结构力学重点大全

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,土木工程,结构力学,总复习,重点考点大全,第一部分 力法,一基本概念,1超静定结构的基本概念, 由静力平衡方面分析:,静定,结构：通过静力平衡条件能求出结构的全部反力及内力的结构。,超静定结构：通过静力平衡条件不能求出结构的全部反力及内力的结构(需增加变形协调条件) 。, 由几何组成方面分析:,静定结构：无多余约束的几何不变体。,超静定结构：具有多余约束的几何不变体。,2判定超静定次数的方法：去掉多余约束使之成为静定结构。,超静定次数=多余约束的个数,去掉多余联系的个数及方法（,掌握,）：, 去掉一根链杆支座或切开一根链杆 = 去掉一个约束。, 去掉一个铰支座或单铰 = 去掉二个约束。, 去掉一个固定端或切断连续杆 = 去掉三个约束。, 去掉一个定向支座 = 去掉二个约束。, 把刚性联接或固定端换成一个铰联接 = 去掉一个约束。,静定结构的基本形式,简支梁式,悬臂梁式,三铰刚架式,3力法典型方程的形式，力法方程的物理意义，各符号的含义。,一次超静定结构,两次超静定结构,力法方程的物理意义：,基本结构在荷载和多余约束力共同作用下，在多余约束处的变形和原结构在多余约束处的变形是相等的。,实质是多余约束处的变形协调条件（,位移条件,）,应明确以下几点,基本未知量,x,i,是广义多余力，每个方程是与多余约束相应的位移条件。, 力法的,基本结构,是去掉多余约束后的静定结构。, 力法方程中：,基本结构单独承受外荷载作用时，在,x,i,作用点，沿,x,i,方向的位移。(自由项）,与多余约束相应的原结构的已知位移，一般为零。,基本结构由于,x,j,=1,作用，在,x,i,作用点，沿,x,i,方向的位移。（柔度影响系数）,4在外荷载作用下，超静定梁和刚架的内力与各杆的,EI,的相对值有关，而与其绝对值无关。（,的分母中都有,EI，,计算未知力时，,EI,可约简）,5.求,实质上是计算静定结构的位移，对梁和刚架可采用,“,图乘法,”,计算。,图乘法计算公式,图自乘，恒为正。,图与,图图乘，有正、负、零的可能。,图与,图图乘，有正、负、零的可能。,应掌握图乘法的注意事项：,一个弯矩图的面积。,y,0,与取面积的图形形心对应的另一个弯矩图的纵标值。, 两个弯矩图中，至少有一个是直线图形。,y,0,取自直线图形。（,折线应分段,）, 必须是等截面的直杆。（,变截面应分段,）, 常用的图乘结果：,主系数,副系数,基线同侧图乘为正，反之为负。,自由项,基线同侧积为正，反之为负。, 记住几种常用图形的形心位置、面积计算公式。,两个梯形图乘:,曲线图形与直线图形图乘:,两个三角形图乘:,(,1/3高高底）,(,1/6高高底）,(,1/6杆长乘2倍同侧积加1倍异侧积）,举例：1.指出以下结构的超静定次数。,静定结构的内力计算，可不考虑变形条件。（,）,复铰,2.判断或选择,力法典型方程的物理意义是： （,）,A.,结构的平衡条件,B.,结点的平衡条件,C.,结构的变形协调条件,D.,结构的平衡条件及变形协调条件,力法只能用于线形变形体系,。,（,）,通过静力平衡条件能求出静定结构的全部反力及内力。,由力法方程的系数,可知，,EI,应为常数且不能均为无穷大。,只有线性变形体满足此条。,4次,6次,4次,C,组合结构举例：,杆,1、杆2、杆3、杆4、杆5均为只有轴力的二力杆，仅考虑轴向变形。,杆,6,为梁式杆件，应主要考虑弯曲变形。,1,2,3,4,5,6,A.,梁,B.,桁架,C.,横梁刚度为无限大的排架,D.,组合结构,在超静定结构计算中，一部份杆件考虑弯曲变形，另一部份杆件考虑轴向变形，,则此结构为,(,)。,D,3. 分别说出下面几种基本结构中，力法方程的具体意义及,的具体含义，,并用图形表示。,原结构,P,P,P,基本结构,基本结构,基本结构,A,B,C,P,基本结构,P,基本结构,基本结构,基本结构在竖向力,x,1,和荷载,P,共同作用下在,C,处的竖向线位移,原结构在,C,处的竖向线位移,P,基本结构在力偶,x,1,和荷载,P,共同作用下在,A,处的转角位移,原结构在,A,处的角位移,基本结构在一对力偶,x,1,和荷载,P,共同作用下在,B,处的相对角位移,原结构在,B,处的相对角位移,P,P,P,A,B,C,A,B,C,A,B,C,用力法计算并绘图示结构的,M,图,A,B,C,解,: 1,),取基本结构，确定基本未知量,3),绘,和,图,2) 列力法方程,4,) 求系数和自由项,5,) 把系数和自由项代入力法方程求未知量：,6,) 作结构的,M,图。,（将解得的基本未知量直接作用于,B,支座处，利用截面法计算即可）,B,A,C,基本结构,二.力法解超静定结构的计算步骤 （,以02级试题为例，25分,）,原结构,三.对称性的利用 （,重点掌握半刚架法,）,1。对称结构的概念（,几何尺寸、支座、刚度均对称,）,2EI,EI,L/2,L/2,EI,EI,L,L,EI,2EI,2EI,EI,L/2,L/2,2EI,EI,EI,2EI,2EI,对称结构,非对称结构,非对称结构,b.,偶数跨 取半边结构时，对称轴截面处视为固定端。,L/2,L/2,L/2,简化为,2。简化方法, 对称结构在对称荷载作用下（,特点：,M、N,图对称，,Q,图反对称,）,a.,奇数跨 取半边结构时，对称轴截面处视为定向支座。