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,第,4,章,光波衍射与变换,光学 教案,赵建林 编著,普通高等教育,“,十五,”,国家级规划教材,高等教育出版社,高等教育出版社,高等教育电子音像出版社,4,光波衍射与变换,主要内容,4.1,衍射现象及其数学描述,4.2,菲涅耳衍射,4.3,夫琅禾费衍射,4.4,衍射光栅,4.5,衍射光场的分解与傅里叶变换,4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,主要内容,1,.,光的衍射现象,2.,惠更斯原理,3.,惠更斯,-,菲涅耳原理,4.,菲涅耳,-,基尔霍夫衍射积分,5.,巴俾涅原理,6.,衍射现象的分类,(1),波动的衍射现象,声波的衍射现象：,水波的衍射现象：,衍射现象的定义：,波动的传播偏离直线传播规律的行为,衍：滋生、繁衍、衍生,(2),光波衍射的基本特征,几何阴影区光强不为零，几何投影区光强非均匀分布,障碍物线度愈小，衍射效应愈强烈,4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,4.1.1,光的衍射现象,衍射是波动的基本特征之一，反映了波动在传播过程中的一种边缘效应。,任何波动在通过任何物体的边缘时，都会产生衍射现象。然而，只有当障碍物的几何线度与波长大小可以比拟时，其衍射现象才能明显地表现出来。当障碍物的线度远大于波长时，这种边沿效应将变得不明显，从而表现出直射（直线传播）特征。因此，波动的衍射与直射并不矛盾，只是传播条件不同而已。,衍射理论是现代变换光学的理论基础。从严格意义上讲，,衍射是波动在传播过程中其波面受到限制的必然结果，,而不仅仅是一种边缘效应。,在波动的传播过程中，只要其波面受到了某种限制，如振幅或相位的突变等，就必然伴随着衍射现象的发生。,4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,4.1.1,光的衍射现象,(3),波动的衍射与直射之关系,惠更斯原理的表述：,在波动传播过程中的任一时刻，波面上的每一点都可以看作是一个新的波源，各自发射球面子波。所有子波的包络面，形成下一时刻的新波面。两个波面的空间间隔等于波的传播速度与传播时间间隔的乘积。,光的直线传播定律的解释：,图,4.1-1,惠更斯原理与波动的直线传播,平面波的直线传播,球面波的直线传播,4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,4.1.2,惠更斯原理,图,4.1-2,反射和折射定律,v,1,v,1,n,2,n,1,B,A,v,2,B,A,C,i,2,i,1,i,1,入射光：,折射率,n,1,，入射角,i,1,，波面,AB,，速度,v,1,反射光：,折射率,n,1,，折射角,i,1,，波面,AB,，速度,v,1,=,v,1,折射光：,折射率,n,2,，折射角,i,2,，波面,AC,，速度,v,2,反射定律：,折射定律：,(4.1-1),(4.1-2),4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,4.1.2,惠更斯原理,反射和折射定律的解释：,图,4.1-3,光波的衍射,4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,4.1.2,惠更斯原理,衍射现象的定性解释：,(1),惠更斯原理的局限性,(2),惠更斯,-,菲涅耳原理,没有涉及波动的时空周期特性，即波长、振幅、相位等。虽然可以用于确定光的传播方向，但无助于确定沿不同方向传播的光波的振幅和相位大小。,菲涅耳对惠更斯原理的贡献：,将不同子波的干涉叠加引入惠更斯原理，并赋予其以相应的相位和振幅表达式。,4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,4.1.3,惠更斯,-,菲涅耳原理,S,：光源,S,：光源,S,发出的光波的任一波面,d,S,：波面,上位于,Q,点的面元,n,：面元,d,的法线方向单位矢量,q,0,：光源,S,到点,Q,连线与面元法线夹角,q,：,Q,点到场点,P,的连线与面元法线夹角,图,4.1-4,惠更斯,-,菲涅耳原理,S,P,Q,S,q,d,S,R,r,q,0,n,惠更斯,-,菲涅耳原理的表述：,波面,S,上的每个面元,d,S,都可以看作是新的波源，它们均发射球面子波，在与波面,相距为,r,处的,P,点的光振动,U,(,P,),，等于,所有球面子波在该点的,光振动,d,U,(,P,),的相干,叠加：,(4.1-3),4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,4.1.3,惠更斯,-,菲涅耳原理,按照菲涅耳的假设,，,Q,点处,d,S,面元发出的,球面子波在,P,点的光振动复振幅：,(4.1-4a),(4.1-4b),或,K,：比例常数；,U,0,(,Q,),：光源,S,在,Q,点引起光振动复振幅；,F,(,q,0,q,),：倾斜因子，随,q,0,和,q,的增大而减小。