振动和波(北邮版12级年)

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,振动和波,制作,:,1,一,.,机械振动：,物体在一定位置（平衡位置）附近作重复往返运动称为机械振动。,物体受到回复力作用以及物体具有惯性。,二,.,机械振动的原因：,第一节 振动的一般概念,振动,2,第二节 简谐振动,一、简谐振动的定义式,(,或,:,简谐振动的运动学方程,),X(t),为质点离开平衡位置的位移；物体所受合外力为零的位置定为平衡位置。,3,1.,振幅,A(,米）,：,表示质点离开平衡位置的最大位移的绝对值。,A.,振动周期,T,（,秒）,：,完成一次全振动所需时间。,二,.,描述简谐振动的三个重要物理量,2.,振动的周期,频率,圆频率,4,B.,频率 （赫兹）,：,单位时间内完成全振动的次数。,C.,圆频率 （弧度,/,秒）。,A.,位相,：,它是反映质点在,t,时刻振动状态的物理量。（,相同的振动状态对应相位差为 的整数倍。）,B.,初位相,：,t,0,时刻的位相。,3.,位相和初位相,5,三、简谐振动的速度和加速度,1.,速度,速度的位相比位移超前,6,2.,加速度,简谐振动的运动学特征,加速度的位相比位移超前或落后,(,或与位移反相,),7,0,x, v, a,t,x,a,v,例,8,四、简谐振动的矢量图表示法（,旋转矢量法,）,逆时针旋转为正角。,顺时针旋转为负角。,x,O,9,旋转矢量的端点在,X,轴上的投影点的坐标为,1,、,2,象限,v0,O,10,X,O,X,O,X,O,反相,同相,振动,2,比振动,1,超前,11,O,t(s),X(m),0.04,-0.04,1,2,例,1,：一简谐振动曲线如图所示，则以余弦函数表示的振动方程为什么样？,12,例,2,：一物体沿,X,轴作简谐振动，振幅为0.12,m,，,周期为2,s,。,当,t=0,时位移为0.06,m,，,且向,X,轴正方向运动。求：（1）初相，(2)在,x=,0.06m,处，且向,X,轴负方向运动时，物体的速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的时间。,解题思路：,作旋转矢量图,X,O,(1),由图可知：,13,1,X(m),t(s),2,o,例,3,： 求振动方程,解题思路：,作旋转矢量图,O,X,t=0,t=1s,14,例,4.,一质点在,x,轴上作简谐振动，振辐,A,=4 cm,，周期,T,= 2 s,，其平衡位置取作坐标原点若,t,= 0,时刻质点第一次通过,x,= -2 cm,处，且向,x,轴负方向运动，则质点第二次通过,x,= -2 cm,处的时刻为,(A) 1 s,(B) (2/3) s,(C) (4/3) s,(D) 2 s,B,15,第三节 无阻尼自由振动、谐振子,一、弹簧振子：,f= -,k,x,ma=,故弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐振动。,f=-kx,为谐振动的动力学特征,仍做简谐振动,;,圆频率仍为,16,力学知识补充：,17,结论,：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。,角频率,振动的周期分别为：,当 时,1.,单摆,二、微振动的简谐近似,摆球对,C,点的力矩,18,复摆,：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体,结论,：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。