,M,0,M,0,M,0,简化为, 对称结构在反对称荷载作用下（,特点：,M、N,图为反对称，,Q,图为对称,）,M,0,M,0,a.,奇数跨 取半边结构时，对称轴截面处视为与杆件垂直的可动铰支座。,M,0,简化为,b.,偶数跨 取半边结构时，对称轴通过的杆件，弯曲刚度取一半。,L/2,L/2,简化为,L/2,EI,EI,EI,EI,EI/2, 对称结构上作用一般荷载时，可将荷载分解为正对称与反对称两种情况之后在于以简化。（,例如，作业1第四题：略,）,另：,简化时，应充分利用局部平衡的特殊性，以简化计算。,反对称荷载,P/2,P/2,（b）,P/2,简化,例如：,P,P/2,P/2,P/2,P/2,（a）,（b）,对称荷载,反对称荷载,（局部平衡，各杆弯矩为0）,（03级试题,）,（15分）用力法求图示结构,M,图,EI=,常数 ，,M,0,=45kN.m 。,M,0,M,0,2.5m,2.5,m,3m,3m,4m,M,0,M,P,图,45,X,1,M,0,基本结构,X,1,=1,M,1,图,2.5,M,0,2.5m,3m,简化的半结构,解：,1.,利用对称结构在反对称荷载作用下取左半跨结构进行计算，,取基本结构,列力法方程,3.,求,X,1,4.绘,M,图。,2.,绘,M,1,M,P,图，求系数和自由项，,20.45,24.55,20.45,24.55,M,图（,kN,.m）,A,B,C,D,往届试题举例:,A,B,C,D,请思考：若此题若改为对称荷载，结构又应该如何简化？,（20分）图,b,为图,a,的基本体系。已知,求结构的,M,图.,(,EI=,常数),x,1,x,1,P,x,2,说 明,也可不画单位弯矩图和荷载弯矩图，求出基本未知量后，直接利用,AC,段弯矩图是斜直线的特点由比例关系求出,A,截面的弯矩值：,P,A,B,C,图a,图b,P,解:,列力法方程,将已知条件代入方程求基本未知量,利用叠加法求图,（右侧受拉）,1,0.5,X,1,=1,1,X,2,=1,1,1.,5,P,（01级试题,）,（此方法简便）,用力法计算图示结构，并绘出,M,图。,EI=,常数。（20分）,4,) 求系数和自由项,3),绘,和,图,2) 列力法方程,解: 1) 选 取基本结构，确定基本未知量,x,1,、,x,2,。,10KN,4m,2m,2m,（01级试题,）（同作业1第三题3）,5,) 把系数代入方程，求基本未知量,6),利用叠加法 绘,M,图,6.42,2.14,2.14,5.71,M,图,(,kN,.m),如：,（右侧受拉）,10,20,10KN,4,4,4,10KN,基本结构,2,（15,分）图,b,为图,a,的基本体系，求,1P,。,E,=,常数。,X,1,30,kN,图b,（02级试题,）,20,10,M,P,图,2.,求系数,1P,(,提示：,变截面杆应分段图乘,）,解：,1.,绘,M,1,M,P,图,X,1,=1,1,1/3,M,1,图,5/9,或,5,5,4m,2m,3I,I,30,kN,图a,（15,分）,用力法计算,并绘,图示结构,M,图,。,EI=,常数。,A=3,I,/2,l,2,l,l,q,基本结构,q,M,1,图,4.求系数和自由项。,5.,求,X,1,6. 绘,M,图。,解；,1,. 选取基本结构，确定基本未知量,2.列出力法方程,3.绘,M,1,M,P,图。,M,P,图,M,图,A,B,C,（03级试题,）,第二部分 位移法,一基本概念,判断位移法基本未知量数目的方法：, 刚结点数目= 角位移数目 （,不含固定端,）, 用,直观法,或,换铰法,确定独立结点线位移的数目。,直观法：由两个不动点引出的两个不共线直杆的交点也为不动点。,换铰法：将结构所有的刚性联结均变为铰接后（,含固定端,），组成的可变铰接体系的自由度数目，即为独立线位移数目。,（,注意角位移、线位移图形符号与约束力、力矩图形符号的区别。注意角位移、线位移正、负方向的规定,。）,2. 位移法的基本结构,由若干个单个超静定杆件构成的组合体。,为使结构中各杆变为超静定直杆：,B,A,B,B,A,B,A,B,A,B,1. 位移法的基本未知量： 刚结点的角位移与独立的结点线位移(,1,、 ,2,、),结点的角位移符号：,结点的线位移符号：,（图示方向为正）,在结构上需施加附加约束:,(1)附加刚臂,(在刚结点处增设),符号,其作用是只限制结点的转动，不限制结点的移动。,(2)附加链杆,(在结点线位移方向增设)，,符号为 其作用是只限制结点的线位移,。,1. 梁和刚架一般均忽略杆件的轴向变形。 2. 位移法的基本结构一般应是固定形式。,3. 位移法既用于计算超静定结构，也能计算静定结构。,注意,1.,2.,举例：判断下列结构位移法的基本未知量的个数,n，,并画出基本结构图。,（作业2 第一题）,（铰结体系有一个自由度,可判断有1个独立线位移）,原结构无刚结点，故没有角位移。,用换铰法分析线位移：,（,一个独立线位移）,1,n=1,基本结构图,（6,个独立角位移和2个独立线位移）,1,2,3,4,5,6,7,8,n=6+2,8,基本结构图,（铰结体系有两个自由度,可判断有2个独立线位移）,原结构有,6,个刚结点，故有,6个,角位移。,用换铰法分析线位移：,3.,：,1,2,3,4,5,n=3+2,（3,个独立角位移和2个独立线位移）,基本结构图：,n=2+1,（2,个独立角位移和1个独立线位移）,1,2,3,基本结构图,可简化：,铰结体系有两个自由度,静定部分,举例（,03级试题,）,1,注意：,当横梁刚度为时,右图无角位移， 只有线位移。