拉氏变换及反变换

,机械工程控制基础,拉普拉斯变换及反变换,一、 拉普拉斯变换,（,2,）常用函数的拉普拉斯变换,（,3,）拉普拉斯变换的基本性质,二、 拉普拉斯反变换,内容,（,1,）定义,拉氏变换对,是求解,常系数线性微分方程,的,工具,。,把,线性时不变系统,的,时域模型,简便地进行,变换,，经求解再,还原,为时间函数。,概述,补充：,拉普拉斯,变换及反变换,定义,当,f,(,t,),含有冲激函数项时，,此项 ,0,拉氏变换积分上限说明：,一、拉普拉斯变换,F(s,)=,f,(,t,),f(t,)=,-,1,F,(,s,),表示为：,0,f,(,t,),，,t,0,),称为,原函数,，属时域。,原函数 用小写字母表示，如,f(t,),，,i,(,t,),，,u,(,t,),F(s,),称为,象函数,，属复频域 。,象函数,F(s),用大写字母表示,如,F(s,),，,I(s,),，,U(s,),。,称为复频率,。,f(t,),F(S),L,L,_,拉普拉斯变换对，记为：,2.2,常用函数的拉普拉斯变换,（单位阶跃函数）,t,u(t,),F(s,)=,(,指数函数,),F(s,)=,= 1,（单位脉冲函数）,(t),t,0,（单位斜坡函数）,f(t,),t,0,F(s,)=,L,f(t,),=,（幂函数）,常用函数,的拉普拉斯变换表,t,t,n,e,-at,te,-at,t,n,e,-at,e,-jwt,u(t,),(t),(,n),(t,),1,s,n,1/s,1/s,2,n!,s,n+1,n!,(s+a),n+1,1,(s+a),2,1,s+a,1,s+jw,1,f,1,(,t,),e,-,t,t,0,例题 求图示两个函数的拉氏变换式,1,f,2,(,t,),e,-,t,t,0,解,由于定义的拉氏变换积分上限是,0,，两个函数的拉氏变换式相同,当取上式的反变换时，只能表示出,区间的函数式,-1,2.3,拉普拉斯变换的基本性质,一、线性性质,例,1,例,2,二、微分定理,例1,初态为,r(0,-,),及,r,/,(0,-,),，原始值为,e(0,-,)=0,，求,r(t,),的象函数。,解：,设,r(t,),，,e(t,),均可进行拉氏变换即有,E(S)=,Le(t,) , R(S)=,Lr(t,),对方程两端进行拉氏变换，应用,线性组合,与,微分定理,可得,S,2,R(s)-Sr(0,-,)-r,/,(0,-,)+a,1,SR(s)-r(0,-,)+a,0,R(s)=b,1,SE(s)-e(0,-,)+b,0,E(s),整理合并得,（,S,2,+a,1,S+a,0,）,R(S)-(S+a,1,)r(0,-,)-r,/,(0,-,)=(Sb,1,+b,0,)E(s)-b,1,0,例,3,某动态电路的输入,输出方程为,三、积分定理,例,四、时域平移,f,(,t,),f,(,t-t,0,),平移,例1,例2,五、,S,域平移,例,3,六、初值定理和终值定理,初值定理,若,f,(,t,)=,F,(,s,),，且,f,(,t,),在,t,= 0,处无冲激,，,则,终值定理,f,(,t,),及其导数,f,(,t,),可进行拉氏变换，且,例1,例2,例3,例,4,：已知,F(s,)=,解：由,初值定理,得,，,求,f(0),和,f(),由,终值定理得,例,右图所示电路中，电压源为 ，,试用,时域卷积定理,求零状态响应电流,i(t,),。,七、时域卷积性,i(t,),R,L,解,（,1,）,写出,系统动力学方程,（,2,）,作,Laplace,变换,得,系统方框图,h(t,),U,i,(s,),H(s,),I(s,),零状态响应电流,I(s,)=,U,i,(s)H(s,),= ,u,i,(t,),H(s,),=,-1,I(s),i(t,)=,（,4,）,应用,时域卷积定理,（,3,）,求系统传递函数,h(t,),U,i,(s,),H(s,),I(s,),（,5,）,作,Laplace,反变换,得,八、,S,域卷积性,九、尺度变换性,拉普拉斯变换的,基本性质,表,拉普拉斯变换的基本性质表,拉普拉斯变换的基本性质表,本讲小结：,拉普拉斯变换定义,常用函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换的基本性质,(1),利用,作业,1,、,写出拉普拉斯变换定义式,2,、,1,(s-1),2,_,二、拉普拉斯反变换,1,、由象函数求原函数,（,2,）经数学处理后查拉普拉斯变换表,f,(,t,)=L,-1,F,(,s,),（,1,）利用公式,较,麻烦,象函数的一般形式：,2,、将,F,(,s,),进行部分分式展开,等式两边同乘,(,s,-,s,1,),=0,(t0),例1,解：,F(S),例,2,（,m,=,n,，,用长除法）,解：,F(S),（,k,1,k,2,也是一对共轭复数）,假设只有两个根,设,解：,则,欧拉公式,例,1,法一：,部分分式法展开，求系数。,法二：,将,F,2,(s),改写为,(,s,),2,+ ,2,F(S),=,等式两边同乘,例1,等式两边乘,得,例2,等式两边乘,（,4,）一般多重根情况,练习,1:,求其原函数,s,练习,2:,因为,mn,，,故采用,同理可求,练习,3:,（,t0,）,练习,4:,2.5,用拉氏变换法求解常微分方程,n,作,Laplace,变换,例,1:,1 (t0),0 (t,0),例,如图所示电路中，电压源为 ，,求零状态响应电流,i(t,),。,i(t,),R,L,（,1,）,写出,系统动力学方程,（,2,）,作,Laplace,变换,得,系统方框图,U,i,(s,),H(s,),I(s,),作业：,解,:,得零状态响应电流,U,i,(s,),= ,u,i,(t,),=,-1,I(s),i(t,)=,而,（,3,）,求出,U,i,(s,),H(s,),I(s,),（,5,）,作,Laplace,反变换,（,4,）,用,部分分式法，求,