,当 时,19,三,.,已知简谐振动的初始条件,(x,0,、,v,0,),，,求,A,和,（,最好,求出,A,后，再作旋转矢量图，由,x,0,、,v,0,画出旋转矢量的位置而求出初位相）,20,第四节、简谐振动的能量,动能,:,势能,:,21,简谐振动能量,:,E,p,o,t,E,E,k,E=(1/2)kA,2,x,t,o,22,讨论,1,：由初始条件确定常数,A,2,、 若弹簧振子竖直悬挂或在光滑斜面上振动，其,振动频率仍保持不变；只要选择合适的重力势能零点，其各能量表达式也保持不变，此时势能应理解为重力势能与弹性势能的和。,23,第五节 同方向的简谐振动的合成,一、,同方向、同频率的简谐振动的合成,结论,:,同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是同频率的简谐振动。,X,24,旋转矢量法,方法,X,25,重要结论：,振动加强,X,若两旋转矢量重合,则,:,=,1,= ,2,26,振动减弱,X,若两旋转矢量反向,则,与,振幅大的分振动的初相相同,27,二、,同方向、不同频率的简谐振动的合成,利用三角函数关系式：,合成振动表达式,：,x,x,t,x,2,t,x,1,t,两个同方向简谐振动在合成时，由于频率的微小差别而造成的合振动时而加强，时而减弱的现象叫,拍。,28,X,单位时间内振动加强或减弱的次数叫,拍频,拍现象应用,:,给钢琴调音,;,结合多普勒效应测车速,29,例,1,：两个谐振动分别为 ，,、当 时，合振幅最大；当 时，合振幅最小，且写出它们的合振动方程。,解题思路：,1,、合振幅最大，两分振动应同相，故,2,、合振幅最小，两分振动应反相，故,X,30,思考题,1,:,一质点作简谐振动,其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，求其初位相。,o,V(m/s),t(s),v,m,解题思路：,利用速度的旋转矢量图；速度的位相比位移超前,v,结果：,31,x(cm),思考题,2,:,图中（,1,）和（,2,）表示两个同方向，同频率的简谐振动的振动曲线。则（,1,）和（,2,）合成振动的振幅为,，初位相为,，周期为,；试在图中画出合成振动的振动曲线。,t(s),-0.5,-1,2,1,0,(1),(2),5,32,波 动 学 基 础,2,、,机械波产生的条件：弹性介质和波源。,第一节 机械波的形成和传播,一、机械波的产生,1,、机械波：振动状态在弹性面媒质中的传播过程。,33,波动（或行波,),是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。,后面质点的振动规律与前面质点的振动规律相同，只是位相上有一个落后。,二、,纵波和横波：,横波：,振动方向与传播方向垂直,如电磁波,纵波,:,振动方向与传播方向相同，如声波,34,三、,波线、波面、波前,波（射）线：,表示波的传播方向的射线称,之为波（射）线,。,波面（或相面）,:,某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称为波面。,波前,(,波振面）：,某时刻处在最前面的波面。,35,波面,波线,在各向同性均匀介质中，波线与波面垂直,球面波,波振面,平面波,波线,波面,波振面,36,1,2,3,4,5,6,0,1,、波长,：,同一波线上振动状态完全相同的两个相邻点之间的距离（对应的位相差为 ）,描述波动的几个物理量,(,波长、波的传播速度、波的周期和频率,),37,3,、波速 ：,在波动过程中，某一振动状态在单位时间内传播的距离称为波速 ，也称之相速。,2,、波的周期,T,：,波前进一个波长的距离所需要的时间（等于振动的周期，由波源决定）,机械波的传播速度完全取决于介质,。,（决于介质的弹性性质和惯性性质。即介质的弹性模量和介质的密度。）,38,第二节 平 面 简 谐 波 的 波 动 方 程,一、平面简谐波的波动方程的推导,1,、,右行波,的波动方程,（,1,）已知,O,点振动表达式：,（,O,点不一定是波源）,将,t,理解为已知点振动了的时间，求出任一点实际振动的时间，以此代替已知点振动方程中的,t,，,就可得到任一点的振动方程，即为波动方程。