有限元法分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,5,章 有限元法,(2), Finite Element,Method,(FEM),5.3,有限元法的工程应用,5.3.1,有限元法的解题步骤,1.,结构的力学模型简化,采用,有限元法,来分析,实际工程结构,的,强度,和,刚度问题,时：,首先应从,工程实际问题,中抽象出,力学模型,，即需对实际问题的,边界条件,、,约束条件,和,外载荷,进行,简化,。,这种简化,应尽可能反映实际情况，使简化后的弹性力学问题的解与实际相近，但也不要使计算过于复杂。,力学模型简化,时，必须明确以下,几点,：,(1),判断实际结构的,问题类型,，是属于,一维问题,、,二维问题,还是,三维问题,。如果是二维问题，应分清是,平面应力状态,，还是,平面应变,状态,。,(3),简化后的力学模型必须是,静定结构,或,超静定结构,。,(4),进行,力学模型简化,时，还要给定,结构力学参数,如材料弹性模量,E,，泊松系数 ，外载荷大小及作用位置，以及结构的几何形状及尺寸等。,(2),结构是否对称,，如果,结构对称,，则充分利用结构对称性,简化计算,，如图,5-a,所示（取,原分析对象,的,1/2,部分或,1/4,部分来计算）。,图,5-a,取原分析对象的,1/2,部分或,1/4,部分来计算,2.,单元划分和插值函数的确定,根据,分析对象,的,结构几何特性,、,载荷情况,及所要求的,变形,点,，建立由各种单元所组成的,计算模型,。,单元划分后，利用,单元的性质,和精度要求，写出表示单元内,任意点的,位移函数,；并利用节点处的,边界条件,，写出用,节点位移,表,示的单元体内任意点,位移的插值函数式,。,根据,位移插值函数,，由弹性力学中给出的,应变,和,位移关系,，可计算出单元内任意点的,应变,；,由,物理关系,，得应变与应力间的关系式，进而可求,单元内任意点,的,应力,；,由,虚功原理,可得,单元的有限元方程,，即,节点力,与,节点位移,之间的关系，从而得到,单元的刚度矩阵,。,3.,单元特性分析,整体分析,是对由各个单元组成的,整体,进行分析。,整体分析的目的,是建立,节点外载荷,与,节点位移,之间的关系，以求解,节点位移,。,把各单元按节点组集成与原结构体相似的,整体结构,，得到,整体结构的节点力与节点位移之间的关系,。,上式,称为,整体有限元方程式,。式中：,F,为整体总节点载荷列阵；,K,为整体结构的刚度矩阵，或称,总刚度矩阵,；,q,是整体结构的所有节点的位移列阵。,4.,整体分析,（,单元组集,）,（,5-33,）,上式,写成,分块的形式,，则为,对于,弹性力学平面问题,：,子向量, F ,i,、, q ,i,都是,二维向量,，,子矩阵,K ,ij,是,22,阶矩阵，,角标,(,i,j,),为,节点总码编号,，,n,为整体结构中的,节点总数,。,（,5-34,）,(1),整体节点位移列阵,q,q,的建立,，可直接按,节点编号顺序,和每个节点的,自由度数,排列而成。,这相当于将各个单元的,节点位移,直接叠加，共同节点只取一,个表示即可。,(,2),总刚度矩阵,K,由,各个单元刚度矩阵,直接叠加,而成。,这种叠加,是按,各单元节点编号,的顺序，将每个,单元刚度矩阵,送入,总刚度矩阵,中,对应节点编号,的,行,、,列位置,，而且交于,同一节点编号,的,不同单元,，对应于,该节点,的,刚度矩阵子块,要,互相叠加,。,总刚度矩阵,中,其余元素,均为零。,整体有限元方程式,中的, F ,、, K ,和, q ,可按,以下步骤,建立：,K,图,5-7,所示为,一块三角形薄板,离散后的,三角形网格,，,该结构,共有,四个单元,和,六个节点,，其,编号情况,以及,节点载荷,如图所示。支承情况,是在节点,4,、,5,、,6,三处共有,四个位移分量,限定为零，即,下面通过一个,简单实例,来说明,总体刚度矩阵,K,的形成。