,解：取基本结构如下图所示：基本未知量,n=7,a,EA,b,EA,a,EA,EA,b,2EI,4EI,2EI,4EI,EI,EI,2EI,4EI,原结构,是独立结点角位移,至,是独立结点线位移,是附加刚臂,是附加链杆,统称附加约束,1.,试确定图示结构位移法的基本未知量和基本结构，链杆,a,b,需考虑轴向变形。（15分）,3. 位移法基本方程的形式及其物理意义。,一个结点位移,两个结点位移,位移法方程的物理意义：,基本结构在基本未知量,1 、,2,及荷载共同作用下，每个附加约束处的反力之和等于零。,实质是静力平衡条件,刚度系数，分别表示基本结构在结点位移,1,=1,单独作用(,2,=0),时,其附加约束1和附加约束2中产生的约束力(或力矩)。（,在,M,1,图之中,）,刚度系数，分别表示基本结构在结点位移,2,=1,单独作用(,1,=0),时,其附加约束1和附加约束2中产生的约束力(或力矩)。（,在,M,2,图之中,）,自由项，分别表示基本结构在荷载单独作用时,其附加约束1和附加约束2中产生的约束力(或力矩)。（,在,M,P,图之中,）,4. 附加刚臂处的约束力矩与附加链杆处的约束力的计算方法：,计算附加刚臂处的约束力矩，应取相应刚结点为隔离体，由,力矩平衡条件,求出；,计算附加链杆处的约束力，应用截面切取附加链杆所在的结构一部分为隔离体，由,截面剪力平衡条件,求出。,旧版本：,5.单跨梁的形常数,：(,是位移法绘 图的依据,是力矩分配法中计算转动刚度的依据,),B,B,2,）一端固定另一端铰支的单跨梁,A,A,B,3,）一端固定另一端定向支座的单跨梁,A,B,A,当,A,端产生角位移 时有：,B,A,当,A,端产生角位移 ,B,端,产生角位移 且,AB,杆的,B,端产生竖向位移 时有：,B,A,B,A,B,A,B,当,A,端产生角位移,且,AB,杆的,B,端产生竖向位移 时有：,1)两端固定的单跨梁：,(,图中虚线为变形曲线,）,6. 单跨梁的载常数(固端弯矩),：,可直接查表3-2 ,是位移法绘 图的依据.,(考试时一般给出),(,查表时,应注意灵活运用),附:,杆端力正负号的规定,:,梁端弯矩：,对杆端而言弯矩绕杆端顺时针方向为正,逆时针方向为负;,对结点或支座而言,则顺时针方向为负,逆时针方向为正,.,如图,梁端剪力：,使杆件有顺时针方向转的趋势为正,反之为负.(,与前面规定相同),B,A,B,A,B,M0,M0,杆端,结点或支座,杆端位移(结点位移)正负号的规定,角位移： 设顺时针方向为正,反之为负。,杆端相对线位移： 设使杆件沿顺时针方向转时为正,反之为负。,7.掌握对称性的利用（,半刚架法,）：同力法复习部分.（,例如：作业2第三题,）,8.会由已知的结点位移,求结构的,M,图（,利用转角位移方程,）,9.复习位移法与力法的比较表（,见教材第65页表3-3,）,A,B,q,A,B,p,A,B,q,A,B,p,（本题,15,分）用位移法计算图示对称刚架，并作,M,图。各杆,EI,常数。,A,B,C,D,E,F,i,i,i,基本结构,（半刚架）,求基本未知量,利用叠加法求图,3,作图，求系数和自由项。,利用对称性按半刚架法简化并取基本结构如上图，,解：,2.,列位移法方程,i,i,i,二.位移法解题步骤 (,以01级试题为例,),2,3.5,2,1,1,1,1,三.小结注意事项：,1.确定基本未知量时，不要忽视组合结点处的角位移。而杆件自由端和滑动支承端的线位移，铰结端的角位移不作为基本未知量。,2.在有侧移的刚架中，注意分清无侧移杆与有侧移杆，列截面剪力平衡条件时，所取截面应截断相应的有侧移杆。,3.计算固端弯矩时，注意杆件的铰结端或滑动端所在的方位，以判断固端弯矩的正负号。,4.列结点平衡条件时，注意杆端弯矩反作用与结点上，应以逆时针为正。结点上的力偶荷载及约束力矩则应以顺时针为正。,计算图示结构位移法典型方程式中系数,r,11,和自由项,R,p。,EI,常数。（18分）,p,Z,1,Z,2,D,A,C,B,2EI,2EI,EI,解：,.,确定各杆线刚度：设,则,D,A,C,B,（Z,1,）,图中，由结点,C,的力矩平衡条件可得到：,在,2.,作 图,在,图中，由结点,B,的力矩平衡条件可得到：,3,. 求系数,A,p,B,四.往届试题举例:,（01级试题）,用位移法作图示结构的,M,图。（20分）,1,q,4,求系数和自由项,取基本结构，确定基本未知量,1,解：,3,作图,2.,列位移法方程,基本结构,q,截面,1-1,A,q,B,截面2-2,0,A,B,C,D,A,B,C,D,5,求基本未知量,6,利用叠加法求,M,图,（,左侧受拉）,（,左侧受拉）,（02级试题）,用位移法计算图示结构，并作,M,图。,AB、BC,杆弯矩图不画。（20分）,10kN,A,B,C,EI,EI,EI,8m,8m,6m,基本结构,10kN,k,11,F,1P,0,0,0,10kN,10,10,10,10,10,10,M,图（,KN.m),A,B,解：1) 取基本结构，确定基本未知量,1,。,2),列位移法方程,3) 绘出 图,4) 计算系数和自由项,.,5,),代入方程求未知量,6) 绘,M,图。,k,11,（03级试题）,F,1P,10kN,第三部分 力矩分配法,一。基本概念,1. 应用范围：仅有结点角位移的刚架和连续梁。,2. 正负号规定：同位移法。,3. 