极限的概念与性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,目录 上页 下页 返回 结束,第一章,二 、函数的极限,三 、函数的极限的性质,一、数列的极限,第二节,极限的概念与性质,自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。,引言,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正,3072,边形得到圆周率 的近似值为,3.1416,割圆术,割圆术就是极限思想在几何上的应用,微积分是一门以,变量,为研究对象、,应用极限方法研究各类,变化率问题,应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到,以,极限方法,作为研究工具的数学学科：,曲线的切线问题,，,微小量无穷积累,的问题，,和几何学中,就产生了,微分学,；,就产生了,积分学,。,一、数列极限的定义,按照一定规律排列的一列数,数列 可视为定义在自然数集上的函数：,称为一个数列。,称为数列通项，,数列简记为 。,趋向于某个确定的数,x,y,O,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,不趋向于某个确定的数,定义：,设数列,极限存在的数列称为,收敛数列,。,极限不存在的数列称为,发散数列,。,如果通项,记作,当项数 无限增大时，,则称,的极限。,为数列,或,无限趋近于某个常数,例如,趋势不定,收 敛,发 散,若数列,及常数,a,有下列关系,:,当,n,N,时,总有,记作,即,或,则称该数列,的极限为,a,几何解释,:,只有有限项,(,至多,N,项,),在邻域,之外。,数学定义：,英文注音,epsilon,中文注音 伊普西龙,例,1.,已知,证明数列,的极限为,1.,证明,:,欲使,即,只要,因此,取,则当,时,就有,故,例,2.,已知,证明,证,:,欲使,只要,即,取,则当,时,就有,故,故也,可取,也可由,1,. N,与,有关,但不唯一,.,不一定取最小的,N,.,说明,:,取,2,.,利用不等式的放缩,.,例,3.,设,证明等比数列,证,:,欲使,只要,即,亦即,因此,取,则当,n,N,时,就有,故,的极限为,0 .,例,4,.,证明：,记,易知,当,时，,取,则当,时，有,由于,故,时，,当,正整数,于是,正整数,所以,刘徽,(,约,225 295,年,),我国古代魏末晋初的杰出数学家,.,他撰写的,重,差,对,九章算术,中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献,.,他的 “ 割圆术 ” 求圆周率,“ 割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣 ”,它包含了“,用已知逼近未知,用近似逼近精确,”,的重要,极限思想,.,的方法,:,柯西,(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集,共有,27,卷,.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的,分析教程,无穷小分析概论, ,微积,分在几何上的应用,等,有思想有创建,响广泛而深远,.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展,.,复变函数和微分方程方面,.,一生发表论文,800,余篇,著书,7,本,第一章,1,、自变量趋于有限值时函数的极限,自变量变化过程的六种形式,:,2,、左极限、右极限,主要内容,:,二、函数的极限,3,、自变量趋于无穷大时函数的极限,定义,1 .,在点,的某去心,邻域内有定义,当,时,有,则称常数,A,为函数,当,时的,极限,或,即,当,时,有,若,记作,几何解释,:,1,、自变量趋于有限值时函数的极限,设函数,(,),例,1.,证明,证,:,故,取,当,时,必有,因此,(,注意,x,=1,无定义,),例,2.,证明,:,当,证,:,欲使,且,而,可用,因此,只要,时,故取,则当,时,保证,.,必有,2.,左极限与右极限,(,单侧极限,),左,极限,:,当,时,有,右极限,:,当,时,有,定理,1.,例,3.,给定函数,讨论,时,的,极限是否存在,.,解,:,利用定理,1 .,因为,显然,所以,不,存在,.,例,4.,求,解,:,因为,所以,设,定义,2,.,设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的,极限,几何解释,:,记作,直线,y,=,A,为曲线,的水平渐近线,.,A,为函数,3,、自变量趋于无穷大时函数的极限,例,5.,证明,证,:,取,因此,注,:,就有,故,欲使,只要,直线,y,=,A,仍是曲线,y = f,(,x,),的渐近线,.,两种特殊情况,:,当,时, 有,当,时, 有,几何意义,:,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,三、 函数极限的性质,1.,唯一性,类似于数列极限的唯一性（反证法）,2.,局部有界性,(,性质适用于函数的所有极限过程,),若函数极限存在，则函数极限唯一。,3.,局部保号性,定理,2 .,若,且,A, 0 ,证,:,已知,即,当,时,有,当,A, 0,时,取,正数,则在对应的邻域,上,( 0),则存在,(,A, 0 ),若取,则在对应的邻域,上,若,则,存在,使当,时,有,推论,1.,分析,:,推论,2 .,若在,的某去心,邻域内,且,则,思考,:,若定理,2,中的条件改为,是否必有,不能,!,如,(,反证法,证明略,),4.,函数极限的两边夹定理,定理,3.,且,(,仿照数列极限的两边夹定理证明,),5.,函数极限与数列极限的关系,定理,4.,有,定义,有,说明,:,此定理常用于判断函数极限不存在,.,法,1,找一个数列,不存在,.,法,2,找两个趋于,的,不同数列,及,使,例,6.,证明,不存在,.,证,:,取两个趋于,0,的数列,及,有,由,定理,4,知,不存在,.,思考与练习,1.,若极限,存在,2.,设函数,且,存在,则,是否一定有,第四节,？,内容小结,1.,函数极限的,或,定义及应用,2.,函数极限的性质,.,第四节,作业,习题一,15 (1),，,(4), 23 (3),补三,补充,.,证明,证,:,取,因此,就有,故,欲使,只要,又,故只要,即,