二、随机现象与基础概率

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,社会统计学,第三讲 随机现象与基础概率,1,知识点,随机现象及其特征,概率的定义,概率的加法定理,概率的乘法定理,概率与二项分布,2,一、,随机现象及其特征,随机现象例子：,全国每天有多少婴儿出生？,多少人因车祸死亡？,多少人结婚，多少人离婚？,多少人晚间收看新闻联播？,天气的变化？,手术的成功？,骰子的点数？,这些现象的共同点：在一定条件下（例如某天、某日）事物出现只具有,可能性,而但不具有,必然性,。,这种现象就是随机现象，大量存在自然、经济、社会领域内。,社会现象分成两种确定性现象和非确定性现象,3,确定性现象与非确定性现象,确定性现象:在一定的条件(S)下某种结果必然会发生的现象,此时现象的可能结果只有一个,并且事先就能够确定,.,EG,向空中扔一石块必然会落地;标准大气压下水在100时肯定会沸腾.,非确定性现象:指在某种条件实现后,某种结果可能发生也可能不发生的现象.也就是说,此时存在多种可能性,但究竟发生哪种结果事先却不能肯定.,EG,向空中抛掷一枚硬币,落地后正面朝上的结果是不能事先确定的,从副洗好的扑克牌中任意抽出一张来，它是黑桃2的结果也是不能事先确定的。,4,问题：既然社会中存在大量的非确定性现象，那么预期或预测如何可能？,统计规律：从表面上看来非确定性现象好像是捉摸不定的，纯粹是偶然性起支配作用，但实际上，在研究了大量同类现象后，通常会揭示出一种确定的规律性，这就是所谓的统计规律,。,EG，如果无数次投掷硬币，就可以断定正面朝上的次数与抛掷总次数的比接近1/2。,5,1、随机现象具有双重性：,偶然性：在一次试验或观察中事件出现的可能具有偶然性；可能会出现,它表示为：若，可能,统计规律性：在相同条件下，进行大量重复试验或观察时，随机事件出现可能的大小是稳定的。,概率论研究的正是随机现象的统计规律性。,6,EG,重复投掷骰子，根据概率论，可以知道出现1点、2点、3点、4点、5点和6点的可能性均为1/6。,2009年在武汉市发生的经济适用房抽签中出现的“六连号”事件。显然不符合概率论。,7,2、 偶然性和规律性的关系,单独的现象具有偶然性，但对于大量的现象，具有规律性。,“在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的，而问题在于发现这些规律。”恩格斯,偶然事件（随机事件）的概率就是随机事件隐蔽着的规律。,随机现象是概率论的研究对象，概率论是统计推论的理论（数学）基础，概率是统计推论的依据。统计推论的所有数学表都是以概率为基础的。,8,二、概率,随机事件,（例子）：,诞生的婴儿将是男孩；,某人将活到80岁以上；,明年报考公务员的人数将超过200万人；,明天将下雨；,随机事件：对随机现象进行的观察或试验称为随机试验。在一定条件下所进行的随机试验中，可能发生或可能不发生的事情称为随机事件。通常用大写字母A、B、C等来表示。,随机事件有两种极端情况：,必然事件：如抛掷一枚在硬币若无支撑落于地上；,不可能事件：如抛掷一枚硬币悬于空中。,9,日常生活中，人们常用“比较级”来表示随机事件发生可能性的大小，例如：,某生明年,不可能,考上大学；,某生明年,可能,考上大学；,某生明年,很可能,考上大学；,概率就是随机事件发生可能性大小的数量表示。,概率的表达实质和这些“比较级”是一样的，只是更为精确。,10,下面是一些试验者（著名数学家）所做试验的记录,试验者 投掷总次数n 出现正面朝上的次数m（频数） 频率=m/n,狄摩根 2048 1061 0.518,布丰 4040 2048 0.5069,皮尔逊 12000 6019 0.5016,皮尔逊 24000 12012 0.5005,11,2、随机事件的概率,在一组不变的条件S下，重复做n次试验，m为在n次试验中事件A发生的次数。