《统计与概率》模块分析博兴实验中学王长青2011年10月13日

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,统计与概率,模块分析,博兴实验中学,王长青,2011年10月13日,一、本模块教材与原教材的主要区别和编写特点：,旧教材中没有概率内容，只有代数第三册第十四章统计初步一章，共12课时，约占初中三年教学总课时的3%。新教材把原来的统计初步变为现在的统计与概率，共安排了三章，约39课时，占初中三年教学总课时的11%。与旧教材相比，统计与概率教学课时由旧教材的12课时增加到39课时，增加了2.3倍。,一、本模块教材与原教材的主要区别和编写特点：,新教材在编写时注意了遵循逐级递进、螺旋上升的编写原则，从小学到初中、高中，均有涉及， 由浅入深、由感性到理性。“统计与概率”领域主要学习收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法和概率的初步知识，这些内容在三个学段（13年级，46年级，79年级）均有安排，教学要求随着学段的升高逐渐提高。第三学段（初中阶段）的“统计与概率”在前两个学段的基础上，继续学习数据处理的方法和概率的初步知识。本套教材将“统计与概率”领域独立于“数与代数”和“空间与图形”领域安排，共有三章。这三章内容采用统计和概率分开编排的方式，分布在初中的三个年级之中。,一、本模块教材与原教材的主要区别和编写特点：,在新教材的编写上，“统计与概率”部分的设计注重了所学内容与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系，使学生体会统计与概率对制定决策的重要作用；注重了学生参与数据处理的全过程中的合作意识，为学生提供了共同参予、独立思考与合作交流的空间，教科书在背景材料、例题和阅读与思考栏目的选材上都注意联系实际。同时还增加了数学活动和探究性的学习课题。,二、本模块在整个初中数学教学的地位与作用:,社会在向信息时代迈进，数据日益成为一种重要的信息，为了更好的了解世界，我们必须学会处理各种信息，尤其是数字信息。收集、整理与分析信息的能力已经成为信息时代每个公民基本素养的一部分，而且统计概率所提供的“运用数据进行推断”的思维方法已成为现代社会一种普遍并且强有力的思维方式。因此，义务教育阶段应当使学生熟悉统计与概率得基本思想方法,从而使他们形成统计观念，进而形成尊重事实，用数据说话的态度，让学生了解随机现象,有助于学生以随机的观点来了解世界。另外在学习统计与概率的过程中,将会涉及解决问题、计算、推理，这实际上是在学习新知识的同时复习和运用旧知, 统计与概率已列为四个知识领域之一，成为与“数与代数”、“空间与图形”并重的教学内容，这一领域的内容与其它领域有着紧密的联系，为培养学生综合运用知识解决问题提供机会。,三、本模块教学建议及注意的问题等：,初中、小学“统计与概率” 教学目标对比表,内容,小学,初中,区别,统计的过程,经历,简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（必要时可使用计算器）。,从事,收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据,从“经历”与“从事”这两个动词中可以看出：小学是在教师的引导下参与统计的全过程，面对的问题比较简单；而初中更多的是学生独立从事统计的全过程，面对的统计问题比小学的稍微复杂一些。,统计图,认识,条形统计图、折线统计图、扇形统计图；根据需要，选择条形统计图、折线统计图直观、有效地表示数据。,会,用扇形统计图表示数据；,会,列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图。,初中在小学的基础上，进一步学习各种统计图的应用，此外,增加了画频数分布直方图和频数折线图。,所以，还要弄清频数分布直方图与条形统计图的区别。,三、本模块教学建议及注意的问题等：,统计量,理解并会求数据的平均数、中位数、 众数。