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单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2022/7/8,#,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2022/7/8,#,1,数据链接 真题试做,2,数据聚焦 考点梳理,a,3,数据剖析 题型突破,第,14,讲 二次函数的图象和性质,目,录,数据链接,真题试做,命题点,1,二次函数的图象与性质,命题点,2,确定二次函数的解析式,命题点,3,二次函数图象的变换,二次函数的图象与性质,命题,点,1,返回子目录,数据,链接 真题试做,1,1,. (,2020,河北,15),如图,现要在抛物线,y=x,(,4,-,x,),上找点,P,(,a,b,),针对,b,的不同取值,所找点,P,的个数,三人的说法如下,甲,:,若,b=,5,则点,P,的个数为,0;,乙,:,若,b=,4,则点,P,的个数为,1;,丙,:,若,b=,3,则点,P,的个数为,1,.,C,下列判断正确的,是,(,),A,.,乙,错,丙对,B.,甲,和乙都,错,C.,乙,对,丙错,D.,甲,错,丙对,返回子目录,2,. (,2010,河北,11),如图,已知,抛物线,y=x,2,+bx+c,的对称轴为,x=,2,点,A,B,均在抛物线上,且,AB,与,x,轴平行,其中点,A,的坐标为,(,0,3,),则点,B,的坐标,为,(,),A,. (,2,3),B.,(,3,2),C.,(,3,3,),D,. (,4,3),D,返回子目录,3,. (,2012,河北,12),如图,抛物线,y,1,=a,(,x+,2,),2,-,3,与,y,2,=,(,x-,3,),2,+,1,交于点,A,(,1,3,),过点,A,作,x,轴的平行线,分别交两条抛物线于点,B,C.,则以下结论,:,无论,x,取何值,y,2,的值总是正数,;,a=,1;,当,x=,0,时,y,2,-,y,1,=,4;,2,AB=,3,AC.,其中正确的结论,是,(,),A,. ,B. ,C. ,D,. ,D,返回子目录,4,. (,2015,河北,25),如,图,已知点,O,(,0,0,),A,(-,5,0,),B,(,2,1,),抛物线,l,:,y=,-(,x,-,h,),2,+,1,(,h,为常数,),与,y,轴的交点为,C.,(1),l,经过点,B,求它的解析式,并写出此时,l,的对称轴及顶点坐标,;,(2),设点,C,的纵坐标为,y,C,求,y,C,的最大值,此时,l,上,有两点,(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,),其中,x,1,x,2,0,比较,y,1,与,y,2,的大小,;,(3),当线段,OA,被,l,只分为两,部分,且,这两部分,的,比,是,1,4,时,求,h,的值,.,返回子目录,解,:,(1),把点,B,(,2,1,),代入,y=,-(,x,-,h,),2,+,1,得,-(,2,-,h,),2,+,1,=,1,解得,h=,2,抛物线的解析式是,y=,-(,x,-,2,),2,+,1,对称轴是,x=,2,顶点坐标是,(,2,1,),.,(2),在,y=,-(,x,-,h,),2,+,1,中,令,x=,0,解得,y=,-,h,2,+,1,即,y,C,=,-,h,2,+,1,-,h,2,+,1,1,y,C,的最大值是,1,.,此时点,C,的坐标是,(,0,1,),把点,C,(,0,1,),代入,y=,-(,x,-,h,),2,+,1,得,h=,0,则函数的解析式是,y=,-,x,2,+,1,对称轴是,y,轴,开口向下,则当,x,1,x,2,0,时,y,1,0,a,0,返回子目录,对称轴,直线,x=,顶点坐标,增减性,在对称轴的左侧,即当,x-,时,y,随,x,的增大而增大,简记为“左减右增”,在对称轴的左侧,即当,x,-,时,y,随,x,的增大而减小,简记为“左增右减”,最值,