现代控制理论

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,继续,退出,第五章,状态反馈与状态观测器,1,目录,5.1 状态反馈与输出反馈,5.2 单输入单输出状态反馈系统的极点配置法,5.3 状态重构问题,5.4 观测器的极点配置,2,引 言,一、综合问题,给定系统,状态空间描述,A、B、C均为常阵且给定。,再给出所期望的性能指标：,1）对系统状态运动期望形式所规定的某些特征量。,2）对其运动过程所规定的某种期望形式或需取极小（或极大）值 的一个性能函数。,综合,：寻找一个控制作用 u ，使得在其作用下，系统运动的行为满足所,给出的期望性能指标。,3,一般 u,依赖于系统的实际响应。,形式为： u = - k x + v,状态反馈控制,（2）,u = - F y + v,输出反馈控制,（3）,其中：k 为 pn常阵，状态反馈矩阵。,F为 pq常阵，输出反馈矩阵。,v参考输入向量。,二 性能指标的类型,性能指标,非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达,到或好于期望指标就算实现了综合目标。,优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使,性能指标在所有可能值中取为极小（或,极大）值。,4,常用非优化型性能指标：,（1）以渐近稳定性为性能指标，相应的综合问题称为,镇定问题,。,（2）以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，相应的综合问题为,极点,配置问题,。系统运动的形态，即动态性能（如超调量、过渡过程）,主要由极点的位置所决定。,（3）以使系统的输出 y,无静差地跟踪一个外部信号 作为性能指,标，相应的综合问题为,跟踪问题,。,（,4）以使一个多输入多输出系统实现“,一个输入只控制一个输出,”作为,性能指标，相应的综合问题称为,解耦控制问题,。,优化型性能指标:,常取一个相对于状态 x 和控制 u,的二次型积分性能指标，其形式为：,5,三 研究综合问题的思路,1 建立可综合的条件：,建立相对于给定的受控系统和给定的期望性能指标，使相应的控制存在，并实现综合目标所应满足的条件。,2 建立起相应的用以综合控制规律的算法。,利用这些算法，对满足可综合条件的问题，确定出满足要求的控制规律，即确定出相应的状态反馈和输出反馈矩阵。,6,5.1状态反馈与输出反馈,一、,反馈的两种基本形式 状态反馈,输出反馈,1、,状态反馈（方块图如右）,受控系统：,线性反馈规律：,通过状态反馈构成闭环系统,7,一般D=0，可化简为：,闭环传递函数矩阵为：,2、输出反馈,方块图：,一般(D=0)，,引入线性反馈规律：,通过输出反馈构成的闭环系统,H,B,8,闭环传递函数矩阵：,或,二、对两种反馈形式的讨论,1）两种形式反馈的,重要特点,是，反馈的引入并不增加新的状,态变量，即,闭环系统和开环系统具有相同的阶数,。,2）状态反馈的引入能保持原系统的能控性，但不一定保持原,系统的能观测性，而输出反馈既能保持原系统的能控性，,又能保持能观测性。,3）在工程实现时，两种形式反馈各有其,局限性,。,实现状态反馈基本前提是状态变量 必须是物理,上可量测的。输出反馈基本形式不能满足任意给定的动态,性能指标要求， 如稳定性的要求。,9,三、反馈形式的改进形,1、带有,观测器,的状态反馈系统,设法由输出,y,和控制,v,把系统的状态,x,构造出来，以实现状,态反馈。,方块图,：,10,是,X,的重构状态，阶数小于等于,X的阶数。,闭环系统阶数为 与,X,阶数之和。,2、带有,补偿器,的输出反馈系统,方块图：,闭环系统阶数为受控系统与补偿器阶数之和。,补偿器阶数受控系统阶数.,11,5.2 单输入单输出状态反馈系统的 极点配置法,一、问题的提出：,1、极点对系统特性的影响：,2、极点配置问题：,通过状态反馈矩阵K的选择，使闭环系统(A- BK,B,C),的极点，即(A-BK)的特征值恰好处于所希望的一组极,点位置上。,3、希望极点选取的原则,1）n维控制系统有n个希望极点；,2）希望极点是物理上可实现的，即为,实数或共轭复数对,；,3）希望极点的位置的选取，需考虑它们对系统性能的主导影响，,及与零点分布状况的关系。