,会计算,加权,平均数，会计算,极差,和,方差,，并会用它们表示数据的离散程度,对于描述数据集中趋势的三个统计量的计算方法没变，只是数据由非负数扩充到实数；进一步学习,加权平均数,的计算方法；还增加了刻画数据波动情况的,极差与方差,。,调查,方法,全面调查,抽样,调查：用样本估计总体,初中增加了样本、总体等新的概念；要求学生体会用样本,估计,总体的思想以及感受抽样的必要性，体会不同的抽样可能得到不同的结果。,初中、小学“统计与概率” 教学目标对比表,三、本模块教学建议及注意的问题等：,概率的定义,可能性,了解,概率的意义,小学没出现概率的定义，只提出 “事件的可能性”，初中在此基础上给出概率的定义。,概率的求法,体验,事件发生的等可能性，会求一些简单事件发生的可能性。,运用,列举法,（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率；知道大量重复实验时,频率,可作为事件发生概率的估计值。,对于结果具有等可能性事件的概率计算，初中在小学基础上，学习用,列表,、,画树形图,计算简单事件发生的概率；还需要了解结果不具有等可能事件的概率求法，即用频,率估计概率,的方法。,初中、小学“统计与概率” 教学目标对比表,统计知识结构图：,全面调查,抽样调查,收集数据,整理数据,描述数据,分析数据,得出结论,条形图,扇形图,折线图,直方图,制表,绘图,调查,数据的波动,数据的代表,极差 方差,平均数 中位数 众数,用样本估计总体,用样本平均数估计总体平均,用样本方差估计总体方差,10.1 统计调查,实验与探究,约3课时,10.2 直方图,约3课时,10.3 课题学习从数据,谈节水,约1课时,数学活动 小结,约2课时,(本章共约9课时）,课时分配：,201 数据的代表,约6课时,202 数据的波动,约5课时,203 课题学习,约2课时,数学活动小结,约2课时,(本章共约15课时）,课时分配：,本部分的注意事项和建议：,第三学段（初中阶段）统计部分的总体目标是：从事收集、整理描述与分析的全过程，体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习数据描述的方法。所以在这部分内容的教学中要注意：,1、重视统计思想、观念、方法的教学：新课标要求：“义务教育阶段统计与概率的学习，是过程、思想和观念的学习，目的是让学生体会统计和概率的基本思想。”,“观念”不同于计算、画图等简单技能，是一种需要在亲身经历的过程中培养出来的感觉。看到一组数据或一个统计图要能推测到的所有可能的结果、自觉的联想到运用统计的方法解决有关的问题等等。学习统计的方法完全不同于“数与代数”、“空间与图形”的学习方法，更不能把统计部分上成计算课。学习统计的最有效方法是亲身经历统计活动的基本过程，在收集、整理、描述和分析数据的统计活动中，逐步学会用数据说话，自觉地想到用统计的方法来解决一些问题。例如第10章（问题14）和课题学习，从介绍如何解决问题开始，逐步发展到引导学生亲历亲为直接参与实际的统计过程。,这种做法为学生实际调查活动学习统计创设了条件，是帮助学生建立统计观念，体会统计的作用和意义的有效方法，这样的调查活动也有助于改变学生的学习方式。再如开展丰富多彩的学生身边的有实际意义的调查活动，调查初中生的最喜爱的课外活动、最爱看的书、最喜欢的人物、最喜欢的科目等等，也可以调查学生视力、身高、阳光体育锻炼、早餐情况等等，引导学生以小组为单位根据调查目的，在充分讨论的基础上亲自设计调查问卷，发放并收回调查问卷得到数据，然后动手设计表格整理数据，描述、分析数据，最后撰写报告，上交给老师，老师结合所学知识进行总结。在这样的学习过程中，逐步培养学生的统计观念。,本部分的注意事项和建议：,2、加强学生质疑意识和辨别能力的训练，培养学生的统计观念。信息时代人们在社会生活中，天天都接触大量的数据，大到分析一个国家或一个地区的经济状况，小到某一产品的质量指标。引导学生读懂数据，理解它所代表的信息，对数据的来源、处理数据的方法及有关信息与结论进行合理的质疑与判断是非常重要的。批判意识和辨别能力是一个人思想独立的重要标志。