,P,点总的光振动复振幅,菲涅耳衍射积分式：,(4.1-5),4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,4.1.3,惠更斯,-,菲涅耳原理,基尔霍夫的数学结论,（通过由电磁场理论严格地数学推导而得到）,：,基尔霍夫边界条件：,设波面处放置一开孔的无限大不透明光屏，且开孔所对应的波面面积为,S,0,，则透过光屏的光振动满足：,(4.1-8),(4.1-7),(4.1-6),菲涅耳,-,基尔霍夫衍射积分：,(4.1-9),4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,4.1.4,菲涅耳基尔霍夫衍射积分,说明：,当波面为以,S,点为中心的球面时，,q,0,=,0,，,F,(,q,0,q,),=,(1+cos,q,)/2,，只与场点,P,相对波面的方位有关。,(4.1-10),在傍轴条件下，,cos,0,cos,1,，,F,(,0,),=,1,。,(4.1-11),实际问题中，通常以光波在光屏平面上的波前代替实际波面，此时,S,0,表示光屏透光孔的面积，而,函数,U,0,(,Q,),表示透过光,屏开孔的波前上的光振动复振幅。,4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,4.1.4,菲涅耳基尔霍夫衍射积分,假设：,一对互补光屏（透光区域相反）的透光面积分别为,S,A,和,S,B,，且有,S,0,=,S,A,+,S,B,，则由积分的线性和可加性可得,(4.1-12a),(4.1-12b),巴俾涅原理：,由一对互补光屏分别在某个给定场点引起的衍射光场复振幅之和，等于没有光屏情况下，该场点的光振动之复振幅。,即,=,+,图,4.1-5,巴俾涅原理,4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,4.1.5,巴俾涅原理,已知光源发出的光波在自由空间中及透过某个光屏的复振幅分布，则两者之差即该光波透过相应互补屏的复振幅分布。在远场条件下，一对互补屏引起的衍射图样具有相同的形状，只是中心点的强度大小不同而已。,4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,4.1.5,巴俾涅原理,巴俾涅原理的意义,(1),菲涅耳衍射：近场衍射,产生条件：,衍射屏相距光源及观察点两者或两者之一为有限远,图,4.1-6,子波源点与场点的几何关系,P,x,0,Q,y,0,O,z,x,y,r,O,0,场点与衍射屏上的次级点源之距：,4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,4.1.6,衍射现象的分类,场点的傍轴条件：,z,2,x,2,y,2,次级点源的傍轴条件：,z,2,x,0,2,y,0,2,衍射积分式：,(4.1-13),图样特点：,光强分布与场点到衍射屏的距离及波面形状有关,观察方式：,球面波照明时，可在衍射屏后任一平行平面上观察,平面波照明时，可在衍射屏后较近距离处观察,4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,4.1.6,衍射现象的分类,产生条件：,狭义：衍射屏距光源点及观察点均为无限远,广义：观察点与光源点所处平面为一对共轭平面,场点与衍射屏上的次级点源之距：,衍射积分式,：,场点的远场条件：,|,z,| ,x,2,/,l,y,2,/,l,次级点源的远场条件：,|,z|,x,0,2,/,l,y,0,2,/,l,(4.1-14),4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,4.1.6,衍射现象的分类,(2),夫琅禾费衍射：远场衍射,图样特点：,光强分布与照明方式及观察位置无关,观察方式：,远场或光源的共轭像平面上,说明：,4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,4.1.6,衍射现象的分类,菲涅耳衍射衍射属于,近场衍射,，夫琅禾费衍射属于,远场衍射,。,由衍射积分式原则上可以求解所有的衍射问题，但当波前及衍射屏形状较为复杂时，求解过程变得复杂、烦琐。