,图,5-7,三角形薄板结构,四个单元,的,节点局部码,如,图,5-8,所示。,图,5-8,离散后的三角形薄板单元,四个单元,的,节点局部码,如,图,5-8a,所示。,(1),(2),(3),(4),2,1,5,3,3,2,5,2,3,6,5,4,图,5-8,离散后的三角形薄板单元,对比,图,5-7,与,图,5-8,可以看出，四个单元,节点局部码,与,节点总码,的,对应关系,为：,单元,1,：,单元,2,：,单元,3,：,单元,4,：,假设在,单元分析,中，已得出,单元,1,在整体坐标系中的,单元刚度矩阵,K,(1),，写成,分块形式,为,对,单元,2,、,3,、,4,经过,坐标转换,后，可得出在,整体坐标系,中的,单元刚度矩阵,，写成,分块形式,为,局码,i j m,i,j,m,2 3 1,总码,2,3,1,它是,一个,6,6,阶矩阵,。矩阵中,下标的数字,是,节点总码,。,则按,下标的编码,将各子矩阵写入,总体刚度矩阵,中相应的位置，,对应项,相加，则得,总体刚度矩阵,为,综上所述，在,弹性力学平面问题,中，通过,单元分析,得到局部坐,标系下的,各个单元的刚度矩阵,后，由,它们,组集成,整体坐标系,下的,总,体刚度矩阵,，需经,如下步骤,：, 将所得的,局部坐标系,下的,各单元刚度矩阵,节点局部码,转换为,对应的,节点总码,，从而得到,整体坐标系的单元刚度矩阵,；, 将,整体坐标系,的,单元刚度矩阵,的,各子矩阵,根据,其下标的两个,总码,对号入座，写在,总体刚度矩阵,相应的位置上；, 将,下标,相同的,子矩阵,相加，形成,总体刚度矩阵,中相应的,子矩,阵,。,整体总节点载荷列阵,F,是,由,各单元节点载荷列阵,叠加而成的。,它,是将,各单元,的,送到,F,中对应,节点编号的行上,，而且交,于同一节点的,不同单元,，对应于该节点的,节点载荷子块,要互相叠加。,在组集,载荷列阵,前，应将,非节点载荷,离散并等效地转移到,相应单,元的,节点上,。,转移方法,根据力的性质不同有不同的转换关系：,(1),体积力,p,的,单元等效节点载荷,(3),整体总节点载荷列阵,F,（,5-35,）,(2),表面力,q,的,单元等效节点载荷,(3),非节点集中力,P,的,单元等效节点载荷,上式中：,N,为单元形函数；,N,p,为单元形函数在载荷作用点的取值。,总的单元等效节点力,用,叠加法,求出,（,5-37,）,（,5-36,）,（,5-38,）,在进行,整体分析,时，有时,一个节点,往往是几个单元的,共有节点,，该节点的,节点力,应该是,共有节点,的单元在,该节点上的力,的叠加，由此可以得到整体结构的,节点载荷列阵,F,。,现以,图,5-9,所示的,某弹性体,边界上的,一部分单元,的,组合为例，来说明其,叠加过程,。,如,图,5-9,所示，假设,节点,i,是,三个单元,、的,连接点,，受相关单元上移置而来的,外载荷,R,ix,与,R,iy,，如,图,5-9(a),所示。,同时,三个单元,都受到,节点,i,所施加的,节点力,R,ix,(1),、,R,iy,(1),、,R,ix,(2),、,R,iy,(2),、,R,ix,(3),、,R,iy,(3),，,如,图,5-9(b),所示。,图,5-9,某简单结构体,式中， 表示围绕,i,节点,相连接的,所有单元,之和。,用,分块矩阵,表示：,利用在,单元分析,中，已建立的这三个单元在,节点处,的节点力与节点位移的,关系式,(5-3b),，就可把相邻的三个单元在,节点,i,处加以集合，如,图,5-9 (c),所示，此时在,三个单元的共同点,上，,总的节点力,应为：,根据节点,i,的,平衡条件,，,总的节点力,应等于作用在,该节点,处的,外载荷,（图,5-9 d,），即,5.,解有限元方程,可采用不同的计算方法解,有限元方程,，得出,各节点的位移,。,在,解题,之前，应根据求解问题的,边界条件,，可将,式,(5-33),进行缩,减，这样更有利于方程的求解，然后再解出,节点位移,q,。