高数格林公式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的,等价条件,格林公式及其应用,第十一章,1,区域,D,分类,单,连通区域 ( 无,“洞”,区域 ),多,连通区域 ( 有,“洞”,区域 ),域,D,边界,L,的,正向,:,域的内部靠左,定理1.,设区域,D,是由分段光滑正向曲线,L,围成,则有,(,格林公式,),函数,在,D,上具有连续一阶偏导数,或,一、 格林公式,2,证明:,1) 若,D,既是,X -,型区域, 又是,Y -,型区域, 且,则,定理1,3,即,同理可证,、两式相加得:,定理1,4,2) 若,D,不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域 , 如图,证毕,定理1,5,推论:,正向闭曲线,L,所围区域,D,的面积,格林公式,例如, 椭圆,所围面积,定理1,6,例,1,.,设,L,是一条分段光滑的闭曲线, 证明,证:,则,利用格林公式 , 得,设,L,所围的区域为,D, 则,7,例2.,计算,其中,D,是以,O,(0,0) ,A,(1,1) ,B,(0,1) 为顶点的三角形闭域,.,解:,令, 则,利用格林公式 , 有,8,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2.,设,D,是单连通域,在,D,内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿,D,中任意光滑闭曲线,L, 有,(2) 对,D,中任一分段光滑曲线,L, 曲线积分,(3),(4) 在,D,内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在,D,内是某一函数,的全微分,即,9,(1) 沿,D,中任意光滑闭曲线,L, 有,(2) 对,D,中任一分段光滑曲线,L, 曲线积分,与路径无关, 只与起止点有关.,说明:,积分与路径无关时, 曲线积分可记为,证明,(1),(2),设,为,D,内,任意,两条由,A,到,B,的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),定理2,10,(2) 对,D,中任一分段光滑曲线,L, 曲线积分,(3),与路径无关, 只与起止点有关.,在,D,内是某一函数,的全微分,即,证明,(2),(3),在,D,内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点,B,(,x,y,),与路径无关,有函数,定理2,11,(4) 在,D,内每一点都有,(3),在,D,内是某一函数,的全微分,即,证明,(3),(4),设存在函数,u,(,x , y,),使得,则,P, Q,在,D,内具有连续的偏导数,从而在,D,内每一点都有,定理2,12,证明,(4),(1),设,L,为,D,中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用,格林公式, 得,所围区域为,证毕,(1) 沿,D,中任意光滑闭曲线,L, 有,(4) 在,D,内每一点都有,定理2,13,说明:,根据定理2 , 若在某区域,D,内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求,d,u,=,P,d,x,+,Q,d,y,在域,D,内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线, 可,添加辅助线,;,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,定理2,14,4) 若已知,d,u,=,P,d,x,+,Q,d,y,则对,D,内任一分段光滑曲,定理2,线,AB ,有,注:,此式称为,曲线积分的基本公式,(P213定理4),.,它类似于微积分基本公式:,15,例3.,计算,其中,L,为上半,从,O,(0, 0) 到,A,(4, 0).,解:,为了使用格林公式, 添加辅助线段,它与,L,所围,原式,圆周,区域为,D ,则,16,例4.,验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,证:,设,则,由定理2 可知, 存在函数,u,(,x , y,) 使,17,例5.,计算,其中,L,为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解:,设,L,所围区域为,D,由格林公式知,18,在,D,内作圆周,取逆时,针方向, 对区域,应用格,记,L,和,l,所围的区域为,林公式 , 得,19,例6.,验证,在右半平面 (,x ,0 ) 内存在原函,数 , 并求出它.,证:,令,则,由,定理 2,可知存在原函数,20,例7.,设质点在力场,作用下沿曲线,L,:,由,移动到,求力场所作的功,W,解:,令,则有,可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.,21,思考:,积分路径是否可以取,取圆弧,为什么？,注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径,无关 !,内容小结,22,内容小结,1. 格林公式,2. 等价条件,在,D,内与路径无关.,在,D,内有,对,D,内任意闭曲线,L,有,在,D,内有,设,P,Q,在,D,内具有一阶连续偏导数, 则有,23,作 业,P214 3,;,4,(3),;,5,(1) , (4) ；,6,(2) ,(5) ;,第四节,24,1.,设,C,为沿,从点,依逆时针到点,的半圆, 计算,2.,已知曲线积分,与路径无关, 其中,求由,确定的隐函数,25,或,26,思考与练习,1. 设,且都取正向, 问下列计算是否正确 ?,提示:,27,备用题,1.,设,C,为沿,从点,依逆时针,的半圆, 计算,解,:,添加辅助线如图 ,利用格林公式 .,原式 =,到点,28,2.,质点,M,沿着以,AB,为直径的半圆, 从,A,(1,2) 运动到,点,B,(3, 4),到原点的距离,解:,由图知,故所求功为,锐角,其方向垂直于,OM, 且与,y,轴正向夹角为,求变力,F,对质点,M,所作的功.,( 1990 考研 ),F,的大小,等于点,M,在此过程中受力,F,作用,29,3.,已知曲线积分,与路径无关, 其中,求由,确定的隐函数,解:,因积分与路径无关 , 故有,即,因此有,30,