一般只在简单情况下的夫琅禾费衍射或傅里叶光学中使用衍射积分。,处理菲涅耳衍射问题，大多采用半定量的菲涅耳半波带法或振幅矢量叠加法。,可以由衍射积分出发利用计算机数值模拟出各种衍射现象。,菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射的仿真实验结果,图,4.1-7,各种孔径（上）的菲涅耳衍射（中）和夫琅禾费衍射（下）仿真图样,(d),方孔,(a),圆孔,(c),环孔,(b),圆盘,(e),三角孔,(f),剃须刀片,4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,4.1.6,衍射现象的分类,本节重点,4.1,衍射现象及其数学描述,4,光波衍射与变换,1.,光的衍射现象的物理实质,2.,惠更斯原理的表述,3.,惠更斯,-,菲涅耳原理的表述,4.,巴俾涅原理的物理意义,5.,菲涅耳近似条件和夫琅禾费近似条件及区别,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,主要内容,1.,圆孔的菲涅耳衍射,2.,圆盘的菲涅耳衍射,3.,直边及单缝的菲涅耳衍射,4.,任意形状屏的菲涅耳衍射,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2.1,圆孔的菲,涅,耳衍射,(1),菲涅耳衍射的实验观察,衍射图样位置：,衍射屏后的某个平面,球面波照明下的菲涅耳衍射（,C:,衍射屏；,r,：,圆孔半径；,P,：观察平面）,发散球面波照射,C,l,z,R,P,S,r,会聚球面波照射,l,L,s,P,S,C,z,r,图,4.2-1,圆孔的菲涅耳衍射与波带分割原则,P,b,+,l,b,+,l,/2,S,O,b,+3,l,/2,C,r,M,1,b,+2,l,M,4,M,3,M,2,R,b,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,(2),菲涅耳半波带法,取波面顶点（或圆孔中心点）,O,到观察场点,P,的距离为,b,，以场点,P,为球心，分别以,b,+,l,/2,、,b,+,l,、,b,+3,l,/2,、,为半径作球面，将透过小孔的波面（或波前）截成若干环带,菲涅耳半波带或菲涅耳波带（简称波带），使得相邻两个波带的边缘点到,P,点的光程差等于半个波长，即,波带分割原则：,波带的面积及半径计算：,考察第,k,个波带（图），设其边沿点,M,k,的高度（即环带半径）为,k,，相应的垂足点,O,k,到波面顶点,O,的距离（即第,k,个波带外边沿环绕的球面的高度）为,h,k,，则该波带外边沿环绕的波面的面积为,(4.2-1),4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2.1,圆孔的菲涅耳衍射,图,4.2-2,波带半径及面积计算,P,S,O,M,k,O,k,R,b,b,+,k,l,/2,r,k,h,k,考察直角三角形,SM,k,O,k,和,PM,k,O,k,：,(4.2-2),l,b,时：,代入式（），得,(4.2-3),4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2.1,圆孔的菲涅耳衍射,同样可求得,第,k,-,1,个波带的边沿环绕的波面面积,：,(4.2-4),由,S,k,-,S,k,-1,得,第,k,个波带的面积,：,(4.2-5),考虑到,h,k,l,时），且等于：,第,k,个,波带的半径,：,被圆孔限制的波面（波前）所能分割出的,波带数目,：,P,点合振动振幅大小的计算：,假设：,同一波带上各点到,P,点的距离相等,同一波带上各面元的法线与该面元中心到,P,点连线的夹角相等,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2.1,圆孔的菲涅耳衍射,(4.2-8),任一波带在,P,点产生的光振动的振幅仅仅与该波带到,P,点的距离及方向角有关，即随着波带级数的增大而单调地减小，可表示为：,相应的振动相位依次为：,f,0,，,f,0,+,p,，,f,0,+2,p,，,f,0,+3,p,，,f,0,+(,k,-1),p,，,f,0,+,k,p,。,由此可以得到：,同一波带上各面元在,P,点产生的光振动具有,相同的振幅和相位,；,由,k,个波带在,P,点引起的,合振动的振幅,为：,(4.2-9),取奇数项：,，,，,及近似：,，,，,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2.1,圆孔的菲涅耳衍射,结论：,被圆孔限制的波面相对于场点,P,所能分割的,波带数,k,的奇偶性,决定了,P,点的光强度的极大或极小，,k,的大小又取决于照射光的波长,l,、波面的曲率半径,R,、圆孔的半径,及衍射光屏到,P,点的距离,b,。