,6.,计算应力应变,若要求计算,应力,、,应变,，则在计算出,节点位移,q,后，则可通过,前述有关公式,计算出,相应的,节点应力,和,应变值,。,例,5-1,图,5-10(a),所示为一个,平面薄梁,，载荷沿粱的上边均匀分布，单位长度上的均布载荷,q,=100N/cm,。假定材料的弹性模量为,E,，泊松比,= 0,，梁厚为,t,= 0.1cm,。在不计自重的情况下，试用,有限元法,计算,该梁的,位移,和,应力,。,5.3.2,计算实例,下面通过一个简单的,计算实例,来说明,有限元法,的工程应用的分析与计算过程。,图,5-10,平面薄梁的受载状态及单元划分,解：,1.,力学模型的确定,由于,此结构,的长度和宽度远大于梁厚，而,载荷,作用于梁的平面内，且沿厚度方向,均匀分布,，因此可按,平面应力问题,处理。,因为,此结构,与外载荷相对其垂直方向的中线是,对称的,，所以,取其一半,作为,分析对象,如,图,5-10(b),，对称轴上的,点约束横向位移,为,0,。,图,5-10,分析对象,2.,结构离散化,由于,该问题,属于,平面应力问题,，,本,例题,选用单元类型为,三节点三角形单元,。,然后对该结构进行,结构离散化,，共划分,两个单元,，选取坐标系，并对,单元,和,节点,进行编号如,图,5-10(b,),所示。,3.,求应变距阵,B,与弹性距阵,D,对,单元,，见,图,5-10(c),，由于,节点坐标,：,i,(0, 0),，,j,(6, 6),m,(0, 6),代入,式,(,5-8),和,式,(5-9),，,得,则由,式,(5-15,),和,式,(5-18),，求得,应变距阵,B,和平面应力问题的,弹性距阵,D,为,对于,单元,，见,图,5-10(d),，由,节点坐标,：,i,(0, 0),j,(6, 0),m,(6, 6),。,同理可得,单元,应力矩阵：,则得,单元,应力矩阵,：,4,.,求各单元刚度距阵,K,对于,三角形单元,，由,式,(5-30),，可得,单元,的刚度距阵,：,同理，可得,单元,的刚度距阵,：,5.,建立整体有限元方程式,根据,刚度集成方法,，按,节点位移序号,组建整体结构的,总刚度距阵,K,：,如,图,5-10(b),所示，作用在,1,、,4,边上,的均布载荷按,静力等效原理,移置到,1,、,4,节点,上，得整体结构的,等效节点载荷列阵,F,：,进而，可得,该结构,的,整体限元方程式,：,为,6.,引入边界约束简化有限元方程组,由于,对称轴,上,u,3,=,u,4,= 0,，,节点,2,为固定绞支点，即,u,2,=,v,2,= 0,，所以只需考虑,四个位移,u,1,v,1,v,3,v,4,，则相应,刚度方程,变为,这样划去,对应的行和列,，上述,整体限元方程式,缩减为,解,上面方程组,，可得,各节点位移,：,7,.,解线性代数方程组求各节点位移,根据,式,(5-19),，,计算,各单元的应力,：,单元,：,8.,计算各单元的应力,单元,：,5.4,有限元软件简介,1.,有限元软件的选用,基于,有限元法,是一种十分重要的,分析工具,，可在,众多领域,获得应用，为此国际上的一些,软件公司,先后开发出了许多,性能优良、功能齐全的大型通用化,有限元分析,软件,，例如：,ABAQUS,、,ADINA,、,ANSYS,、,NASTRAN,、,MARC,、,SAP,等。,单元库内,有齐全的,一般,常用单元,，如,杆,、,梁,、,板,、,轴对称,、,板壳,、,多面体单元,等；,功能库内,有,各种,分析模块,，如,静力分析,、,动力分析,、,连续体分析,、,流体分析,、,热分析,、,线性与非线性模块,等；,应用范围广泛,，并且一般都具有,前后置处理功能,，汇集了各种通用的标准子程序，组成了一个庞大的,集成化软件系统,。,这些,通用软件的特点,是：,在一些,CAD/CAM/CAE,系统,嵌套了,有限元分析模块,，,它们,与,设计软件,集成为一体，可在,设计环境,下运行。