教学时要经常针对日常生活中误用和滥用统计数据的情形，而又多数人对此并没有足够的警觉和质疑的事例教育学生提高批判意识和辨别能力。,例如，我们常见一些药品广告宣称经过临床统计，该药对某种疾病的治愈率达到了80%，而广告中根本不提出这80%的统计数据是怎么来的，难道5人中有4人治愈就是80%吗？这样表述数据不说明样本的代表性和容量，过于简单地使用百分比，以达到某种宣传效果，容易引起大多数人的误解。所以，要经过分析，引导学生明确此类广告具有误导性，增强学生的批判意识。还可以让学生自己收集报纸、杂志、电视中公布的数据，分析它们是否抽样得当，有没有提供数据来源、来源是否可靠等。这样能提高学生分析问题、解决问题的能力，促使学生更好地认识世界，同时理智地对待各种媒体公布的数据，面对现实世界中许多事情形成自己的看法，从而发展学生的统计观念。,本部分的注意事项和建议：,3、突出数据处理的基本过程，注意让学生在统计活动的全过程中学习有关统计的知识和方法，避免仅把目光盯在统计的某个具体环节或具体知识点上。按照数据的收集、整理、描述和分析过程来学习内容，而不是“就头论头，就尾论尾”地把统计过程割裂开来，帮助学生建立对统计思想和统计的基本过程的整体性认识。,本部分的注意事项和建议：,4、教学中要重视“课题学习”的教学，让学生亲自从事统计调查活动，经历数据处理的基本过程，并使学生得到人文方面的教育。第10章第3节安排了“课题学习 从数据谈节水”。经历收集、整理、描述、分析数据得出结论以及对所得结论进行解释的统计过程，感受统计与生活的密切联系，体会统计在解决实际问题中所起的作用。,本部分的注意事项和建议：,5、在统计教学时，要特别注意准确把握教学要求，对于统计的学习，教科书采用螺旋上升的编排方式。如，第10章第2节中，频数分布直方图和折线图是描述数据的主要内容，一般直方图是用矩形面积表示频数的，而对于等距分组的情形，为看图与画图方便可以改为用矩形的高表示频数。本节的问题都属于后一情形，因此教学中不必过多涉及一般直方图，而应重点介绍用矩形的高表示频数的直方图，练习题与作业题也应控制在这种直方图上。,本部分的注意事项和建议：,6、关注信息技术的使用，信息技术的发展给统计工作带来很大方便，借助计算机计算统计数据和绘制统计图表有很好的效率和效果。目前，实际工作中的很多统计图表都是利用计算机画出的，许多统计分析也是借助于计算机完成的。教学中如果能使用计算机作统计图或进行统计分析（利用电子表格很容易绘制各种统计图），将有利于把学习重点放在理解统计思想和从事统计活动上来。,统计中的几个难点：,1、分层抽样的问题,抽取的样本要有代表性和广泛性，分层抽样属于了解内容，课本P155问题3调查一个地区的不同人群对电视节目的喜爱程度，就不能用简单随机抽样，应该用分层抽样，现在教材中添加了这部分内容，很多老师都忽视这一内容。但在教学中应引起我们的重视，并且在分层抽样中一个重要的问题是总样本容量确定后，如何确定样本容量在各层分配的问题，按总体中各层中人数的多少，按比例进行分配，是常用的分配方法。由于各层都有相应数量的样本作为代表，样本均匀性较好，用样本估计总体才是科学和合理的。,统计中的几个难点：,2、频数分布直方图,要讲清绘频数分布直方图的步骤及经验，给学生完整的认识和明确的指导。一是分组的数目与样本容量及数据波动范围有关，当数据在100以内，常分为512组，分组过少，结果失真、模糊；分组过多，会造成每组数据太少，规律不明显，对总体的估计也会出现偏差。,教学中要注意条形图与直方图的区别：,首先，条形图是用长方形的高表示各类别频数的多少，其宽度是固定的；直方图（等距分组）是用高表示各组频数的多少，长方形的宽表示各组的组距，各长方形的高与宽均有意义。其次，由于分组数据具有连续性，直方图的各长方形通常是连续排列，中间没有空隙，而条形图则是分开排列，中间有空隙。,统计中的几个难点：,3、统计量含义的理解,在统计的教学中，重点不是要求学生背公式，熟练计算，而是要淡化统计量的计算，突出统计量的特征和作用。避免将这部分内容的学习变成单纯的统计量的计算。注意让学生弄清每个统计量的含义及作用。