,39,照抄已知点的振动方程，再将任一点振动超前于或落后于已知点振动的位相补上，就得任一点的振动方程，即为波动方程。（超前就“,” ，落后就 “,” 。）,或,40,（,2,）如图，已知,P,点的振动方程：,或,思考,41,如图，已知,P,点的振动方程：,或,思考,2,、左行波,的波动方程：,42,平面简谐波波动方程的一般形式,或,x,前为“,+,”,号，表明波向,x,轴,负,向传，,x,前为“,-,”,号，表明波向,x,轴,正,向传。,43,思考题,:,一平面简谐波在媒质中以速度,u=20m/s,自左向右传播。已知波线上某点,A,的振动表式 ，,D,点在,A,点右方,9,米处。 若取,x,轴方向向左，并以,A,为坐标原点，试写出波动方程并写出,D,点的振动方程。,结论：,对于给定的波动，其,波动方程,与坐标原点及坐标轴方向的选取,有关,；但对于给定点的,振动方程,，却与坐标原点及坐标轴方向的选取,无关,思考：,若以,D,为坐标原点，再写以上方程。,44,1、,t,一定时的波形图,t,时刻,t+,时刻,二、波动方程的物理意义,讨论各质点在给定时刻的振动方向,波线上两质点之间的位相差,x,1,x,2,45,2,、,x,一定时的振动曲线,t,讨论质点在某一时刻的振动方向,3,、质点的振动速度,三,.,平面波波动方程的微分形式,46,例,1,：沿,X,轴正方向传播的平面简谐波、在 t=0 时刻的波形如图，问：（1）原点O的初相及P点的初相各为多大？（2）已知A及 ，写出波动方程。,0,p,解题思路：,y,O,2,、若上图为,t=2s,时刻的波形图，,重新讨论上面各问题。,思考,:1,、从矢量图上直接求,O,、,P,两点之间的位相差。,47,例,2,：一平面简谐波某时刻的波形图如下，则,OP,之间的距离为多少厘米。,0,p,2,20cm,解题思路：,设波向右传播,y,O,48,解题思路,:,用速度的旋转矢量图,y(v),A,0,V,0,0,1,2,t=0,V,A,思考题,一圆频率为,的简谐振动沿,x,轴的正方向传播,t=0,时刻的波形如图所示,则画出,t=0,时刻, x,轴上各点的振动速度,v,和,x,坐标的关系图,.,0,1,2,t=0,A,结论,:,在,t,时刻,V,与,X,关系曲线与,t+T/4,时刻的波形图相似,(,思考,),49,设有一行波：,质元的速度,:,第三节 波 的 能 量,一、,媒质中单位体积中的能量（波的能量密度）,1.,动能密度,50,质量为 的媒质元其动能为：,动能密度,:,2.,势能密度,杨氏弹性模量,E,S,为棒之横截面积,张应力,张应变,倔强系数,51,弹性势能：,O,x,dx,S,X,X,y,y+dy,O,弹性势能密度：,52,弹性势能密度是与媒质元的相对形变量的平方成正比，也就是与波形图上的斜率平方成正比。,其势能密度为：,任意时刻，体元中动能与势能相等，即动能与势能同时达到最大或最小。,53,其能量密度为：,平均能量密度为：,能量极大,能量极大,能量极小,能量极小,波形,54,二、波的,能流和能流密度,能流 电流,能量 电量,能流密度 电流 密度,能流,单位时间内通过某一截面的能量称为波通过该截面的能流。,55,S,也可以不和波速垂直，此时式中的S应改,为S,垂直,。,上式也适用于球面波,平均能流,56,2,、能流密度或波的强度,I,通过垂直于波速方向的单位面积的平均能流,波强与振幅的平方成正比,57,解题思路：,例：如图，某一点波源发射功率为,40,瓦，求该球面波上通过的平均能流及能流密度。（介质无吸收）,r,波源,58,（,1,）在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变。