当n很大时，事件A发生的频率m/n稳定地在某一常数p附件摆动，并且随着试验次数n的增加，其摆动幅度会越来越小，则事件A称为随机事件，并把数值p称为随机事件A发生的概率，记作：P(A)= p,12,概率的取值范围（0，1）,不可能发生的事件，称为不可能事件，概率p=0;,一定发生的事件，称为必然事件，概率p=1;,一般的随机事件，发生的可能性处于“必然”与“不可能”之间，发生的概率为：,0P(A)1,概率值越大，这一事件发生的可能性越大,。,另外，如果记 为事件A的逆事件，表示“事件A不发生”，那么P(A)+P( )=1。,13,三、概率的计算方法,1、频率法,在相同条件下进行N次实验或观察，随机事件A出现的次数为n，频次n与实验次数N的比值n/N，称作N次实验或观察中事件A的频率，即这一事件出现的概率,14,2、古典概率类型,在古典概率类型问题中，所有可能的试验结果是有限的，即试验的基本事件数是有限的，并且，所有这些基本事件都是等可能的。,若事件组 满足下面三个条件，则称该事件为等可能完备事件组。,（1） 发生的机会相同（等可能性）；,（2）在任何一次试验中， 至少有一个发生（完备性）；,（3）在任何一次试验中， 最多只有一个发生（互不相容性）。,15,所谓古典概率：若 是一个等可能完备事件组，而事件A由其中的某m个基本事件所构成，则大量实践经验表明，事件A发生的概率为：,P(A)=m/n,16,例题1：,抛掷一个骰子一次，问出现5点的概率是多少？出现奇数点的概率是多少？,17,例题2,一个袋子中装有3白2黑共5个同样大小的塑料球。,(1)从中任取一个，取到白球的概率是多少？,(2)任取两球，全是白球的概率是多少？,18,复习：组合,一般来说，从n个不同元素中，任取m（mn)个元素编成一组，称为从n个不同元素中每次取m个元素的一个组合，这些组合的种数记作,n!表示n的阶乘，,n!=n(n-1)(n-2)3 2 1,19,复习：排列,一般来说，从n个不同元素中，任取m（mn)个元素按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中每次取m个元素的一个排列，这些排列的种数记作,n!表示n的阶乘,，,n!=n(n-1)(n-2)3 2 1,20,排列和组合的区别,有顺序排列；,无顺序组合；,两者的联系：,21,四、概率的加法运算,1、特殊情况,若事件A与事件B互不相容（互斥），即两件事情不可能同时发生，那么事件A或事件B发生的概率等于两事件单独发生概率之和：,P(A+B)=P(A)+P(B),22,例3：抛掷骰子一次，若事件A表示出现5点的情况，事件B表示出现6点的情况。那么，抛掷骰子一次，出现5点或6点的概率为：,例4：某年级共有学生100名，其中来自广东省的有25名，来自广西省的有10名，问任抽一名，来自两广的概率是多少？,23,2、一般情况,对于任意两个事件A和B，满足事件A和事件B互不相容，则事件“A+B”的概率为事件A的概率与事件B的概率之和减去事件A与事件B同时发生的概率,公式为： P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),24,例题5：,为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生父亲具有大学文化程度的占25%，母亲具有大学文化程度的占18%，而父母双方都具有大学文化的占10%，问学生中任抽一名，父代至少有一名具有大学文化程度的概率是多少？,25,例6：,若事件A表示抛掷骰子一次，出现偶数点的情况，事件B表示出现的点数大于3的情况。请问，抛掷骰子一次，出现偶数点或点数大于3的概率为：,26,四、概率的乘法定理,1、特殊情况,若事件A与事件B相互独立，即事件A的发生不影响事件B的发生，同时事件B的发生也不影响事件B的发生，那么事件A和事件B同时发生的概率为：,P(AB)=P(A)P(B),推论：,27,例7：抛掷一枚硬币10次，求10次都正面朝上的概率。