,(4.2-10),则有：,图,4.2-3,波带法中的振幅矢量,(a),k,为奇数,A,k,A,4,A,3,A,2,A,1,A,(,P,),(b),k,为偶数,A,k,A,4,A,3,A,2,A,1,A,(,P,),当波面相对于,P,点刚好分为奇数个波带时，,P,点的合振动振幅约等于第一个波带与第,k,个波带引起的振动之和的一半，即,强度取极大值,：,当波面相对于,P,点刚好分为偶数个波带时，,P,点的合振动振幅约等于第一个波带与第,k,个波带引起的振动之差的一半，即,强度取极小值,：,(4.2-12),(4.2-11),当波面相对于,P,点不一定刚好分为整数个波带时，,P,点的合振动的强度则介于极大值与极小值之间：,I,min,I,I,max,。,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2.1,圆孔的菲涅耳衍射,给定,b,、,r,、,l,、,P,点的衍射光强大小随波面的曲率半径大小,R,变化，即沿轴向移动光源或衍射屏时，,P,点的光强度出现亮暗交错变化。,给定,b,、,R,、,l,，,P,点的衍射光强大小随孔的半径,r,变化：,=,1,时：,k=,1,，,A,(,P,),=A,1,=A,max,=,2,时：,k=,2,，,A,(,P,),=A,1,-,A,2,=A,min,=,时：,k=,，,A,(,P,),=A,1,/2,当波面不受限制时，即球面波在空间自由传播时，在,P,点引起的合振动之振幅等于第一个波带对应的波面在,P,点引起的光振动振幅的一半。按惠更斯原理，波面不受限制时服从直线传播规律。可见，波面受限的结果，使得前方空间的光场出现非均匀分布，即光强度交替变换的衍射图样。,给定,R,、,r,、,l,、,P,点的衍射光强大小随距离,b,变化，即沿轴向移动观察屏时，中心点的光强度出现亮暗交错变化。,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2.1,圆孔的菲涅耳衍射,当,P,点不在轴上时，仍可以借助于上述方法分割波带，只是分割出的各个波带的面积不再相等，从而使精确估计,P,点的合振动振幅及强度变得困难。,说明：,由于衍射图样与光源点的位置有关，而实际光源总有一定的面积大小，故当光源面积较大时，其不同点引起的衍射场的非相干叠加结果，将使得衍射图样的亮暗分布消失。因此，观察菲涅耳衍射时，要求照明光源的面积必须很小，以保证各光源点引起的衍射图样不致因相互错开而消失。,图,4.2-4,离轴点的波带分割方法,P,M,3,M,1,S,O,M,2,C,M,1,P,M,3,M,2,R,M,0,M,4,M,4,图,4.2-5,离轴点波带的分布,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2.1,圆孔的菲涅耳衍射,图,4.2-6,圆孔的菲涅耳衍射图样（不同观察平面上）,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2.1,圆孔的菲涅耳衍射,图,4.2-7,圆孔的菲涅耳衍射仿真图样（不同观察平面上，,z,:,观察平面到衍射屏平面的距离）,(b),z=,1.35m,(c),z=,1.60m,(d),z=,2.00m,(e),z=,2.70m,(a),z=,1.14m,(f),z=,4.00m,(g),衍射图样中心的相对强度,z,/m,2,4,6,8,10,12,14,1.0,0.5,0,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2.1,圆孔的菲涅耳衍射,(4.2-13),菲涅耳波半带法的优缺点：,简便，但近似性较大，且仅适用于对称中心点的光振动大小的判断。,振幅矢量叠加法的基本思路：,将由菲涅耳波带法分割的每个波带再行分割，使被限制的波面细分为许多面积大小相等的细波带。即,振幅矢量叠加法的特点：,相邻两细波带在,P,点引起的光振动的相位差恒定（设为,d,），但远小于,p,；,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2.1,圆孔的菲涅耳衍射,(2),矢量图解法（振幅矢量叠加法）,A,1,+(-1),k,+1,A,k,+1,/2,A,1,A,1,-,A,2,A,2,A,1,图,4.2-4,细波带的叠加,或,(4.2-14),(4.2-15),同一细波带各处在,P,点引起的光振动具有相同的振幅和相位，不同细波带在,P,点引起的光振动振幅随细波带序数的增大而单调减小，相位则按等差级数增大。