基本参数：,转动刚度,S,：,使杆端发生单位转角时（其他位移分量为0）需在该端（近端）施加的杆端力矩。（其值与杆件的线刚度、远端支承情况有关）,B,A,B,A,=1,B,A,B,B,B,A,B,A,A,=1,B,0,A,B,A,B,A,=1,远端固定,远端铰支,远端定向（滑动）,远端自由,B,A,=1,传递系数,C,：,当杆端（近端）有转角时，远端弯矩与近端弯矩之比,远端固定：,远端铰支：,远端定向（滑动）：,C = 1/2,C = 0,C =1,力矩分配系数,其值为小于1的正数，而,ik,杆的转动刚度,汇交于,i,结点处各杆转动刚度之和,ik,杆分配系数,4。 结点的,不平衡力矩,及其“,反号分配,”的概念：,不平衡力矩,是指将刚结点视为固定端后产生的约束力矩。其等于汇交于该结点的所有杆端的固端弯矩之和。而它在实际结构中是不存在的。,为了消除这个不平衡力矩，需在该结点处再施加一个与它等值反向的外力偶并按分配系数将其分配到各杆端，即“,反号分配,”。,1. 判断,（01级试题）：,用力矩分配法计算结构时，汇交于每一个结点各杆端力矩分配系数总和为1，则表明力矩分配系数的计算绝对无错误 。,(,),2.选择,（01级试题）：,图示结构,E=,常数,，正确的杆端弯矩（顺时针为正）是,(,）。,A.,B.,C.,D.,A,B,C,D,I,l,I,2,l,2I,l,M,分析：,计算,除满足,外，还必须保证转动刚度计算正确。,概念举例:,X,B,C,D,A,B,I,I,2I,8KN,6m,3m,3m,3m,A,结点,解： 1,.,求各杆的转动刚度，设,EI=1,3. 计算,固端弯矩,2.,计算,分配系数：,二. 力矩分配法的计算步骤：,1.单结点力矩分配 (,一次分配、传递即可结束运算,）,举例,：（02级试题）,(15,分）用力矩分配法计算并做出图示结构,M,图。,EI=,常数,A,B,P,8KN,A,B,9,kN,.m,C,D,B,4.5,1.5,3,1.5,12,A,弯矩图,（,kN,.m）,-4.5,-1.5,-3,-1.5,1.5,0,分配传递,1/2,1/6,1/,3,4.5,-1.5,1.5,-3,-1.5,最后弯矩,0,A,A,D,B,C,计算框图：,8,kN,9,0,0,0,0,0,（,01级试题,）,用力矩分配法求图（,给出分配系数和固端弯矩值,）。（10分）,1,分配与传递（见框图）,2,叠加计算最后杆端弯矩，,2.多结点力矩分配（,多轮分配与传递,一般23轮）（举例说明）,图（,kN,.m),30.97,A,B C D E,61.94,56.13,14.32,100,90,40,19.1,结点,结点,3. 绘图。,0.,25,0.75 0.5,0.5,-60,60,-26.67,26,.67,50,100,-100,-19.17 -38.34 -38.34 0,-1.77,-,3.54 -10.62,-,5.31,1.33 2.66,2.66,0,-0.17 -0.33 -1.0,-61.94 56.13 -56.13,-,14.32,14,.32,100,-100,分配系数,最后弯矩,固端弯矩,分,配,传,递,A EI B,2EI C 2EI,D,E,q=20kN/m,100,kN,.m,6m,4m,3m,2m,100,kN,.m,三. 注意事项,1.力矩分配应从不平衡力矩最大的结点开始（递减快），分配时一定要反号，传递不变号。,2. 刚结点处,最后一轮分配时,只向支座传递,不再向远端的刚结点传递。(否则结点处不平衡),3. 计算精确度：一般进行23轮即可。,4. 结点处的已知外力偶以顺时针为正，其处理方法有：,方法,求出固点反力矩后与杆端的固端弯矩相加，再反号分配到各杆端。（注意：固点反力矩与外力偶方向相反）(,见教材74页例4-1,),方法,外力偶按原方向（不变号）单独进行第一轮分配，分配结果与该结点处的其它分配弯矩相加，向远端传递即可。(,见作业4第一题2答案,),5. 连续梁和刚架中带伸臂端杆件的处理方法。,4,kN,8,kNm,4,KNm,4,kN,A,C,2m,B,D,E,8,kN,.m,A,4,kN,B,C,D,4,kN,8,kNm,4,kN,A,B,C,D,E,(,01级试题,),用力矩分配法计算图示结构,并作,M,图,.。,EI=,常数。（12分）,3,l,/4,A,B,P,C,B,A,P,解：.计算分配系数：,固端弯矩,分配与传递,最后弯矩，绘图,结点：,A,分配系数,0,.5,0,.5,最后弯矩,固端弯矩,分,配,传,递,B,C,0,P,0,图,用力矩分配法计算图示结构,并作,M,图。,EI=,常数。（10分）,C,D,45,kN,.m,解：,1. 简化悬臂端如图（,a）,所示，视,BC,段为左端固定右端铰支。,3计算,固端弯矩,D,q=10KN/M,3m,3m,3m,A,EI,EI,EI,B,C,2.,计算分配系数：设,结点,4力矩分配与传递,5计算最后弯矩，绘图,（见计算框图）,45,kN,.m,30,kN,图(,a),0.25,0.75,11,.25,30,15,45,-45,-10.31,-30.94,10.31,0,分配与传递,固端弯矩,分配系数,（-1）,0,25.31,19.69,-19.69,45,-45,最后弯矩,不平衡力矩,45,11.,25,11.,25,11.,25,19.69,25.31,图(,kN,.m),(,02级试题,),(15,分）用力矩分配法计算图示结构,M,图。