,如对加权平均数公式的理解：课本中出现了两个公式，,若n个数x,1,x,2,，x,n,的权分别分别是w,1,w,2, ，w,n,则,叫这n个数的加权平均数。,如果x,1,出现了f,1,次，x,2,出现了f,2,次，x,k,出现了f,k,次（这里f,1,f,2,f,k,=n），那么这n个数的算术平均数,叫,x1,x2,，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，fk,分别叫做x1，x2，xk的权。,再如对方差的教学：方差公式不理解的话非常难记。,首先要从图形上直观感受，从图上观察数据的离散程度；其次研究怎么用数据来刻画它们离散程度。方法一，算出平均距离即每个数据与平均数的差的绝对值的平均数（加绝对值是为了防止正负相互抵消，算平均数是防止出现数据个数不同的现象）。,方法二，平均距离要取绝对值，不便于公式变形，统计中很少用。联想已学的两个非负数，除绝对值外还有平方数，用平方替代绝对值计算：,学生经历了方差公式的探索过程，自然也就理解并记住了。所以在教学中要重视公式的得出过程，让学生知道知识的来龙去脉，多问几个为什么。,概率知识结构图：,事件,概率初步,必然事件,确定事件,随机事件,不可能事件,概率,求法,意义,列举法,列表法,树形图法,用频率估计概率,25.1 概 率,约4课时,25.2 用列举法求概率,约4课时,25.3 利用频率估计概率,约2课时,25.4 课题学习,约2课时,数学活动 小结,约2课时,(本章共约15课时）,课时分配：,本部分的教学难点、注意事项和建议：,1、概率在初中阶段主要有三种：一种是古典概型，一种是几何概型（在人教版中没有明确的提出来，由于有小学知识的铺垫，学生较容易理解，课本中涉及相关的题目），另一种是用频率估计概率。教材中多为古典概型，所以容易造成学生解决概率问题时，默认他是等可能的。教学时，需要通过例子感知一下“等可能”和“不等可能”即可，以便让学生明白古典概型具备的两个条件之一。“等可能”是无法确切证明的，往往是一种感觉，但是这种感觉是有其实际背景的，例如，掷一枚硬币，“呈正面”“呈反面”是等可能的，因为它质地均匀；而掷一枚图钉，“钉帽着地”“顶针着地”不是等可能的，因为图钉本身给我们的感觉就是帽重钉轻（不等可能的情况可用大量重复实验，用频率估计概率来解决）。因此，“等可能”并不要多么严密的物理上或化学上的分析，只需要通过例子感知一下即可。,教材中的例题2:如图所示，有一个转盘，转盘分成7个相同的扇形，颜色分别为红、绿、黄三种颜色，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）。求下列事件的概率：,（1）指针指向红色；(2）指针指向红色,或黄色；(3)指针不指向红色。,问题中可能出现的结果有7个（红1，红2，红3，黄1，黄2，绿1，绿2），并且每种结果出现的可能性相等，直接利用公式计算。有的同学认为出现的结果有红、绿、黄3个（这3个结果不是等可能的），学生会想到红色扇形面积占圆面积的3/7，因此指针指向红色的概率是3/7，在学生的意识中可以用扇形面积所占圆面积的大小来直接计算概率。这实质上是几何概型实验的求法。同时我个人理解为这也是数形结合的一种应用。,再例，一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，掷骰子一次，朝上一面的数字是5的概率是多少？若六个面分别标有数字1、2、3、4、5、5，掷骰子一次，朝上一面的数字是5的概率是多少？,通过学生熟悉的例子，让学生感知“等可能”的意义。,本部分的教学难点、注意事项和建议：,2、同时投掷两枚硬币与先后两次投掷一枚硬币的问题,P134例2：掷两枚硬币，求下列事件的概率：（1）两枚硬币全部正面向上；（2）两枚硬币全部反面向上；（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。,思考：“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”这两种试验的所有可能结果一样吗？