,平面波和球面波的振幅,证明：因为 所以在单位时间内通过 和,面的能量应该相等,59,设距波源单位距离处质点的振幅为,A,，则可以证明,:,距波源,r,处质点的振幅为,(,思考,),（,2,）球面波振幅与它,离波源的距离成反比,第四节 惠更斯原理 波的叠加和干涉,一、,惠更斯原理：,波阵面上的每一点，都是发射子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面。,(1690,年,),二、用惠更斯原理解释波的传播行为,60,S,2,S,1,61,二、,波的叠加原理（独立性原理）：,若有几列波同时在介质中传播，则它们各自将以原有的振幅、频率和波长独立传播；在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。,62,传播到,P,点引起的振动为：,三、,波的干涉,63,1,、相干条件：,两波源应满足：振动方向相同，频率相同，位相差恒定。,64,2,、极值条件,当两相干波源为同相波源（即,),时,相长干涉,相消干涉,65,称 为波程差,若,S,1,S,2,r,1,r,2,66,当波,从波疏,媒质垂直入射,到波密,媒质界面上反射时，,在反射点,，,形成,波节（,固定端,）,。,即反射波在分界处较入射波产生了,的相位跃变,（,即有半波损失,）。,四,.,半 波 损 失,界面,波,密,媒,质,波,疏,媒,质,67,当波,从波密,媒质垂直入射到,波疏,媒质界面上反射时，,在反射点,，形成,波腹（,自由端,）。,即,无半波损失,）,。,界面,波,密,媒质,波,疏,媒质,68,解题思路：,x,o,L,疏,密,例：如图，已知原点,O,处质点的振动方程为,求反射波方程,(,设反射波无能量损失）。,x,69,7.,在一轻弹簧下端悬挂,m,0,= 100g,砝码时，弹簧伸长,8 cm,现在这根弹簧下端悬挂,m,=250g,的物体，构成弹簧振子将物体从平衡位置向下拉动,4 cm,，并给以向上的,21 cm/s,的初速度（令这时,t,=0),选,x,轴向下,求振动方程的数值式,解：,k,=,m,0,g,/,D,l,),(SI),X,O,f,f,= 0.64 rad,70,作业机械振动（二）,4,：,两质点沿水平,x,轴线作相同频率和相同振幅的简谐振动，平衡位置都在坐标原点它们总是沿相反方向经过同一个点，其位移,x,的绝对值为振幅的一半，则它们之间的相位差为,_,71,18.,一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为：,（,SI,）,（,SI,）,画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程,.,2,O,1,（,SI,）,72,14.,如图所示,两相干波源,S,1,与,S,2,相距,3,/4,，,为波长设两波在,S,1,S,2,连线上传播时，它们的振幅都是,A,，并且不随距离变化已知在该直线上在,S,1,左侧各点的合成波强度为其中一个波强度的,4,倍,则两波源应满足的相位条件是,超前,/2,S,1,的相位比,S,2,的相位,73,25,一列平面简谐波在媒质中以波速,u,= 5 m/s,沿,x,轴正向传播，原点,O,处质元的振动曲线如图所示,(1),求解,x,= 25 m,处质元的振动方程,(2),求解,t,= 3 s,时的波形曲线方程,74,8.,一质点在,x,轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过,A,点时作为计时起点,(,t,= 0 ),，经过,2,秒后质点第一次经过,B,点，再经过,2,秒后质点第二次经过,B,点，若已知该质点在,A,、,B,两点具有相同的速率，且,AB = 10 cm.,求,(1),质点的振动方程,; (2),质点在,A,点处的速率,A B,x,x,A,B,O,t,= 0,t,= 2 s,t,= 4 s,解：,75,第五节 驻 波,一、 驻波的产生：,振幅相同,的两列,相干波,，在同一直线上沿,相反,方向传播，叠加后所形成的波叫驻波。