已知,C,A,B,8,0,KN,6,m,4,m,4,m,3,0,KN,A,B,l,/2,P,l,/2,A,B,l,q,计算固端弯矩：,分配与传递,最后弯矩,0.375,0.625,146.25,-,90,90,-240,-80,-61,.875,-146.25,-173.75,28.125,56.25,93.75,-93.75,固端弯矩,分配系数,(,03级试题,),C,135,B,A,173.75,173.75,61.875,146.25,160,弯矩图(,kN,.m),C,A,B,P= 40kN,4m,4m,4m,D,E,由图示，可知,BE,杆,B,端的固端弯矩值为(-160),kN,.m (,外侧受拉,),分配与传递,固端弯矩,-35.56,80,-,160,A,B,E,分配系数,最后弯矩,A,C,1/9,4/9,4/9,1,0,0,0,0,0,0,0,D,160,0,0,-35.56,-17.78,-8.89,8.89,-17.78,17.78,0,8.89,-3.95,-3.95,-1.98,-0.99,0.99,0,0,9.88,-9.88,-19.76,-39.51,49.38,160,-160,0,19.76,C,A,B,D,E,P= 40kN,160,160,9.88,9.88,39.51,49.38,M,图,(,kN,.m),(15,分）用力矩分配法计算图示结构,M,图。（计算二轮）,已知分配系数,(03级试题),请思考：此题若简化,B,结点处为铰支端，分配系数与固端弯矩有什么变化？,第三部分结束,第四部分 结构的动力计算,一.基本概念及计算理论、公式,1,.,弹性体系的振动自由度(动力自由度)的确定,自由度,:结构运动时,确定结构上全部质点位置的独立坐标数。,确定振动自由度应考虑弹性变形(或支座具有弹性变形),不能将结构视为刚片系,这与结构几何组成分析中的自由度概念有区别。其数目与超静定次数无关，和质点的数目也无一定的关系。,确定的方法： “,直观法,”和“,附加支杆法,”。,固定体系中全部质点的位置所需附加支杆的最低数目= 体系的振动自由度,（,应注意：忽略杆件的轴向变形，认为弯曲变形是微小的,）,1,个自由度,m,2,个自由度,m,m,m,m,2个自由度,2个自由度,EI=,弹簧,m,1,m,2,a,a,a,m,1,m,2,m,3,2个自由度,1,个自由度,例：（,01级试题,）,判断：图示体系有个质点，其动力自由度为。 （ ）,（设忽略直杆轴向变形影响）,EI,EA=,自由度为3,或,（,02级试题,）,判断：,设直杆的轴向变形不计，图示体系的动力自由度为,4,。,（ ）,m,1,m,2,m,3,判断：在动力计算中，以下两图所示结构的动力自由度相同（各杆均为无重弹性杆）。 （,）,m,1,m,2,m,4,m,1,m,2,m,3,自由度为2,自由度为4,X,单自由度体系无阻尼自由振动,刚度系数,柔度系数,动位移,（简谐周期振动）,（724）, 任一时刻质点的位移（微分方程的解）,圆频率（自振频率）;,A ,自由,振动时最大的位移，称为“振幅”；,初相角, 2,秒内质点自由振动的次数。, 自振频率,（单位：弧度/秒）1/,s,(沿,振动方向,作用一数值为,W,的力时，质点的静位移）,W,st,st,的图示,质点完成一次自由振动所需要的时间。,自振周期,T ,（单位：秒）,s,（质点的重量）,有初始干扰，起振后外力撤消,（刚度法）,（柔度法）, 运动微分方程：,分析, k, T,之间,的关系:,1,）,（,或,T）,只与,刚度系数,k,11,，,柔度系数,11,和质量,m,有关，而与初干扰力,P(t),及位移,y(t),无关。,2）,当,k,11,不变时，,m,越大，则,T,越大（,小）。即质量大，周期越长。,3）,当,m,不变时，,k,11,越大（,11,越小），则,T,越小（,大）,。即刚度大（柔度小），周期越短。,注意：,（,或,T）,是结构固有的动力特征，只与质量分布及刚度（或柔度）有关，而与动荷载及初始干扰无关。从表达式中能分析出,（T）,与,k（）,之关系。,（,01级试题,）,判断：外界干扰力只影响振幅，不影响自振频率 （ ）,自振频率是体系的动力特征与外干扰力无关。,举例：,B,m,A,l,Psint,与干扰力无关。,m,和,l,不变时，若,EI,增大，刚度,k,11,也增大，由,计算式可知,也增大。,C,选择：在图示结构中，若要使其自振频率,增大，可以,(,),A.,增大,P,B.,增大,m,C.,增大,EI D.,增大,（,02级试题,）,l,（,01级试题,）,选择： 图示单自由度动力体系自振周期的关系为：,（ ）,（,a)=(b),B. (a)=(c),C. (b)=(c),D.,都不等,m,EI,（a）,2m,2EI,（b）,2m,2EI,（c）,由,分析：,P=1,1/4,3单自由度体系的无阻尼强迫振动（,重点,）, 运动微分方程：,刚度法,柔度法,或,（,干扰力方向与质点振动方向共线）,（,干扰力方向与质点振动方向不共线）, 简谐荷载,作用下，平稳阶段的振幅（即最大动位移）,（,P,与质点振动方向共线时）,（,P,与质点振动方向不共线时）,动荷载幅值,P,作为静力作用，使质体沿振动方向产生的静位移。,动力系数, 最大动位移与荷载幅值产生的静位移之比。,（无阻尼时）,计算式：,干扰外力不撤消,干扰力的频率,体系的自振频率,位移是双向的, 简谐荷载,作用下，动内力幅值的计算,方法2. 