于是，若将每个细波带在,P,点引起的光振动视为一个矢量，则合振动即合矢量可表示为,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2.1,圆孔的菲涅耳衍射,将圆孔衍射屏换成一个半径相同的不透明圆盘衍射屏，则对于场点,P,而言，前,k,个波带被圆盘遮挡掉，从第,k,+1,波带起，整个波面均透过衍射屏而在,P,点参与叠加，于是,P,点的总振动振幅为,(4.2-16),此外，根据巴俾涅原理，对于半径为,r,的不透明圆盘衍射屏，其在,P,点引起的光振动振幅应等于自由波场在,P,点所生光振动振幅与该波场透过同样半径大小的圆孔后在,P,点所生光振动振幅之差，即：,(4.2-17),4.2,菲涅耳衍射,3.,光的干涉与相干性,4.2.2,圆盘的菲涅耳衍射,无论圆盘的大小和位置如何，其几何阴影中心始终为一亮点,泊松点。随着圆盘半径减小，泊松点的强度增大。,说明：,图,4.2-9,圆盘的菲涅耳衍射,(b),仿真图样,(c),相对强度分布,-6,-4,-2,0,2,4,6,(a),实验图样,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2.2,圆盘的菲涅耳衍射,若圆盘的直径很小，即,r,r,1,，则光波几乎可以完全绕过圆盘，此时在前方任一观察平面上，除几何阴影中心仍存在一个泊松点（亮点）外，其余各点的光强度均匀分布。,泊松点的存在，是几何光学直线传播定律所无法解释的，但却进一步证实了光的波动特性。并且，它表明利用一个直径很小的圆盘可以将一个点源发出的球面波会聚于轴上一点。由成像的定义，该会聚点即光源点的共轭像点。因此，若在光源处放置一个平面物，则在圆盘后便可得到该物的共轭像。,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2.2,圆盘的菲涅耳衍射,由于波面仅在垂直于直边或狭缝方向受到限制，而在平行于直边或狭缝方向不受限制，因此，可以想象一个直边或狭缝的衍射图样将在垂直于直边或狭缝方向出现强度的非均匀分布，而在平行于直边或狭缝方向仍服从自由传播时的强度分布特征。,图,4.2-10,直边的菲涅耳衍射,仿真图样,-2,-1,0,1,相对强度分布,图,4.2-11,单缝的菲涅耳衍射,仿真图样,-2,-1,0,1,2,相对强度分布,4.2,菲涅耳衍射,3.,光的干涉与相干性,4.2.3,直边及单缝的菲涅耳衍射,考虑到任何复杂的几何形状都可以看成是由一小段一小段圆弧边或直边连接而构成的，就不难根据圆孔、圆盘、直边及单缝的菲涅耳衍射特点，联想到一个具有任意复杂形状开孔屏的菲涅耳衍射图样的大致特征。,图,4.2-13,方孔的菲涅耳衍射图样,图,4.2-12,单丝的菲涅耳衍射图样,4.2,菲涅耳衍射,3.,光的干涉与相干性,4.2.4,任意形状屏的菲涅耳衍射,图,4.2-14,任意屏的菲涅耳衍射图样,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2.4,任意形状屏的菲涅耳衍射,任意屏的菲涅耳衍射图样,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2.4,任意形状屏的菲涅耳衍射,图,4.2-16,矩形孔的菲涅耳衍射仿真图样（不同观察平面上）,(a),z=,1.0m,(b),z=,1.5m,(c),z=,2.0m,(d),z=,2.5m,(e),z=,3m,图,4.2-15,正方形孔的菲涅耳衍射仿真图样（不同观察平面上）,(a),z=,0.5m,(b),z=,1.0m,(c),z=,1.5m,(d),z=,2.0m,(e),z=,2.5m,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2.4,任意形状屏的菲涅耳衍射,图,4.2-17,任意屏的菲涅耳衍射仿真图样,圣诞树,椭圆跑道,梅花飞镖,六角星,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,4.2.4,任意形状屏的菲涅耳衍射,跑道形孔的菲涅耳衍射图样,圣诞树状的菲涅耳衍射图样,字母的菲涅耳衍射图样,本节重点,4.2,菲涅耳衍射,4,光波衍射与变换,1,.,菲涅耳半波带的分割原则,2,.,振幅矢量叠加法的基本思路,3,.,圆孔的菲涅耳衍射图样的特点,4,.,圆盘的菲涅耳衍射图样特点,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,主要内容,1.,夫琅禾费衍射图样的观察,2.,单缝的夫琅禾费衍射,3.,矩形孔的夫琅禾费衍射,4.,圆孔的夫琅禾费衍射,5.,双缝与双孔的夫琅禾费衍射,(1),平面波照射,图,4.3-1,平面波照明下的夫琅禾费衍射,C,l,L,f ,P,P,0,q,F,0,S,L,0,衍射图样位置：,无限远或透镜,L,的像方焦平面上,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.1,夫琅禾费衍射图样的观察,图,4.3-2,球面波照明下的夫琅禾费衍射,C,l,L,s,s,P,0,S,衍射屏在透镜前,衍射屏在透镜后,l,L,s,s,P,0,S,C,L,衍射图样位置：,光源的共轭像平面上,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.1,夫琅禾费衍射图样的观察,(2),球面波照射,衍射图样位置：,衍射屏后较远处的任一垂轴平面上,图,4.3-3,细激光束照明下的夫琅禾费衍射,l,C,L,P,0,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.1,夫琅禾费衍射图样的观察,(3),细激光束照射,(1),衍射光场的形成机理,透过衍射屏的光场，可以看成是,由被狭缝限制的波面上每一点发出的球面子波的叠加,。由于每个球面子波均包含各种方向的光线，因此,透射光场也可以看成是各种具有不同方向的平面波的叠加,，并且每个方向的平面波均来自所有子波的贡献。,同一方向平面波在无限远或透镜的像方焦平面上会聚于同一点，满足相长干涉条件时，该点为亮点；满足相消干涉时，该点为暗点,。,C,l,L,f ,P,P,0,q,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.2,单缝的夫琅禾费衍射,垂直照射时的中心点,P,0,（线）：,总的叠加光振动复振幅来自所有子波中平行于光轴部分的贡献，并且各部分具有相同的相位延迟，故该点（线）处出现,相长干涉，强度取极大值,。,沿狭缝方向：,波面不受限制，为自由波场，其强度分布反映了光源的几何像沿狭缝方向的分布特征,点光源照明时为一,亮点,，线光源照明时为一,亮线,。,C,l,L,f ,P,0,q,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.2,单缝的夫琅禾费衍射,(2),衍射光场分布的定性分析,菲涅耳半波带法,(4.3-1),被狭缝限制的波面相对于,P,点可分割出的半波带数目：,(4.3-2),结论：,N=,2,j,+1,，即,a,sin,q,=,(2,j,+1),l,/2,时,（,j=,0, 1, 2, 3,），,P,点为,强度极大值,；,N=,2,j,，即,a,sin,q,=j,l,时,（,j=,1, 2, 3,），,P,点为,强度极小值,；,N=,0,，即,q,=,0,时，,P,点为,强度最大值,。,垂直于狭缝方向的任意点,P,（线）：,假设,：狭缝宽度为,a,，观察场点,P,与透镜光心连线的方位角为,q,相应平面波分量的方位角。过狭缝边沿点,B,作该平面波的横截面,BC,，则狭缝上两边沿点,A,、,B,发出的子波在,P,点的光程差（空气中）：,图,4.3-4,单缝的夫琅禾费衍射,C,l,L,f ,P,P,0,q,B,A,a,D,L,x,0,x,q,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.2,单缝的夫琅禾费衍射,被狭缝限制的波面相对于,P,点可分割为无数个宽度为,d,x,0,的等面积细波带,同一细波带上各点在,P,点引起的光振动振幅和相位相同,单位宽度的波面具有的光振动振幅为,A,0,/,a,位于狭缝中心点处的细波带在,P,点引起的光振动初相位为,0,宽度为,d,x,0,的细波带在,P,点引起的,光振动振幅,：,(4.3-3),相邻细波带发出的子波在,P,点的,相位差,：,(4.3-4),假设：,结果：,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.2,单缝的夫琅禾费衍射,(3),衍射光场分布的定量分析,振幅矢量叠加法,距离狭缝中心点为,x,0,处的细波带在,P,点引起的光振动初相位和复振幅：,(4.3-5),(4.3-6),所有细波带在,P,点的,叠加光振动复振幅及光强度,：,(4.3-7),(4.3-8),式中：,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.2,单缝的夫琅禾费衍射,讨论：,极大值与极小值条件,强度主极大值位置：,a,=,0,，或,q,=,0,；,主极大值强度：,I,(,P,),=I,(,P,0,),=I,max,强度极小值位置：,a,=,j,p,，或,，,j=,1, 