,（,驻波是,一种特殊的干涉现象,）,横驻波演示,所谓,波腹,位置就是,干涉极大值,的位置；,所谓,波节,位置就是,干涉极小值,的位置。,波腹,波节,76,利用三角函数关系：,二、,驻 波方 程,正向,:,负向,:,77,求出,驻波的表达式,：,振 幅 项,78,讨论,1.,振幅,2.,波腹和波节的位置,求出的,x,即为波腹的位置。,（,1,）,波腹：,令,方法一（,若已知驻波方程,）,79,（,2,）,波节：,求出的,x,即为波节的位置。,令,80,方法二,(,求出,X,处质点两分振动的位相差,）,（,1,）波腹位置,（为干涉极大值位置）,求出的,X,即为波腹处,.,81,结论,：,半个波长,。,相邻两个波腹之间的距离为,（,2,）波节位置,(,为干涉,极小值位置）,求出的,X,即为波节处,.,相邻两个波节之间的距离也为,半个波长,.,82,y,x,o,应用,:,可用测量波腹或波,节间的距离，来确定波长,3.,位 相,x,A(X),o,结论：,相邻两个波节之间的各点是同位相的；一个波节两侧的点是反相的。,83,驻波位相,动画,y,x,o,A B,C,思考题：,右下图，某时刻若已知,A,点的位相为,/4,则求该时刻,B,点和,C,点的位相。,84,例：如图，若,o,、,处分别有两个相干波源，,其振动方程分别为：,y,o,x,求波腹和波节的位置。,解题思路：,在,范围内形成驻波。,驻波,右行波,左行波,对其中的任一点,x,x,85,驻波的能量,在,相邻的波腹和波节间,不断地进行动能与势能的相互转换，而不向外传播。,三,.,驻 波 的 能量,A,B,C,波节,波腹,位移最大时,平衡位置时,动能主要集中在波腹,附近,。,势能主要集中在波节,附近,。,86,当波,从波疏,媒质垂直入射,到波密,媒质界面上反射时，,在反射点,，,形成,波节（,固定端,）,。,即反射波在分界处较入射波产生了,的相位跃变,（,即有半波损失,）。,四,.,半 波 损 失,界面,波,密,媒,质,波,疏,媒,质,87,当波,从波密,媒质垂直入射到,波疏,媒质界面上反射时，,在反射点,，形成,波腹（,自由端,）。,即,无半波损失,）,。,界面,波,密,媒质,波,疏,媒质,88,解题思路：,x,o,L,疏,密,例：如图，已知原点,O,处质点的振动方程为,求反射波方程,(,设反射波无能量损失）。,x,89,能形成驻波的两列相干波，其振幅相同，传播方向相反，若已知其中一列波的波动方程为,则另一列波的波动方程必可设为,90,若,X,L,处是波节,若,X,L,处是波腹,91,例：在弹性媒质中有一沿,X,轴正向传播的平面波，其波动方程为：,若在X5.00m处有一媒质分解面，且在分解面处位相突变 ，设反射波的强度不变，试写出反射波的波动方程。,92,例,.,图中画出一向右传播的简谐波在,t,时刻的波形图，,BC,为波密介质的反射面，波由,P,点反射，则反射波在,t,时刻的波形图为 ,B,93,五 振动的简正模式,.,两端,固定,的弦线形成,驻,波时，弦长和波长应满足,决定的各种振动方式称为弦线振动的,简正模式,.,由此频率,本征频率；,基频,；谐频,94,2.,一端,固定,一端,自由,的弦振动的简正模式,95,第六节 多 普 勒 效 应,波源或观察者相对于介质运动时，观察者所接收到的频率,与波源的振动频率不同的现象,称为多普勒效应,.,:,波源,(,相对于介质）速度；,：观察者,(,相对于介质）速度,96,以波源指向观察者的方向为正方向,S,O,1,、波源不动，即,97,2,、观察者不动，即,3,、总结式：,应用：测车速；测血流量等。,冲击波或激波：当,98,当,99,13.,已知一定量的理想气体经历,p,T,图上所示的循环过程，图中各过程的吸热、放热情况为：,(1),过程,1,2,中，气体,_,(2),过程,2,3,中，气体,_,(3),过程,3,1,中，气体,_,吸,放,放,100,