,28,2、一般情况,对于任意两个事件A和B，乘法公式为：,P(AB)=P(A)P(B/A),P(B/A)又称为条件概率，表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。,29,例8：盒中装有16个球，其中6个为玻璃球，剩下10个为木质球。而玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的。现从中任取1个，问得到蓝色玻璃球的概率是多少？,30,概率在日常生活中运用的例子:,1.你结交了一位新朋友,问她是否有孩子.她说有两个.你问,有女孩吧?她说有.那么两个孩子都是女孩的概率是多少?,2.你结交了一位新朋友,问她是否有孩子.她说有两个.你问大的是女孩吧?她说是.那么两个孩子都是女孩的概率是多少?,31,五、概率与二项分布,32,1、概率分布,概率分布是指对随机变量取不同值时的概率的描述,一般用概率分布函数进行描 述.,33,2.离散型变量与连续型变量,根据随机变量的类型,可以分为：,离散型变量：随机变量只能取特定的数值（一般是整数）。(如家庭成员数;硬币正面朝上的次数等),连续型变量：变量在两个数值界限之间可以取任何数值。（如雨量、射击的距离、身高、体重等。）,34,(1)离散型随机变量的概率分布,.,设离散型随机变量 的一切可能值为,且对应于 ,有,则上式称为随机变量X的概率分布或概率函数,通常也可以表示为:,x,X1 x2 x3 xn .,p,P1 p2 p3 pn .,35,即每个概率值在0与1之间,即所有变量对应的概率值之和等于1.,36,概率分布与频率分布的区别,概率分布是基于理论而建立起的分布，是理论分布；频率分布是随机变量的统计分布，是一次随机试验的结果。,当试验次数很大，频率分布会越来越接近概率分布。,37,(2)连续型随机变量的概率分布,对于随机变量X，如果存在一个非负的可积函数f(x)(-x+),使对任意的a、b都有(ab)都有:,则称随机变量X具有连续型的分布,并称f(x)为概率密度函数或密度.,38,3.二项分布,二项分布是一种具有广泛用途的离散型随机变量的概率分布,它是由贝努里创始的,因此又称为贝努里分布.,39,(1)二项试验的概率公式,一个二项实验是一个满足如下条件的实验:,第一.实验由确定的试验数所组成;,第二.每个试验只有两个可能的结果,通常称为”成功”和”失败”;,第三.任一试验的结果独立于任何其他试验结果;,第四.在各次实验中,”成功”的概率和”失败”的概率都是固定的常数,并且他们的和等于1.,40,对于一个二项实验,设在单次试验中,事件A发生(成功)的概率为P,事件A不发生(失败)的概率为q,即,且 ,则在n次试验中事件A恰 好发生m次的概率为 的二项展开式中当P的指数是m的那一项,即,41,例题:,抛掷一枚骰子20次,则恰好出现7次”6点”的概率.,解:这是一个二项实验,依题意,此时,因此,20次中恰好出现7次6点的概率为:,42,如果单次试验中,事件成功与失败的概率相等,即 则上述二项实验的概率公式可简化为:,43,例题:抛掷一枚硬币10次,求,(1)10次都正面朝上的概率;(2)4次正面朝上的概率;(3)8次都正面朝上的概率.,44,(2),二项分布(binomial distribution),依据上面的二项实验的概率公式,可以将n次试验中事件成功的所有可能情况(从0次成功一直到n次成功)的概率都求出来, 这样就得到了一个二项分布.此时 随机变量X概率分布为:,45,二项分布是一个典型的离散型概论分布,因为此时随机变量X的取值只能是孤立的离散的自然数:0,1,2.当 时,二项分布是对称的;当 时,二项分布是不对称的,但当n越来越大时,不对称性逐渐不明显,即当 时,该分布也趋于对称,并且,当 时,整个二项分布趋于正态分布.另外,二项分布的数学期望 ,方差,46,