第五章数值求积和数值求导

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,浙江大学研究生学位课程,*,第五章,求积与求导,5.1,数值求积问题,5.2,插值多项式求积,5.3,控制精度的求积方法,5.4,待定系数法,5.5,Gauss,开式求积,5.6,其他求积方法,5.7,插值多项式求导,5.8,数值求导的误差分析,5.9,其他求导方法,浙江大学研究生学位课程,1,5.1,数值求积问题,浙江大学研究生学位课程,2,5.1.1,机械求积方法,节点 权 函数值 余值,图 5.1 函数值计算过程简单,浙江大学研究生学位课程,3,5.1.2,不同的求积形式,闭式,外延式,开式,半闭式,图 5.2 不同的求积形式,浙江大学研究生学位课程,4,5.1.3,代数精度,浙江大学研究生学位课程,5,5.2,插值多项式求值,图 5.3 插值多项式的函数形式,浙江大学研究生学位课程,6,5.2.1,用,Lagrange,多项式求积,浙江大学研究生学位课程,7,5.2.1,图 5.4 不等间距开式求积示例,浙江大学研究生学位课程,8,5.2.1,浙江大学研究生学位课程,9,5.2.2,等间距闭式求积公式,Newton-Cotes,求积公式,图 5.5 等间距求积示意,浙江大学研究生学位课程,10,5.2.2,浙江大学研究生学位课程,11,5.2.2,图 5.6 当,n=1,时,浙江大学研究生学位课程,12,5.2.2,浙江大学研究生学位课程,13,5.2.2,依次类推得到,Newton-Cotes,系数表,表 5.1,Newton-Cotes,系数表,浙江大学研究生学位课程,14,5.2.2,以及相应的误差余值估计式,浙江大学研究生学位课程,15,5.2.3,复合求积方法,Composite,Quadrature,高阶插值多项式有产生严重震荡的可能,故采取用低阶复合的方法,图 5.7 低阶复合公式示意,浙江大学研究生学位课程,16,5.2.3,浙江大学研究生学位课程,17,5.3,控制精度的求积方法,5.3.1,外推原则,Richardsons Extrapolation,复合梯形法求积的误差表示为,浙江大学研究生学位课程,18,5.3.1,图 5.8,Richardsons,外推,浙江大学研究生学位课程,19,5.3.1,浙江大学研究生学位课程,20,5.3.2,Romberg,求积,根据规定精度的要求，在每一分段中取不同的,加精步数,精度控制的自适应求积算法,弯度较大分段,弯度较小分段,利用外推原则,图 5.9 自适应求积过程,浙江大学研究生学位课程,21,5.3.2,表 5.2,Romberg,求积格式,浙江大学研究生学位课程,22,5.3.3,简易的自适应求积算法,Adaptive,Quadrature,Algorithm,(,图 5.10 求积函数区间分隔,浙江大学研究生学位课程,23,图 5.11,简易自适应梯形求积算法框图,Simplified Adaptive,Quadrature,Algorithm Based on Trapezoidal Rule,开始,k=0?,k=0?,E,k,5.3.3,库程序,QUANC8,Quadrature,Adaptive,Newton-Cotes,8-panel,用于求积,图 5.12,Behavior of adaptive,quadrature,routine QUANC8,浙江大学研究生学位课程,25,5.3.3,图 5.13 求积简单的情形,图 5.14 求积困难的情形,浙江大学研究生学位课程,26,5.3.3,Error of method (log scale),DIFFICULT CASE,Slope=-2 slope=-1.1,A,S,T,S,A,T,Slope=-2,SMOOTH CASE,f(x) evaluations (log scale),Rate of convergence for,quadrature,methods test,T-Trapezoidal rule,S-Simpson rule,A-Adaptive algorithm,图 5.15,浙江大学研究生学位课程,27,5.4,待定系数法和求积公式,Method of Undetermined Coefficients,5.4.1,以闭式求积为例,Closed,Quadrature,浙江大学研究生学位课程,28,5.4.1,浙江大学研究生学位课程,29,5.4.2,其它等间隔求积公式,图 5.16 4节点外延式等间距求积,浙江大学研究生学位课程,30,5.4.2,图 5.18 4节点等间距外延求积,浙江大学研究生学位课程,31,5.4.2,图 5.19 3节点开式等间距求积,浙江大学研究生学位课程,32,5.4.2,图 5.20 4节点等间距开式求积,浙江大学研究生学位课程,33,5.4.2,图 5.21 5节点等间距外延求积,浙江大学研究生学位课程,34,5.4.2,23,-16,5,23,-16,5,23,-16,5,23,-16,5,.,23,-16,5,23,-16,5,23,-16,5,.,23,-16,5,23,-16,5,23,-16,5,23 7 12 12 . 