,4）希望极点的选取还须考虑抗干扰和低灵敏度方面的要求。,12,二、极点配置的理论问题,1、定理,：对单输入单输出系统 ，给定,任意,n个极点 ，可以是实数或其共轭复,数。以这n个极点为零根的多项式为,那么存在 矩阵K，使闭环系统,以 为极点，即,的,充分必要条件,为受控系统 是完全能控的。,13,证明,：,证充分性：,系统完全能控，则极点可任意配置。,即证 完全能控，则,因为非奇异变换不改变系统特征值。,所以不访设系统已为完全能控规范型，即,14,其传递函数为,设状态反馈矩阵为 ，于是有,于是闭环系统 传递函数为,15,因此只需取,所以取K阵为,就可使,即以任意给定的 为极点。,2、对定理的讨论,1）对单输入单输出系统，按极点配置法进行综合时，,在（A,B,C）为,能控规范型,情况下，状态反馈矩阵K为,16,式中： 为受控系统特征多项式的系数。,以希望极点 为零根的,多项式的系数。,2）如果对受控系统的一般形式 作非奇异变换,，得能控规范型 ，则有如下关系：,补充：,如果受控系统 为一般形式，,求取状态反馈矩阵 的方法也可按如下方式进行。,17,a）计算 的特征多项式，即,b）计算由希望极点 所决定的多项式,即,c）计算,d）计算变换阵,e）求,f）所求的反馈矩阵,18,3）状态反馈引入，可任意配置极点，并不改变其零点的形态，,表明按状态反馈组成的闭环系统中，其闭环零点和开环零,点是同等的。,4）设 为完全能控且完全能观测的，不妨设为能,控规范形，即,则 状态反馈系统 保持完全能观测的充分条件为,19,也即 为无零点系统。,5）对于n维受控系统，当采用状态反馈时，可以调节n个参数,k,1,k,2,.k,n,6）当控制系统工作于伺服状态时，除了按极点配置确定状态反馈K外，还要引入输入变换阵L。带输入变换阵的状态反馈系统结构如下图：,其传递函数为：,L,b,c,A,K,x,20,（1）当n3时，采用先,化为能控规范型的方法,。,（3）对于n3的复杂系统或多输入系统的极点配置时，由于K中的未知参数较多，这时可采用一种较简便的方法：,先选K矩阵中某几个参数，使闭环系统特征矩阵A-BK变为能控规范型，再用特征值不变性原理方法，确定K中的其余参数，以满足希望极点的要求。,（4）补充的算法。,三、极点配置的方法问题,21,举例:,例1：给定受控系统，其传递函数为,综合指标为,输出超调量,超调时间,v,y,u,v,y,+,-,X,图1,L,K,22,系统频宽 ；跟踪误差,试用极点配置进行综合。,解:,（,1）确定受控系统的能控规范形,（2）确定希望极点,希望极点n=3，选其中一对主导极点 ，另一个为,23,远极点，并且认为系统性能主要是由主导极点决定的，远极,点只有微小的影响。,根据二阶系统关系式，选定出主导极点,式中： 为此二阶系统的阻尼比和自振频率。,1）,24,2）由 ， 得,3）由 ，和已选 得,与2）式中结果比较，取,25,远极点应选使得它与原点的距离远大于 ，现取,因此,（3）确定状态反馈矩阵K,受控系统特征方程,希望特征多项式,26,状态反馈矩阵：,（4）确定输入放大系数,L,对应闭环传递函数为,由要求跟踪阶跃信号的误差 ，有,27,再用对跟踪速度信号的误差要求来验证,（5）画出对应能控规范形闭环系统方块图,28,对应规范形状态方程,29,闭环系统方块图:,10000,-72,1438,10000,-18,96.1,x,2,x,1,y,u,v,x,3,30,6）,确定对应图1的状态空间方程,将图1的受控系统方块图表示成下图所示的形式,按上图列状态空间方程：,-6,-12,+,图3,31,7）,确定非奇异变换矩阵,若作变换 ，就可建立起给定的 和能控规范型,之间的关系式,求,方法1,：,32,方法2,：,33,8）,确定图3形式的受控系统的状态反馈矩阵,9）,画出相应于图3形式的受控系统的闭环方块图,34,-12,-6,96.1,-291.8,10000,6582.4,u,+,+,+,-,+,+,35,例2：给定两输入受控系统，,试设计状态反馈矩阵，使闭环系统特征值为,解,：,（1）,判断极点配置的条件,Q,k,=B AB A,2,B=,rankQ,k,=4，因此系统具有完全能控性，可任意配置极点。