,P134例3：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：,（1）两个骰子的点数相同；（2）两个骰子点数的和是9；（3）至少有一个骰子的点数为2.,思考：如果将上题中的“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”，所得到的结果有变化吗？,同时投掷两枚硬币与先后两次投掷一枚硬币所出现的所有结果是一样的，但也是有区别的，先后投掷时有顺序的问题，而同时投掷时就不会出现这样的问题。,例如：袋子中有红、绿各一个小球，随机摸出1个小球后放回，再随机摸出一个，求下列事件的概率：,（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球。（2）两次摸到的球中有一个绿球和一个红球。（3）两次都摸到相同颜色的小球。,由于（1）中的结果有一定的顺序，结果为1/4,而(2)不存在顺序的问题,结果为1/2，其实这部分题目的探讨也为高中的排列与组合和后面的树形图奠定了基础。,本部分的教学难点、注意事项和建议：,3、对画树形图的理解：树形图就是象树一样的图，要搞清每个枝上结什么果？树形图的树枝上结的都是果，什么果呢？这个事件可能出现的结果。课本上一般说涉及3个或更多因素时，往往用树形图来列举所有可能的结果，但学生对“因素“一词很难理解，如：假定鸟卵孵化后，雏鸟为雄与为雌的概率相同，如果三枚卵成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是多少？很多同学是这样画的树形图：,第一个枝结的就不是果，这个问题的果是雄或雌。,在教学时，我把因素自上而下理解为步，理解起来就容易多了。,本部分的教学难点、注意事项和建议：,4、转化为基本的摸球问题：,把上面的问题转化为摸球问题：一个袋子中装有红、白两个只有颜色不同的小球，随机摸出一个后放回，摸三次，求摸出的三次中恰有两次是红球的概率。,第一次,（第一步）,红,红,白,红,白,红,白,红,白,红,白,第二次,（第二步）,第三只次,（第三步）,白,红,白,再例P137 2、经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同. 三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：,（1）三辆车全部继续直行；,（2）两辆车向右转，一辆车向左转；,（3）至少有两辆车向左转.,把此问题转化为：,一个袋子中装有红、黄、绿三个只有颜色不同的小球，随机摸出一个后放回，求下列事件的概率（1）摸三次，都摸到红球。（2）摸三次，两个绿球，一个黄球。（3）摸三次，至少有两个黄球。,把这个难点归结为学生熟悉的摸球试验，很容易画出树形图，温故生新，克服难点。,本部分的教学难点、注意事项和建议：,5、有放回与无放回的问题,有放回地摸球相当于在相同的条件下把一个实验重复地进行多次，而且每次实验之间都是相互独立的；无放回地摸球，每次实验之间就不是相互独立的了，这是因为前面的摸球结果会影响后面的摸球结果。,如：P137练习，在6张卡片上分别写有16的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次抽取的数字能整除第一次抽取的数字的概率是多少？画树形图：,若改为随机地抽取一张后不放回，再随机地抽取一张，那么第二次抽取的数字能整除第一次抽取的数字的概率是多少？,画树形图：,不放回的问题，画树形图较直观。,本部分的教学难点、注意事项和建议：,6、对频率和概率的理解,概率是刻画事件发生可能性大小的量，而频率是频数与数据总数的比值。频率和概率是两个不同概念，频率与实验的次数有关 , 概率与实验次数无关，概率是一个客观存在的数。频率既有随机性，又有规律性，即随机事件发生的频率的稳定值就是概率。于是我们可以说“频率是概率的估计”，因此可以用频率估计概率。同时让学生加强阅读材料：历史上科学家掷币实验、投针实验等，加深对用频率估计概率的理解。频率与概率之间既有联系又有区别，避免出现频率就是概率的误解。,不当之处请大家,多多批评指教,谢 谢,