抛物线有最低点,且当,时,y,有最小值,y,最小值,=,抛物线有最高点,且当,x=,-,时,y,有最大值,y,最大值,=,-,x=-,续表,返回子目录,【易错提示】二次函数的图象由对称轴分开,在对称轴的同侧具有相同的增减性,在顶点处有最大值或最小值,如果自变量的取值中不包含顶点,那么在取值时,要依据其增减性而定,.,2,.,系数,a,b,c,与二次函数图象的关系,项目,字母,字母的符号,图象的特征,a,a,0,开口向上,|a|,越大,开口越小,a,0(,b,与,a,同号,),对称轴在,y,轴左侧,ab,0,与,y,轴正半轴相交,c,0,与,x,轴有,公共点,b,2,-,4,ac,0,即,x=,1,时,y,0,若,a-b+c,0,即,x=,-,1,时,y,0,续表,原点,两个不同的,没有,二次函数图象的平移,考点,3,返回子目录,1,.,平移,步骤,(1),将抛物线,解析式转化为顶点式,y=a,(,x,-,h,),2,+k,确定其顶点坐标,;,(2),保持抛物线的形状不变,平移顶点坐标,(,h,k,),即可,.,2,.,平移规律,移动方向,平移前的解析式,平移后的解析式,规律,向左平移,m,个单位长度,(,m,0,),y=a,(,x-h,),2,+k,y=a,(,x-h+m,),2,+k,左加,向右平移,m,个单位长度,(,m,0,),y=a,(,x-h,),2,+k,y=a,(,x-h-m,),2,+k,右减,返回子目录,续表,移动方向,平移前的解析式,平移后的解析式,规律,向,上,平移,m,个单位长度,(,m,0,),y=a,(,x-h,),2,+k,y=a,(,x-h,),2,+k+m,上,加,向,下,平移,m,个单位长度,(,m,0,),y=a,(,x-h,),2,+k,y=a,(,x-h-m,),2,+k-m,下,减,口诀,:,左加右减、上加下减,二次函数与一元二次方程、不等式的关系,考点,4,返回子目录,二次函数,与一元二,次方程,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象与,x,轴交点的横坐标是一元二次方程,ax,2,+bx+c=,0,的根,当,b,2,-,4,ac,0,时,抛物线与,x,轴有两个交点,方程,ax,2,+bx+c=,0,有两个不相等的实数根,当,b,2,-,4,ac=,0,时,抛物线与,x,轴有一个交点,方程,ax,2,+bx+c=,0,有两个相等的实数根,当,b,2,-,4,ac,0,的解集函数,y=ax,2,+bx+c,的图象位于,x,轴上方对应点的横坐标的取值范围,不等式,ax,2,+bx+c,0,的解集函数,y=ax,2,+bx+c,的图象位于,x,轴下方对应点的横坐标的取值范围,续表,【规律总结】求二次函数图象与,x,轴的交点的方法,:,令,y=,0,解关于,x,的方程,最后把所得的数值写成坐标的形式,.,求二次函数图象与,y,轴交点的方法,:,令,x=,0,求出,y,的值,最后把所得的数值写成坐标的形式,.,数据剖析,题型突破,考向,1,二次函数的图象及性质,考向,2,二次函数解析式的确定,考向,3,二次函数与一元二次方程的关系,二次函数的图象及性质（,5,年,考,2,次,）,考向,1,返回子目录,数据剖析 题型突破,3,1,. (,2021,秦皇岛模拟,),如图,若,a,0,c,0,),的对称轴是直线,x=,1,且经过点,P,(,3,0,),则,a-b+c,的值,为,(,),A. 0 B.,-,1,C. 1 D. 2,3,. (,2021,河北模拟,),如图,抛物线,y=ax,2,+bx+c,(,a,0,),与,x,轴交于点,A,(,-,1,0,),和点,B,与,y,轴交于点,C.,下列结论,:,abc,0;,2,a+b,0;,3,a+c,0,其中正确的结论个数,为,(,),A,. 1,个,B. 2,个,C. 3,个,D. 4,个,A,B,返回子目录,4,. (,2021,河北模拟,),如图,已知点,A,(,0,2,),B,(,2,2,),C,(,-,1,0,),抛物线,y=a,(,x-h,),2,+k,过点,C,顶点,M,位于第一象限且在线段,AB,的垂直平分线上,.,若抛物线与线段,AB,无公共点,则,k,的取值,范围,是,(,),A,. 