12 12 12 -11 5,浙江大学研究生学位课程,35,5.5,Gauss,开式求积,Gaussian,Open,Quadratrue,5.5.1,Gauss,求积方法的构思,图 5.23,Gauss,开式求积示意图,浙江大学研究生学位课程,36,5.5.1,浙江大学研究生学位课程,37,5.5.2,Legendre,多项式的性质,Gauss,开式求积方法,图 5.24,Gauss,节,点与,Legendre,多项式,浙江大学研究生学位课程,38,Legendre,多项式的递推算式,5.5.2,浙江大学研究生学位课程,39,5.5.2,浙江大学研究生学位课程,40,5.5.3,Gauss,求积法示例,对一定的,m,t,i,和,b,i,均为固定值,表 5.2,Gauss,开式求积的系数,浙江大学研究生学位课程,41,5.5.3,浙江大学研究生学位课程,42,5.6,其他求积方法,5.6.1,样条函数求值,Spline Quadrature,浙江大学研究生学位课程,43,5.6.2,多重求积,Multiple,Quadrature,浙江大学研究生学位课程,44,5.6.2,浙江大学研究生学位课程,45,多重积分计算示例,5.6.2,浙江大学研究生学位课程,46,5.6.3,特殊求积,Improper Integrals,几种类型：,1.,被积函数在积分上限或下限处的极限存在，,但函数值不存在,2.,积分上限是 ，或积分下限是,。,3.,在积分限的两端存在积分奇异点,4.,在积分上限和下限之间的某已知点处存在,积分奇点。,5.,在积分区间内某未知点处存在积分奇点,（Impossible Integration）,浙江大学研究生学位课程,47,类型1的求积方法,：,只要采用开式求积公式,即可以解决问题,类型2问题的的解法,：, 变量置换方法：,常用的变量置换公式有：, 极限过程：,5.6.3,浙江大学研究生学位课程,48,例：,计算, 无穷区间的截断,略去无穷区间的,“,尾巴,”,而把无穷区间化为一个有限区间。,例：,计算,5.6.3,浙江大学研究生学位课程,49,5.6.3,浙江大学研究生学位课程,50,积分算法总结,Gauss,求积公式的定义,G1,浙江大学研究生学位课程,51,G2,浙江大学研究生学位课程,52,R1,Romberg,算法原理,浙江大学研究生学位课程,53,R2,浙江大学研究生学位课程,54,R3,浙江大学研究生学位课程,55,R4,浙江大学研究生学位课程,56,N1,浙江大学研究生学位课程,57,N2,浙江大学研究生学位课程,58,N3,浙江大学研究生学位课程,59,5.7,插值多项式求导,以下诸节讨论不能以,x,显式的形式表达的,函数对,x,的求导。,5.7.1,一般化的形式,由需要求导区间邻近若干节点的数据,构成,Lagrange,插值多项式,图 5.24 插值求导与插值的关系,浙江大学研究生学位课程,60,5.7.1,浙江大学研究生学位课程,61,5.7.1,浙江大学研究生学位课程,62,等间距的常用推导方法,5.7.1,浙江大学研究生学位课程,63,可以写成紧凑的形式,5.7.1,浙江大学研究生学位课程,64,5.7.2,等间距节点数据求导,（,差分法,）,根据,Newton-Gregory,向前差分多项式,浙江大学研究生学位课程,65,5.7.2,浙江大学研究生学位课程,66,示例,表 5.3 求导用差分表,这一位数误差可能很大,这些数已不可靠,5.7.2,浙江大学研究生学位课程,67,5.7.2,浙江大学研究生学位课程,68,5.8,数值求导的误差分析,本节讨论,方法误差,和,舍入误差,在数值求导,中的影响。,5.8.1,数值求导中的方法误差,浙江大学研究生学位课程,69,5.8.1,精确值,浙江大学研究生学位课程,70,5.8.1,浙江大学研究生学位课程,71,5.8.2,舍入误差对数值求导的影响,(1),IBM360,单精度运算结果,表 5.4,Results with single precision,以下误差大于,10%,浙江大学研究生学位课程,72,5.8.2,(2),IBM360,双精度运算结果,表,5.5,Results with double precision,浙江大学研究生学位课程,73,5.8.3,步长(,h),对误差的综合影响,可见数值求导的误差不能由不断减小,h,而降低,数值求导是,一种不稳定的算法,浙江大学研究生学位课程,74,5.8.3,表 5.6,sin(x),函数表,浙江大学研究生学位课程,75,5.8.3,表5.7 计算试验结果,浙江大学研究生学位课程,76,第五章 习题,5.1,Write a FORTRAN subroutine which implements Simplified,Adaptive,Quadrature,Algorithm based on Trapezoidal Rule,by using the following nomenclature：,SUBROUTINE SAQAT(FUN,XL,XU,N,TOL,HM,AQ,ER,NF),where the input variables are：,FUN - name of the integrand function subprogram FUN(X),XL - lower,quadrature,limit of X,XU - upper,quadrature,limit of X,N - number of basic subintervals,TOL - tolerance of relative error,HM - maximum step size allowed,and the output variables are,：,AQ - result of,quadrature,ER - estimated relative error bound,NF - vector of length N containing the numbers of function,values used in each subinterval.,Verify your program by executing the,quadrature,of the function：,Derive numerical differentiation algorithm based upon,spline,interpolation.,5.2,浙江大学研究生学位课程,77,