,36,（2）设K= 则有：BK=,，A-BK=,（3）选择参数使A-BK具有能控规范型，先求出k,1，,k,2，,k,3，,k,4,。,（4）再利用特征值不变性原理求出k,5，,k,6，,k,7，,k,8,。,已知,37,5.3 状态重构问题,一、状态观测器的基本思想(Luenberger伦伯格),1、状态重构的必要性,2、状态重构的可能性,状态重构问题,：能否从系统的可量测参量，如输入u和输,出y来重新构造一个状态 ，使之在一,定的指标下和系统的真实状态X等价。,状态重构在满足一定条件下是可行的。,因为:,如果,38,那么根据输出y的测量，可以唯一地确定出系统的初始状态,， 而系统任意时刻的状态,所以只要满足一定的条件，即可从可测量y和u中把x间接,重构出来。,3、等价性指标,构造动态系统,原系统,构造动态系统与原系统在结构与参数上相同,39,其解：,原系统初始状态,重构状态的初始状态,如 ，必有 完全等价。,但实际很难 ，一般,因而 不能完全等价。,但只要系统稳定，即A特征值均具有负实部，就可做到,是稳态等价的，即,4、观测器的结构形式,上述并未完全解决状态重构的问题，因系统状态是不能直接量测，因此很难判断 是否逼近X。另一方面不一定能,40,因而我们得到了状态观测器的一般结构形式：,保证A的特征值均具有负实部，为此我们用对输出量间的差值,的测量来代替对 的测量，而且当 时有,这样构成的重构状态方程为：,修正项,41,结构图1,：重构系统是原系统的,可量测变量u和y为输入的一个,n维线性定常系统,修正项。,结构图2:,改进结构形式,C,C,42,用 表示真实状态和估计状态间的误差。,所应满足的动态方程为,上式表明，不管初始误差 为多大，只要使矩阵（A-GC）,的特征值 均具有负实部，那么一,定可做到,即实现状态的渐近重构。,二、观测器的定义,1、定义,：设线性定常系统 的状态X是不能直,接量测的，如果动态系统 的输入u和输,出y作为它的输入量；,43,的输出 满足如下的等价性能指标,则称动态系统 的状态观测器,。,2、构成系统观测器的原则,1）观测器 以原系统 的输入和输出作为其输入。,2）为了满足等价性指标，原系统 应当是完全能观测的，,或者x中不能观测的部分是渐近稳定的。,3） 的输出 应有足够快的速度逼近X，这就要求 有,足够宽的频带。,4） 在结构上应尽可能地简单，即具有尽可能低的维数。,三、观测器存在的充要条件,44,定理,：,线性定常系统 不能观测的部分是渐近稳定的（充要条件）。,证明,：因 不完全能观测，故可实行结构分解，状态,方程具有如下形式：,式中： 为能观测状态； 为不能观测部分； 为,的能观测部分。,构造如下动态系统：,45,可通过适当地选择G,1,可是 的特征值均具有负实部,对第二部分,由此导出：,46,满足等价指标，而,等价于A,22,的特征值均具,有负实部，即 的不能观测部分是渐近稳定的,。,47,5.4 观测器的极点配置,1、,定理,：,线性定常系统 ，其观测器,可以任意配置极点，即具有任意逼近速度的充分必,要条件是 为完全能观测。,反馈阵为：,2、,方法,给定被估计系统 设 为能观测，,再对所要设计的观测器指定一组期望极点,则设计观测器的步骤为：,证明略！,48,方法一、,1）导出对偶系统,2）利用极点配置算法，对矩阵对 来确定使,的反馈增益阵K。,3）取,4）计算（A-GC) ，则所要设计的系统状态观测器就为,而 即为X的估计状态。,方法二、,1）化一般形式为能观测规范形，变换矩阵为T。,2）确定规范形所对应的反馈矩阵,49,3）确定给定系统状态方程的反馈矩阵,4）系统状态观测器为,例,：设线性定常系统的状态方程和输出方程为,试设计一个状态观测器，要求将其极点配置在,解：,方法一,1）导出对偶系统,50,2）确定反馈增益阵K,51,52,3),53,方法二、,1）化系统状态方程为能观测规范形,54,能观测规范形,55,2）确定规范形所对应的反馈矩阵,3）确定系统状态方程的反馈矩阵G,4)系统观测器方程,56,例2：设计带观测器的状态反馈系统,系统的传函为,动态方程为,其中：,要求设计状态反馈阵，使闭环系统的特征值,s,1,2,=-7.07j7.07,假设状态x,1,x,2,不可量测，试设计一个状态观测器, s,1,2,=-50。