,例如：,设计软件,I-DEAS,、,Pro/ENGINEER,、,UNIGRAPHICS,等，其,有限元分析模块,虽没有通用或专用软件那么强大全面，但是完全可以解决一般工程设计问题。,在选用,有限元软件,时，可,综合考虑,以下,几个方面,：,(1),软件的功能；,(2),单元库内单元的种类；,(3),前后处理功能；,(4),软件运行环境；,(5),软件的价位；,(6),数据交换类型、接口及二次开发可能性。,2.,有限元分析的前、后置处理,有限元软件,一般由,三部分组成,：,(1),前置处理,部分；,(2),有限元分析,，这是其主要部分，它包括进行单元分析和整体分析、求解位移和应力值的各种计算程序；,(3),后置处理,部分。,采用,有限元法,进行,机械结构分析,时，需要输入大量的数据，如,单元数,、,单元特性,、,节点数,、,节点编号,、,节点位置坐标,等，,这些,称为,有限元的前置处理,。,前置处理,的,主要内容,包括：,按所选用的单元类型对结构,进行网格划分,；,按要求,对节点进行顺序编号,；,输入,单元特性,及,节点坐标,；,生成并在屏幕上显示出带有,节点,和,单元标号,以及,边界条件,的,网格图象,，以便检查和修改；,对显示图象进行,放大,、,缩小,、,旋转,和,分块变换,等,。,为实现,上述内容,而编制的,程序,叫做,前置处理程序,，一般包括,以下功能,：,(1),生成节点坐标,可用手工或交互式,输入,节点坐标,，绕任意轴旋转,生成,一系列节点坐标,，沿任意向量方向平移,生成,相应的节点坐标,，生成有关面、体的节点坐标等，合并坐标值相同的节点号，按顺序,重编,节点号,；,(2),生成单元,输入,单元特性，进行网格单元平移、旋转、对称复制等；,(3),修改和控制网格单元,对单元体局部网格密度进行调整；平移、插入或删除网格单元；,(4),引进边界条件,引入,边界条件，约束一系列节点的总体位移和转角；,(,5),单元属性编辑,定义,单元几何属性、材料物理特性，删除、插入或修改弹性模量、惯性矩等参数；,(6),单元分布载荷编辑,定义、插入、删除和修改,节点的载荷、约束、质量、温度等信息。,图,5-11,是用,SAP5,软件,对,矩形截面悬梁,做结构分析时，根据输入的,单元,和,节点数,，,前置处理,自动生成的,网格图,。,系统,把,悬梁结构,分成了,5,个三维实体单元,，,每个单元,有,20,个节点，共,68,个节点。,根据,网格图,，可检查输入的数据是否正确，如输入数据有误，网格中的节点就会偏离正确的位置，从而产生错误的网格图。,图,5-11,某,矩形截面悬梁的前置处理中生成的网格图,单元,5,单元,4,单元,3,单元,2,单元,1,经过,有限元分析后,得到的,大量数据,，如,应力,与,应变,、,节点位移量,等，需要进行必要的,分析与加工整理,，还可以利用计算机的,图形功能,，形象地显示出,有限元分析的结果,，以便设计人员正确地筛选、判断、采纳这些结果，并对设计方案进行实时修改，,这些工作,称为,有限元后置处理,。,用于表示和记录,有限元数据,的,图形,主要有,网格图,、,结构变形图,、,应力等值线图,、,色彩填充,图（,云图,）、,应力向量图,和,动画模拟图,等。为了实现这些目的而,编制的程序,称为,后置处理程序,。,下面,列示出的各图,为采用,有限元分析软件,进行机械产品及其零部件分析的,实例,。