动荷载与惯性力共线时的比例计算方法（较简便）,动力系数。,动荷载幅值；,单位力沿质体振动方向作用时的弯矩；,方法1. 一般方法（较繁,略）,但对于某些超静定刚架可直接利用内力,位移关系式求内力幅值。,当水平位移等于1时柱端的内力值，然后将其扩大,A,倍，便得到内力幅值。,若已知在动荷载,作用下，横梁位移幅值为,A,，,则只要算出,(,可参考作业4第四题及课上有关补充例题),(补充),(,可参考作业4第三题及教材书中有关例题),4. 阻尼对振动的影响, 考虑阻尼时,体系的自振频率为,阻尼比,阻尼系数,临界阻尼系数,对一般结构，, 0.2，,可取,小阻尼时（, 1），,质体不产生振动。,= 1 (c=2m),时，,称为“临界阻尼状态”。, 利用有阻尼振动时振幅衰减的特征，可以用实验方法测定体系的阻尼比:,其计算公式：, 经过,k,个周期后，振幅的对数递减量。,其中：,和,表示两个相隔,k,个周期的振幅；,（补充）,（计算例题参考作业4第五题）, 在强迫振动中，阻尼起着减小动力系数的作用。简谐荷载作用下，有阻尼振动的动力系数为,在共振区内，即当,时，阻尼对降低动力系数的作用最显著。,当,时，取,在非振区内，忽略阻尼的影响，偏安全。,单自由度体系有阻尼的自由振动的动力平衡方程,单自由度体系有阻尼的强迫振动动力平衡方程,一般了解,5.,两个自由度体系的自由振动,n,个自由度体系应具有,n,个自振频率（或,n,个自振周期），有,n,个主振型。,主振型：当体系（即所有质点）按某一自振频率作自由振动时，任一时刻各,质点位移之间的比值保持不变，这种特殊的振动形式称为主振型。, 两个自由度体系自振频率的计算公式 （,掌握柔度法,）,= 0,称为“频率参数”,频率方程,上式中,与力法方程中的系数的含义相同。,对于静定结构，采用静力法绘出,图、,图，用图乘法计算出。,第一主振型自振周期，亦称“基本周期”。,第一主振型自振频率，亦称,“基本频率”，简称“基频”。,主振型的计算公式 (,只能求两个质点振幅的比值，不能计算出确切的值,),第一主振型（,结构按,1,振动）,第二主振型（,结构按,2,振动）,主振型正交性验算公式：,当,1, ,2,时 恒有, 量纲复习（,附加,）：,国际单位制中 质量用,“,千克,（,kq,）”,或“吨（,t）”,力用 “牛顿（,N）”,或“千牛顿（,kN,）”,力矩,用 “,Nm”“,kN,m”,重力加速度,抗弯刚度,EI,用“,kN,m,2,”,或“,Ncm,2,”,或“,Nmm,2,”,压强，弹性模量用“帕（,Pa）”,分析：,P=1,P=1,往届概念试题举例：,判断题：对为,O,，,错为,X,。,1.,对于弱阻尼情况，阻尼越大，结构的振动频率越小。 (,),2.,不计杆件质量和阻尼影响，图示体系（,EI=,常数）的运动方程为：,其中,(,),（01级试题）,3.,动力位移总是要比静力位移大些。,（,）,O,O,X,不一定大于,1。,分析：在动力位移表达式,中,不一定大于静力位移,故动力位移,。,（01级试题）,1.,单自由度体系运动方程为 ,其中未考虑质体重力,这是因为：,(,C,),A.,重力在弹性力内考虑了。,B.,重力与其它力相比,可略去不计。,P=1,l,F,分析：,（02、03级试题）,2.图示体系不计阻尼的稳态最大动位移,y,max,=4P,l,3,/,9EI,其最大动弯矩为：(,),A.7P,l/,3,B.4P,l/,3,C.,P,l,D. P,l/,3,Psin,t,m,EI,l,选择题：,C.,以重力作用时的静平衡位置为,y,座标零点。,D.,重力是静力,不在动平衡方程中考虑。,3. 单自由度体系如图，若,为动力系数,，,M,st,为荷载幅值作为静力所产生的静力弯矩，则弯矩幅值可表示为,M =,M,st,的体系为,(,),A.,m,B.,m,C.,m,D.,m,计算式,M =,M,st,的适用条件是：,动力荷载的方向与质点振动方向共线。,B,B,二.计算题类型分析：, 求单自由度体系的自振频率（或周期）,方法：首先根据结构的特点求出与质体振动方向相应的柔度系数或刚度系数，然后用公式计算。,（,可参考教材第157页例7.3和例7.4）,刚度系数,k,11,(,可用位移法求)；,柔度系数,11,(,可用力法去求）.,2),EI=,EI,EI,L,h,m,k,11,=1,=1,如：,EI,L,L/2,1),m,P=1,11,解,: 因为梁的刚度为无穷大，所以当质点处作用单位力时，弹簧支座的位移,与质点的位移,11,有比例关系：,有,所以,有,由,由此可得,得,（,补充,）：要会计算具有有弹簧支座的单自由度体系的自振频率。,求图示体系的自振频率。已知弹簧刚度为,C，,不计梁的自重。（15分）,EI =,c,m,A,B,例1,（02级试题）：,p=1,变形图：,将,代入上式，,选择：在图示,体系的,自振频率,为：,（,）,A.,B.,C.,D.,m,l,EI,P=1,l,例2（,03级试题,）：,分析：,EI,悬臂杆件的刚度系数,原体系的刚度系数,弹簧的刚度系数,=1,B, 计算单自由度体系在简谐荷载作用下，强迫运动平稳阶段的最大动位移（振幅）和最大动内力,M(t),max,、 Q(t),max,。, 计算自振频率,例1(,03级试题,),求图示体系质点处最大动位移和最大动弯矩（,y,max,M,max,),E=210,4,kN/cm,2,，I=4800cm,4,=20s,-1, W=20kN ，P=5kN （25,分）,4m,2m,EI,W,EI=,210,4,kN,/cm,2,4800cm,4,=9.610,3,kN,.m,2,2.