2, 3,(4.3-9),极小值强度：,I,(,P,),=,0,=I,min,；,图,4.3-5,单缝夫琅禾费衍射图样的极大值点位置及归一化强度分布,x,=,a,x,=,tan,a,1.43,p,2.46,p,-2.46,p,-1.43,p,2,p,0,-p,p,3,p,-3,p,-2,p,0,归一化强度,a,a,0,=,0,，,sin,q,=,0,；,a,1,=,1.43,p,，,sin,q,=,1.43,l,/,a,3,l,/2,a,；,a,2,=,2.46,p,，,sin,q,=,2.46,l,/,a,5,l,/2,a,；,a,3,=,3.47,p,，,sin,q,=,3.47,l,/,a,7,l,/2,a,。,强度次极大值位置：,由,得：,.,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.2,单缝的夫琅禾费衍射,暗条纹的角位置（傍轴条件下，即,q,很小时）：,(4.3-10),暗条纹角间距（相邻两个暗纹中心对透镜光心的张角）,亮条纹角宽度,主极大值亮纹角宽度：,(4.3-11a),(4.3-11b),(4.3-12a),(4.3-12b),线宽度：,次极大值亮纹角宽度：,线宽度：,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.2,单缝的夫琅禾费衍射,条纹间距与宽度,D,q,0,D,x,0,D,x,j,图,4.3-7,计算机仿真的单缝的夫琅禾费衍射图样,图,4.3-6,单缝的夫琅禾费衍射图样,(b),线光源照明,(a),点光源照明,结论：,单缝夫琅禾费衍射图样的强度分布随衍射角度按函数关系,sin,2,(,a,/,a,2,),变化；,相邻暗条纹中心的角（线）间距相等，因而所有次极大值亮纹的角（线）宽度相等，但主极大值亮纹的角（线）宽度为次极大值的两倍,；相邻次极大值亮纹中心不等间距，但随着衍射级次的增大，相邻次极大值亮纹中心的间距趋于恒定；,亮条纹的宽度（或相邻暗条纹中心的间距）与狭缝宽度成反比，与照射光的波长及透镜焦距成正比,。采用白光照明时，除中央主极大值亮条纹为白色外，其余各级次亮条纹均为彩色条纹，且每级亮条纹均以蓝紫色开始，红色终止。,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.2,单缝的夫琅禾费衍射,衍射的实质：,逆反性,狭缝宽度越窄，表明照射光波受到得限制越强烈，因而衍射图样展开范围越大。,图,4.3-8,不同波长的单缝衍射图样强度分布,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.2,单缝的夫琅禾费衍射,矩形孔：,两个正交迭置的狭缝（设宽度分别为,a,、,b,）,衍射光场：,两个按正交方向展开的单缝衍射光场的乘积,假设：,被限制的波面相对,P,点可分为无穷多个面积为,d,x,0,d,y,0,的相同面元,同一面元上各点在,P,点引起的光振动振幅和相位相同,孔中心点处面元在,P,点引起的光振动初相位为,0,单位面积的波面在,P,点引起的光振动振幅为,A,0,/,ab,面元,d,x,0,d,y,0,在,P,点引起的光振动振幅：,相邻面元发出的子波在,P,点的相位差：,(4.3-14),(4.3-13),4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.3,矩形孔的夫琅禾费衍射,以矩形孔中心点为原点，则位于（,x,0,y,0,）处的面元在,P,点引起的光振动初相位和光振动复振幅分别为：,(4.3-15),(4.3-16),透过矩形孔的波面上的所有面元在,P,点引起的总的光振动复振幅及光强度：,(4.3-18),(4.3-17),式中：,U,(,P,0,),=KA,0,。,，,，,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.3,矩形孔的夫琅禾费衍射,图,4.3-9,方孔的夫琅禾费衍射图样,实验图样,仿真图样,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.3,矩形孔的夫琅禾费衍射,(1),定性分析,(4.3-19),单缝矩形孔多边形孔圆孔,(2),定量分析,强度分布,假设：,圆孔的半径为,a,，被衍射孔限制的波前单位面积在,P,点引起的光振动振幅为,A,0,/,p,a,2,。