拉普拉斯变换

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,补充数学基础,-,拉普拉斯变换,1,拉普拉斯变换的定义,在 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为,定义,1,设函数 当 有定义,而且积分,是一个复参量,s =, + j,）,我们称上式,为函数,的拉普拉斯变换式,记做,叫做,的,拉氏变换,象函数,.,叫做,的,拉氏逆变换,象原函数,=,1,拉氏变换存在条件：对于一个函数,f(t),，若存在正的有限值,M,和,c,，使得对于所有,t,满足：,则,f(t),的拉氏变换,F(s),总存在。,拉氏逆变换,：如果,F,(s),已知，由,F,(s),到,f,(t),的变换称为拉氏,逆,变换，它定义为：,2,(2),单位阶跃函数,(=1),(1),指数函数,例,1,求以下函数的象函数。,3,2,拉普拉斯变换的基本性质,一、线性性质,4,例,1,若：,上述函数的定义域为,0,，,，求其象函数。,5,二 、导数,(,微分,),性质,1.,导数性质,1,6,例,2,应用导数性质求下列函数的象函数：,7,推广：,8,2.,导数性质,2,9,三、积分性质,10,四、延迟与位移性质,1.,延迟性质,11,2,、位移性质,12,小结：,13,6,卷积与卷积定理,1,卷积定义,若给定两个函数,则积分,称为函数,的卷积,记为,例,1,例,2,14,2.,卷积的简单性质：,15,3,拉氏变换的卷积定理,=,=,若,则,例,16,求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等,.,我们简单介绍部分分式法和留数法,.,根据拉普拉斯变换的定义,右端的积分称为拉氏反演积分,.,它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦,.,3,拉普拉斯逆变换,17,1,利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换,一些常用函数的拉氏变换,18,拉氏逆变换的性质,19,利用拉氏变换的卷积定理求逆变换,=,=,若,则,练习：,例,20,例,1,已知,求,解,所以,例,2,已知,求,解,所以,21,2,利用部分分式法,在用拉普拉斯变换解决工程技术中的应用问题时，经常遇到的象函数是有理分式一般可将其分解为部分分式之和，然后再利用拉普拉斯变换表求出象原函数,例,1,解,先将,F,(,s,),分解为部分分式之和,用待定系数法求得,所以,22,则有,23,例,2,已知,求,解,所以,例,3,已知,求,解,所以,24,2,利用留数定理求拉氏逆变换,定理：设 除在半平面 内有限个孤立奇点 外是解析的，且当 时， ，则有,即,25,常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法,利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系,数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下,:,（,1,）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程,;,（,2,）从象函数的代数方程中解出象函数,;,（,3,）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解,.,4,拉普拉斯变换的应用,26,例,求微分方程,满足初始条件,的解,解,设,对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得,解得,所以,27,