计算动力系数,3.计算质点处最大动位移,A,4.计算最大动弯矩,(分析:此题属于静定结构且振动荷载与惯性力共线，可采用简化的比例算法),M,1,2,P=1,解: 1.,计算体系自振频率,绘,M,1,图，求柔度系数。,此题与作业4第三题类同，复习时注意区别最大位移（或弯矩）与最大动位移（或动弯矩）的区别,试求图示体系稳态阶段动力弯矩幅值图。,=0.5,(,为自振频率)，不计阻尼。（20分）,例2(,01级试题,),3),计算振幅,A,4,),计算柱端弯矩幅值,单位位移作用下柱端弯矩,解：,1,),绘 图，,计算,2),计算动力系数,已知,分析: 此题同作业4第四题,属于“,超静定刚架利用内力与位移的比例关系计算动弯矩幅值,”类型.,注意: 若此类型题给出的已知条件是动荷载的频率,，,而不是频率比，则需先计算自振频率,。,每分钟转数,EI,EI,EI=,m,Psin(,t),l,l,动弯矩幅值图,=1, 计算两个自由度体系的自振频率和主振型,（两种类型：1. 单质点双自由度 2. 双质点双自由度),例1(,作业4第二题3,),求：图示体系自振频率和主振型,解： 绘,图，求, 求自振频率,(,水平振动,),(,竖向振动,), 求主振型,第一主振型,第二主振型,（单质点双自由度）,例2（,作业4第二题1,）.,求图示体系的自振周期和主振型，并绘出主振型的形状。,解：.绘,图，求,l,l/,2,m,l/,2,. 求自振频率,本体系,（单质点双自由度）,.求主振型,10.4,10.4,1,-1,验算主振型的正交性,第一主振型,第二主振型,满足验算公式 。,本题应注意的问题：, 由于结构只有单个质点，容易误认为是单自由度体系。也容易误认为体系按竖向和水平方向振动，从而由竖向柔度 求出竖向振动频率，由水平柔度 求出水平振动频率。这是不正确的。, 虽然两个主振型的振动方向既不是水平的，也不是竖向的，但可以验证两个方向是互相垂直的。（即具有正交性）,例2,（,01级试题,）（与教材173页例7.9雷同).,求图示梁的自振频率及主振型，并画出主振型图形。杆件分布质量不计。(25分),P=1,a,a,P=1,解：作图,求柔度系数,2,求,3求主振型,第一主振型,第二主振型,m,m,a,a,a,(,EI=,常数),1,2,例2,（,02、03级试题,）（与作业4第二题2雷同).,求图示结构的自振频率,EI=9600,10,4,kN.cm,2,，,m,=2kg 。（25,分）,解；,1.绘,M,1,，M,2,图,求系数柔度,2,) 求自振频率,（采用频率参数）,4m,2,1,m,m,4m,P=1,2,l,l,M,1,P=1,l,l,=4m,M,2,且 则有,3,) 求主振型,1,3.12,第一主振型,1,1,0.32,第二主振型,4) 正交性验算,满足,第五部分 影 响 线,P=1,L,x,一.基本概念,1,.,影响线定义：,当方向不变的单位集中荷载沿结构移动时，表示结构某指定处的某一量值（反力，弯矩，剪力）变化规律的图形,。,2.,影响线与弯矩图的区别,=1(,移动,),C,的影响线,y,C,y,D,作用在,C,处时的图,(,固定,),y,C,y,D,y,C,：,P=1,移至,C,截面时，,C,截面的弯矩值；,y,D,：,P=1,移至,D,截面时，,C,截面的弯矩值。,y,C,：,P,在,C,截面时，,C,截面的弯矩值；,y,D,：,P,在,C,截面时，,D,截面的弯矩值。,3.静定梁的影响线是直线或折线图形，可求出具体的纵标值；,而超静定梁的影响线是曲线，只能用机动法绘出其影响线的轮廓。,4.临界荷载,P,k,（,P,cr,）,的概念:,指能使量值,S,发生极值的荷载。（有时临界荷载不止一个）,二. 熟记简支梁影响线的画法(,最基本的,),B,=1(,移动,),A,a,b,l,1,1,1,1,-,R,A,影响线,R,B,影响线,M,C,影响线,Q,C,影响线,注意:1.影响线中正、负号及纵标值的标注;,2.掌握右面四种图的特点。,三. 会用机动法绘制静定梁影响线（,可参考教材例题5.2,),1. 机动法的原理: 虚位移原理.,2.机动法绘制静定结构某量值,X,影响线的步骤:,去掉与所求量值,X,相应的约束,，以,X,代之，使体系转为具有一个自由度的机构；,使所得的机构沿,X,的正方向发生相应单位虚位移（,X,=1）；,由此得到的刚体虚位移图(,P,图）即为所求的影响线，,若位移图在基线上侧，则影响线的竖标取正号，反之取负号。,(要理解“,相应,”的含义),举例,：,用机动法作图示结构中,R,A,和,Q,C,的影响线,A,B,8m,P=1,D,6m,C,2m,A,B,D,R,A,X,=1,C,1,1/4,R,A,的影响线,D,X,=1,A,B,Q,C,Q,C,A,C,D,Q,C,的影响线,1,几何不变部分,1判断：图示结构,影响线的段，纵标不为 （ ）,A,P=1,B,C,E,D,A,B,C,E,D,影响线的形状,往届试题举例:,A,M,C,X,=1,2. 选择：根据影响线的定义,图示悬臂梁,C,截面的弯矩影响线在,C,点的纵标为：( ),2m,3m,P=1,A,C,A. 0 B. -3m,C.-2m D.-1m,几何不变部分,分析：,虚位移图,A,C,A,3m,M,C,影响线,-,(01级试题),（02级试题,）判断：用机动法做得图,a,所示结构,R,B,影响线如 图,b,。 （,）,B,图a,B,1,R,B,图b,B,1,R,B,正确图,（03级试题）,选择 ；,机动法作静定梁影响线应用原理为；,（,）,A.,变形条件,B.,平衡条件,C.,虚功原理,D.,叠加原理,C,X,四.掌握荷载的不利布置，临界荷载的判别及内力极大、极小值的计算,1. 均布断续活荷,q,的不利布置,2. 在行列移动荷载作用下，利用影响线求某截面最大、最小弯矩值（或剪力值）,步骤： 绘出所求量值的影响线；, 判断临界荷载，找出最不利荷载位置,直观判断与试算或用判别式（,仅限三角形影响线,）相结合, 利用,计算该荷载位置下的该量值。,设,P,K,为临界荷载，当其位于影响线顶点时，应满足下式：,附：三角形影响线临界荷载的判别式,x,x,（求极大值）,q,布满影响线正号部分，有最大值,S,max,：,q,布满影响线负号部分，有最小值,S,min,。,q,03级试题:,判断：1.图示简支梁在移动荷载作用下，使,C,截面产生弯矩最大值的临界荷载是： （,）,A . 7KN,B. 3KN,C. 10KN,D. 5KN,C,6m,6m,7KN,3KN,5KN,4m,4m,5m,10KN,1,. 将,10,KN,置于影响线的顶点,显然,3,1,0.5,5KN,10KN,3KN,4m,4m,5m,7KN,4m,4m,5m,5KN,10KN,3KN,7KN,3,1,0.5,绘出,M,C,的影响线。,初步判定,7,KN、 5KN,不是临界荷载。,2. 将,3,KN,置于影响线的顶点,所以,C. 10KN,是临界荷载。,M,C,的影响线,M,C,的影响线,C,2.,图示,梁在所示移动荷载作用下截面,K,的最大弯矩值是,15,kN.m,（ ）,k,12m,4m,5KN,4m,4m,5KN,5KN,M,Kmax,=53+52+51=30kN.m,k,2,1,5KN,4m,4m,5KN,5KN,3,五. 利用影响线，求固定荷载下，某量值,S,的大小。,影响线,1. 求 的值,1,2/3,1/3,4/3,+,分析：应分别绘出所求量值的影响线（,多跨静定梁的影响线宜采用机动法绘制,），,然后计算出有关纵标值，再由公式,计算各量值。,举例,（作业3第四题）:,40,kN,40,kN,2m,2m,2m,2m,4m,20,kN,/m,A,B,C,D,E,F,利用影响线求图示结构中的,之值。,集中荷载,与集中荷载对应的影响线中的纵标值,均布荷载,均布荷载覆盖下的影响线的面积,40,kN,40,kN,20,kN,/m,解：,2.,求 的值,（,下侧受拉）,3.,求 的值,影响线,4/3,2/3,2/3,-,+,影响线,1/3,2/3,1,1/3,-,-,40,kN,40,kN,20,kN,/m,40,kN,40,kN,20,kN,/m,习题5,. 9,试求图示简支梁在吊车荷载作用下,C,截面的最大弯矩、最大正剪力和最大负剪力。,A,B,C,3m,9m,5.,2,5,m,1.,4,5,m,4.,.8,m,P,1,P,1,=,P,2,=,478.5,kN,P,3,=,P,4,=,324.5,kN,解：1.计算,C,截面的最大弯矩,先作,M,C,影响线如图所示。,再判别临界荷载:,初步判断,P,1,和,P,4,不是临界荷载。,再利用临界荷载判别式：, 将,P,2,置于影响线顶点：, 将,P,3,置于影响线顶点：,9/4,m,M,C,影响线,5.,2,5,m,1.,4,5,m,4.,.8,m,P,1,P,2,P,3,P,4,P,2,为一临界荷载。,9/4,m,M,C,影响线,5.,2,5,m,1.,4,5,m,4.,.8,m,P,1,P,2,P,3,P,4,P,3,不是临界荷载。,P,2,P,3,P,4,（补充作业）,9/4,m,M,C,影响线,5.,2,5,m,1.,4,5,m,4.,.,8,m,P,1,P,2,P,3,P,4,y,3,y,4,y,2,当,P,2,作用于,C,点时：,2. 计算,C,截面的最大剪力 (,采用试算法,）,临界荷载判别式在这里不适用,0.31,0.19,5.,2,5,m,1.,4,5,m,4.,.8,m,P,1,P,2,P,3,P,4,1/4,3/4,Q,C,影响线,将,P,1,移至,C,截面处：,Q,Cmax,最不利荷载位置,1/4,3/4,0.63,0.23,5.,2,5,m,1.,4,5,m,4.,.8,m,P,1,P,2,P,3,P,4,将,P,2,移至,C,截面处：,3/4,5.,2,5,m,1.,4,5,m,4.,.8,m,P,1,P,2,P,3,P,4,1/4,将,P,3,移至,C,截面处：,0.35,0.13,Q,Cmin,最不利荷载位置,1/4,3/4,5.,2,5,m,1.,4,5,m,4.,.8,m,P,1,P,2,P,3,P,4,将,P,4,移至,C,截面处：,结论：,P,2,移至,C,截面处时为,Q,Cmax,最不利荷载位置,P,4,移至,C,截面处时为,Q,Cmax,最不利荷载位置,h,补充1 梁的极限荷载,1.,定义: 整个梁截面达到塑性流动状态时所能承受的最大弯矩值，称为梁截面,的极限弯矩。,M,u,M,u,弹性状态,弹塑状态,塑性状态,中性轴,塑性状态,y,y,b,A,2,A,1,一. 极限弯矩,M,u,极限状态时中性轴将截面面积分成两个相等的部分,2. 极限弯矩（,M,u,）,的计算方法,y,2,y,1,横截面,极限状态应力,A,1,