,图,5-b,有限元法分析实例及应用,图,5-c,有限元法分析实例及应用,拓扑优化,Topology optimization,在给定设计空间内优化材料的布局,形状优化,Shape optimization,优化给定的几何特性的形状,尺寸优化,Size optimization,参数优化,例如：梁的厚度和截面尺寸等,形貌优化,Topography optimization,优化,Bead/Swage,布置方式,图,5-d,有限元法分析实例及应用,图,5-e,有限元法分析实例及应用,AIRBUS A380,缝翼前缘的优化,缝翼前缘,上存在,13,根翼肋,，,尺寸变化,从,3m x 2m x 0.12m,到,1m x 0.89m x 0.12m,图,5-f,有限元法分析实例及应用,拓扑优化(,Topology Optimization),定义封闭的设计空间,拓扑优化,设计材料布局,拓扑优化,几何提取,ICAD,实体的几何提取,尺寸和形状优化,几何提取,尺寸和形状优化,考虑屈曲和应力分析,图,5-g,有限元法分析实例及应用,图,5-h,有限元法分析实例及应用,Plate under torsion,Design variable generation,Final contour,Final Design,图,5-i,有限元法分析实例及应用,图,5-j,有限元法分析实例及应用,3.,典型有限元分析软件简介,(,1) SPA,系列软件,SPA,是由,SPA1,，,SPA2,，,，,SPA7,组成的,系列有限元软件,，,SPA1,SPA6,是,线性分析软件,，,SPA7,是,非线性分析软件,，功能更强。,SPA6,配置有,前置处理程序,MODDL,、,后置处理程序,POST,和,温度场分析程序,TAP6,。,单元库内,有多种,二维,和,三维单元类型,，可以建立,二维,和,三维结构,的,有限元计算模型,。,可用于,对承受静力、惯性载荷和动力载荷的,弹性结构体,进行,动,、,静力学分析,与,计算,。,(2) ASKA,ASKA,包括,60,万条语句、,64,种单元。用其可以对各种形状、材料（包括各向异性材料）的,大型工程结构,进行分析和计算。,ASKA,系统,含有的,程序模块,有：,弹性静力分析模块,ASKA,；,线性动力分析模块,ASKA,；,材料非线性分析模块,ASKA,；,线性屈曲分析模块,ASKA,；,温度场分析模块,ASKAT,；,交互式图形分析模块,INGA,；,前处理网格生成模块,FEMGEN,；,后处理图形显示模块,FEMVIEW,；,绘图模块,FEPS,。,(3) ANSYS,ANSYS,系统,是,ANSYS,有限公司,开发的产品，其,单元库,中有二维单元、轴对称固体、壳和弯曲板等,100,多种,单元类型,；,材料库,中有钢、铜、铝等,10,种材料数据，,具有,自动生成网格、自动编节点号、绘图等功能。,该系统,功能齐全，可以进行静态和动态、线性和非线性、均质与非均质分析。,AUTOFEA,是,ANSYS,公司,开发的与,AUTOCAD R12,和,AUTOCAD R13,集成化的,有限元分析系统,。,它可以在,AUTOCAD,平台上使用，用,ADST,AUTOLISP,作为开发工具，用户可以方便地进行,二次开发,。,(,4) I-DEAS,中的有限元分析模块,I-DEAS,是美国,SDRC,公司,开发的,CAD/CAM/CAE,系统软件,，其嵌套了,有限元分析模块,。,该模块,可以进行,图形有限元建模,，,梁结构的综合造型设计,，,结构静力学与动力学,、,热传导模拟分析,等。,I-DEAS,由,前,、,后置处理,、,数据输入,、,模型求解,、,优化设计,、,框架分析,等模块组成。,其中,框架分析模块,又包含,三种模块,：,(1) SAGS,模块,，用于分析静载荷下的,梁,、,壳结构,，可得到节点的,位移,、,转角,、,支反力,、,单元载荷,和,应力,、,应变等参数,；,(2) LAGS,模块,，可以对,连续弹性体的结构进行分析,，并可输出,整体位移,、整个结构所受的,载荷,和结构累积能量的,列表数据,；,(3) DAGS,模块,，可以计算,梁,、,壳类,的,固有频率,，无阻尼受迫,动态响应,以及进行,模态分析,。,本章作业,：,（,1,）,p215,：,习题,5-1,（,2,）,p216,：,习题,5-9,（,3,）,p216,：,习题,5-10,本章结束,Thank you,！,