,57,解,：系统是完全能控的、能观测的，故,A-BK的特征值,可以配置，并可由输入u和输入y构造一个观测器。,1）设计状态反馈阵K,设,K=k,2,k,1,闭环系统的特征多项式为,带状态反馈的闭环系统的特征多项式为：,两个特征多项式的对应项相等,2) 设计观测器,设,58,由极点配置要求，可得相应的闭环系统的特征多项式为：,观测器的特征多项式为：,两个特征多项式的对应项相等,故观测器方程为,59,带观测器的状态反馈系统如图所示:,100,5,0.0914,2025,2025,95,95,1,y,u,V,+,+,+,+,+,+,-,-,-,-,60,注意:,（1）为了使系统有较好的动态特性，被观测状态的初始值必须调整得尽可能接近实际状态的初始值。,（2）观测器的特征值必须远大于系统的特征值，这样可使由初始状态的误差引起的观测器的响应能够很快衰减至零。,61,MATLAB,在时域设计方法中的应用,一,、能控性、能观测性的分析,MATLAB提供了许多用来分析控制系统模型属性的函数，例如常,用的可控性（ctrb)、可观测性(obsv)和可控、可观测的格来姆(Gram)矩阵。,用法：,（1）gram( ),dgram( )其可控、可观测的格来姆(Gram)矩阵。,Gc=gram(A,B,c) Gc=dgram(A,B,c),Go= gram(A,B,o) Gc=dgram(A,B,o),（2）ctrb( ),obsv( )求系统的可控性和可观测性。,Ac=ctrb(A,B),Ao=obsv(A,C),rank(Ac)或rank(Ao),例：一线性系统如下所示：,当分别取-1，0，1时，判断系统的可控性和可观测性，并求出相应的状态方程。,62,程序如下面的M文件所示：,CANDO.M,%判断系统在不同参数下的可控性和可观测性,for alpha=-1 0 1,alpha,num=1 alpha;,den=1 -15 14 0;,A,B,C,D=tf2ss(num,den),Ac=ctrb(A,B);,Gc=gram(A,B,c);,rAc=rank(Ac);,Ao=obsv(A,C);,Go=gram(A,B,o);,rAo=rank(Ao),end,二、极点配置设计方法,方法：,假定期望的闭环系统极点为 ，i=1,2 ,n，则原系统的开环特征方,程 和闭环系统的特征方程 分别可以写成如下形式：,63,若原系统可控，则状态反馈向量K可由下式求出：,例,：系统的开环状态方程如下：,64,执行下面的M文件：,CharA=poly(A); %计算,CharN=conv(1,1,conv(1,2,1,3); %计算,ii=length(CharA):-1:2;,diffA=CharN(ii)-CharA(ii); %计算,C=A2*B A*B B;,L=1 0 0;CharA(2) 1 0;CharA(3）CharA(2) 1;,K=diffA*inv(L)*inv(C),容易验证，本系统是状态完全可控的，并且原系统有不稳定极点，用极点配置方法，将闭环极点配置到-1，-2，-3。,65,MATLAB控制工具箱中还提供了极点配置函数place( )和acker( )，其调用格式是相同的。如下所示：,K=place(A,B,p),K=acker(A,B,p),其中p是指定极点的位置列向量，调用这两个函数可以直接得到与前面相同的结果，如下所示：,p=-1,-2,-3;,K=place(A,B,p);,K=acker(A,B,p); %只适合SISO系统,66,总 结,1.,反馈的两种形式,基本形式,状态反馈,输出反馈,改进形式,带状态观测器的状态,反馈,带补偿器的输出反馈,两种反馈特性的特,点,2.,单输入单输出状态反馈系统的极点配置法,极点对系统特性的影响,希望极点选取的原则,极点配置的方法,配置定理,配置算法,67,1）状态重构的必要性,2）,状态重构的可能性,3）等价性指标,4）,观测器的结构形式,5）,观测器的定义,6）,观测器存在的充要条件,观测器的极点配置,1,）,极点配置定理,2,）,极点配置方法,3.状态重构问题,68,Thank you!,69,极点对系统性能的影响,70,