0,k,2,B. 0,k,C.,k,D. 0,k,B,返回子目录,-1,x,3,5,.,二次函数,y=ax,2,+bx+c,(,a,0,),的部分对应值如下表,:,x,-3,-2,-1,0,1,2,y,-12,-5,0,3,4,3,利用二次函数的图象可知,当函数值,y,0,时,x,的取值范围是,.,6,. (,2021,河北预测,),如图,一段,抛物线,y=-x,2,+,4,x,(,0,x,4,),记为,C,1,它与,x,轴交于点,O,A,1,;,将,C,1,绕点,A,1,旋转,180,得,C,2,交,x,轴于点,A,2,;,将,C,2,绕点,A,2,旋转,180,得,C,3,交,x,轴于点,A,3,如此进行下去,直至得抛物线,C,2 021,若点,P,(,m,3,),在第,2 021,段抛物线,C,2 021,上,则,m=,.,返回子目录,8 081,或,8 083,返回子目录,抛物线的开口方向取决于,a,的符号,;,抛物线,y=a,(,x-h,),2,+k,的顶点坐标为,(,h,k,),;,对称轴为直线,x=h,;,增减性既要考虑开口方向,又要考虑是在对称轴的左边还是,右边,.,二次函数解析式的确定（,5,年,考,1,次,）,考,向,2,返回子目录,1,. (,2021,邯郸模拟,),将如图所示的抛物线向右平移,1,个单位长度,再向上平移,3,个单位长度后,得到的抛物线,解析式,是,(,),A.,y,=,(,x-,1),2,+,1,B.,y,=,(,x+,1),2,+,1,C.,y=,2(,x-,1),2,+,1,D.,y=,2(,x+,1),2,+,1,C,2,. (,2021,河北预测,),求,经过,A,(,1,4,),B,(,-,2,1,),两点,对称轴为,x=-,1,的抛物线的解析式,是,.,y=x,2,+,2,x+,1,返回子目录,3,. (,2021,唐山模拟,),如图,在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为,A,(,1,-,4,),且过点,B,(,3,0,),.,(1),求该二次函数的解析式,;,(2),将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点,?,并直接写出平移后所得图象与,x,轴的另一个交点的坐标,.,返回子目录,解,:(1),二次函数图象的顶点为,A,(,1,-,4,),设二次函数解析式为,y=a,(,x-,1,),2,-,4,把点,B,(,3,0,),代入二次函数解析式,得,0,=,4,a-,4,解得,a=,1,二次函数解析式为,y=,(,x-,1,),2,-,4,即,y=x,2,-,2,x-,3,.,(2),令,y=,0,得,x,2,-,2,x-,3,=,0,解得,x,1,=,3,x,2,=-,1,二次函数图象与,x,轴的两个交点坐标为,(,3,0,),和,(,-,1,0,),二次函数图象向右平移,1,个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点,.,故平移后所得图象与,x,轴的另一个交点坐标为,(,4,0,),.,返回子目录,D,4,. (,2021,河北模拟,),如图,二次函数,y=,-,x,2,+bx+c,的图象经过,A,(,2,0,),B,(,0,-,6,),两点,.,(1),求这个二次函数的解析式,;,(2),设该二次函数的对称轴与,x,轴交于点,C,连接,BA,BC,求,ABC,的面积,.,返回子目录,解,:,(1),把,A,(,2,0,),B,(,0,-,6,),代入,y=-,x,2,+bx+c,得,解,得,这个二次函数的解析式为,y=,-,x,2,+,4,x-,6,.,(2),该抛物线对称轴为直线,x=,-,=,4,点,C,的坐标为,(,4,0,),AC=OC-OA=,4,-,2,=,2,S,ABC,=,AC,OB=,2,6,=,6,