,h(t)= e,-,t,(t),69,四、无失真传输与滤波,系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是,信号的传输,，一类是,滤波,。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。,1、无失真传输,（1）,定义,：信号,无失真传输,是指系统的输出信号与输入信号相比，只有,幅度的大小,和,出现时间的先后不同,，而没有波形上的变化。即,输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为,y(t) = K f(tt,d,),其频谱关系为 Y(j,)=Ke, j,t,d,F(j,),70,系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j,)的要求是：,(a),对h(t)的要求,：,h(t)=K,(t t,d,),(b),对H(j,)的要求,：,H(j,)=Y(j,)/F(j,)=Ke,-,j,t,d,即,H(j,),=K ,(,)= ,t,d,上述是信号无失真传输的,理想,条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。,(2),无失真传输条件,：,71,例,：系统的幅频特性|,H,(j,)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是,(A),f,(,t,) = cos(,t,) + cos(8,t,),(B),f,(,t,) = sin(2,t,) + sin(4,t,),(C),f,(,t,) = sin(2,t,) sin(4,t,),(D),f,(,t,) = cos,2,(4,t,),72,2、理想低通滤波器,具有如图所示幅频、相频特性的系统称为,理想低通滤波器,。,c,称为截止角频率。,理想低通滤波器的频率响应可写为：,(1),冲激响应,h(t)=,-,1,g,2,c,(,)e,-jt,d, =,可见，它实际上是不可实现的非因果系统。,73,(2),阶跃响应,g(t)=h(t)*,(t)=,经推导，可得,称为正弦积分,特点,：有明显失真，只要,c,，则必有振荡，其过冲比稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为,吉布斯现象,。,g,max,=0.5+Si()/=1.0895,74,3、物理可实现系统的条件,就,时域特性,而言，一个,物理可实现的系统,，其冲激响应在t0时必须为0，即 h(t)=0 ,t0,即,响应不应在激励作用之前出现,。,就,频域特性,来说，佩利（Paley)和维纳（Wiener)证明了物理可实现的幅频特性必须满足,并且,称为,佩利-维纳准则,。（,必要条件,）,从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带内为0。,75,4.8 取样定理,取样定理,论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用,离散样本值,表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，取样定理,在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁,。为其互为转换提供了理论依据。,一、信号的取样,所谓“,取样,”就是利用,取样脉冲序列s(t),从连续信号f(t)中“抽取”一系列,离散样本值,的过程。,这样得到的离散信号称为,取样信号,。,76,如图一连续信号f(t),用取样脉冲序列s(t)(,开关函数,）进行取样，,取样间隔,为T,S,，f,S,=1/T,S,称为,取样频率,。,得取样信号,f,S,(t) = f(t)s(t),取样信号f,S,(t)的频谱函数为,F,S,(j,)=(1/2,)F(j,)*S(j,),77,冲激取样,若s(t)是周期为T,s,的冲激函数序列,Ts,(t),则称为,冲激取样,。,如果f(t) 是,带限信号,即f(t)的频谱只在区间（,-,m,，,m,)为有限值，而其余区间为0 。,设f(t)F(j,)，取样信号f,S,(t)的频谱函数,F,S,(j,)= (1/2,)F(j,)* ,S,s,(),S,=2/T,S,s(t)=,Ts,(t) ,S,s,(),78,=,*,=,上面在画取样信号f,S,(t)的频谱时，设定,S,2,m,这时其频谱,不发生混叠,，因此能设法(如利用低通滤波器)，从,F,S,(j,)中取出F(j,)，即,从f,S,(t)中恢复原信号f(t),。否则将发生混叠，而无法恢复原信号。,79,二、时域取样定理,当,S,2,m,时，将取样信号通过下面的低通滤波器,其截止角频率,C,取,m,C,S,-,m,。即可恢复原信号。,由于 f,s,(t)= f(t)s(t) = f(t),H(j,) h(t) =,为方便，选,C,= 0.5,S,则Ts,C,/=1,80,所以,根据f(t)=f,S,(t)*h(t) ，有,只要已知各取样值f(nT,s,),就出唯一地确定出原信号f(t)。,时域取样定理,：,一个频谱在区间（-,m,，,m,)以外为0的带限信号f(t),可唯一地由其在均匀间隔T,s,T,s,2f,m,，,或者说，,取样间隔不能太大，必须T,s,1/(2f,m,);,否则将发生混叠。,81,通常把最低允许的取样频率f,s,=2f,m,称为,奈奎斯特（Nyquist)频率,，把最大允许的取样间隔T,s,=1/(2f,m,)称为奈奎斯特间隔。,频域取样定理,：,根据,时域与频域的对偶性,，可推出频域取样定理。P191,一个在时域区间（,-,t,m,t,m,)以外为0的,时限信号,f(t)的频谱函数F(j,)，可唯一地由其在均匀频率间隔f,s,f,s,1/(2t,m,)上的样值点F(jn,s,)确定。,82,