.,返回子目录,5,. (,2021,邯郸模拟,),已知二次函数的图象经过点,(,0,-,2,),且当,x=,1,时函数有最小值,-,3,.,(1),求这个二次函数的解析式,;,(2),如果点,(,-,2,y,1,),(,1,y,2,),和,(,3,y,3,),都在该函数图象上,试比较,y,1,y,2,y,3,的大小,.,解,:,(1),由题意知,:,抛物线的顶点坐标为,(,1,-,3,),设二次函数的解析式为,y=a,(,x-,1,),2,-,3,由于抛物线过点,(,0,-,2,),则有,a,(,0,-,1,),2,-,3,=,-,2,解得,a=,1,因此抛物线的解析式为,y=,(,x-,1,),2,-,3,.,返回子目录,(2),a=,1,0,故抛物线的开口向上,.,抛物线的对称轴为,x=,1,(,1,y,2,),为抛物线的顶点坐标,y,2,最小,.,由于,(,-,2,y,1,),和,(,4,y,1,),关于对称轴对称,可以通过比较,(,4,y,1,),和,(,3,y,3,),来比较,y,1,y,3,的大小,在,y,轴的右侧是增函数,y,1,y,3,.,于是,y,2,y,3,y,1,.,求二次函数的解析式通常使用待定系数法,即首先根据题设条件,设出二次函数表达式,然后将条件代入所设表达式,列出方程,(,组,),最后解这个方程,(,组,),求出系数,.,二次函数与一元二次方程的关系（,5,年,考,0,次,）,考,向,3,返回子目录,1,. (,2021,河北预测,),如表是二次函数,y=ax,2,+bx+c,的几组对应值,:,x,6,.,17,6,.,18,6,.,19,6,.,20,y=ax,2,+bx+c,-,0,.,03,-,0,.,01,0,.,02,0,.,04,根据表中数据判断,方程,ax,2,+bx+c=,0,的一个解,x,的范围,是,(,),A,. 6,x,6,.,17,B. 6,.,17,x,6,.,18,C,. 6,.,18,x,6,.,19,D. 6,.,19,x,6,.,20,C,返回子目录,2,. (,2021,河北模拟,),已知关于,x,的一元二次方程,x,2,+mx+n=,0,的两个实数根分别为,x,1,=a,x,2,=b,(,ab,),则二次函数,y=x,2,+mx+n,中,当,y,0,时,x,的取值范围,是,(,),A,.,xb,C.,axb,D.,xb,3,. (,2021,河北模拟,),已知二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象经过,(,-,3,0,),和,(,1,0,),两点,关于,x,的方程,ax,2,+bx+c+m=,0,(,m,0,),有两个根,其中一个根是,3,则关于,x,的方程,ax,2,+bx+c+n=,0,(,0,nm,),有两个整数根,这两个整数根,是,(,),A,.,-,2,或,0,B.,-,4,或,2 C.,-,5,或,3,D.,-,6,或,4,C,B,返回子目录,4,. (,2021,唐山模拟,),如图,抛物线,y=ax,2,与直线,y=bx+c,的两个交点坐标分别为,A,(,-,2,4,),B,(,1,1,),则方程,ax,2,=bx+c,的解是,.,5,. (,2021,邯郸模拟,),抛物线,y=,-,x,2,+bx+c,的部分图象如图所示,则关于,x,的一元二次方程,-,x,2,+bx+c=,0,的解是,.,x,1,=,1,x,2,=,-,2,x,1,=,1,x,2,=,-,3,返回子目录,抛物线,y=ax,2,+bx+c,(,a,0,),与,x,轴交点的横坐标就是一元二次方程,ax,2,+bx+c=,0,(,a,0,),的解,.,这里要注意两点,:,一是抛物线与,x,轴的交点的横坐标与方程解的联系,二是与一元二次方程的这两个解对应的抛物线与,x,轴的两个交点关于对称轴对称,.,在已知抛物线的对称轴和其中一个交点的坐标时,根据对称性,可以便捷地求出另一个交点的坐标,.,
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