,结果：,衍射孔平面上（,j,r,）处,d,s,面元上的子波在观察平面上,P,点的光振动复振幅：,式中：,d,s=,r,d,r,d,f,，,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.4,圆孔的夫琅禾费衍射,(4.3-20),P,点的总复振幅和总光强度：,(4.3-21),I,(,P,0,),：中心点的强度；,J,1,(,a,),：第一类一阶贝塞尔函数；,图,4.3-10,圆孔夫琅禾费衍射的纵向强度分布,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.4,圆孔的夫琅禾费衍射,中央极大值位置：,a,=,0,，,q,=,0,图,4.3-11,圆孔夫琅禾费衍射的相对强度分布,0.5,1.0,2,J,1,(,a,)/,a,2,a,/2,p,0,0.61,1.12,1.62,-0.61,-1.12,-1.62,图,4.3-12,圆孔的夫琅禾费衍射图样,单色光,白光,次极大值位置：,sin,q,1,=,l,/,a,sin,q,2,=,l,/,a,sin,q,3,=,l,/,a,极小值位置：,sin,q,1,=,l,/,a,sin,q,2,=,l,/,a,sin,q,3,=,l,/,a,图样特征,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.4,圆孔的夫琅禾费衍射,(4.3-23),艾里斑：,圆孔夫琅禾费衍射图样的中央亮纹,角半径：,线半径：,(4.3-22),当采用图,4.3-2(b),或图光路观察时，艾里斑的线半径：,(4.3-24),结论：,衍射反比性质：,l,1,1/,a,，,，,f,（,L,）。,艾里斑与几何像点,：,l,a,/,f,（,l,a,/,L,），,D,l,1,0,圆盘与圆孔衍射的异同点,：,中心亮点强度不同，其余相同。,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.4,圆孔的夫琅禾费衍射,艾里斑及半角宽度,(1),衍射图样的形成机制,单色点光源,S,经透镜,L,1,准直后垂直照射在一双缝（孔）屏,Q,上，透过双缝（孔）的衍射光波经透镜,L,会聚在其像方焦平面上，形成夫琅禾费衍射。,图,4.3-13,双缝（孔）的夫琅禾费衍射实验装置,L,f,P,q,P,0,q,S,L,1,Q,q,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.5,双缝与双孔的夫琅禾费衍射,设狭缝宽度（圆孔半径）为,a,，两个狭缝（圆孔）的间距为,d,，根据单缝（圆孔）衍射和双光束干涉的特点可得出：,透过每个狭缝（圆孔）的光波，均在透镜,L,的像方焦平面上形成一组振幅分布相同且位置重合的夫琅禾费衍射光场，其在,P,q,点的振幅大小：,单缝,圆孔,( ),( ),(4.3-25b),(4.3-25a),两个狭缝（圆孔）产生的衍射光波彼此相干，在透镜,L,2,的像方焦平面上形成等强度的双光束干涉，叠加点的相位差：,(4.3-26),(2),衍射图样的强度分布,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.5,双缝与双孔的夫琅禾费衍射,( ),总的叠加光波复振幅：,双缝：,双孔：,(4.3-27a),(4.3-27b),总的叠加光波强度分布：,双缝：,(4.3-28a),双孔：,(4.3-28b),4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.5,双缝与双孔的夫琅禾费衍射,单缝衍射因子中央主极大值角宽度：,(4.3-32),圆孔衍射因子中央主极大值角宽度：,缝间干涉因子极大值位置：,缝间干涉因子极小值位置：,亮条纹的角宽度：,(4.3-29a),(4.3-29b),(4.3-30),(4.3-31),，,j=,0, 1, 2, 3,，,j=,0, 1, 2, 3,特点,：由于,ad,，在单缝（圆孔）衍射的每一级亮纹区域内又出现了一系列新的强度极大值和极小值点。,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.5,双缝与双孔的夫琅禾费衍射,图,4.3-14,双缝的夫琅禾费衍射图样强度分布（归一化）,d=,5,a,a,/,p,d=,10,a,a,/,p,图,4.3-15,双缝的夫琅禾费衍射图样,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.5,双缝与双孔的夫琅禾费衍射,单缝与双衍射图样比较（仿真）,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.5,双缝与双孔的夫琅禾费衍射,图,4.3-16,双孔的夫琅禾费衍射图样,双孔的夫琅禾费衍射图样（仿真）,双缝（孔）的夫琅禾费衍射实际上是,单缝（圆孔）的夫琅禾费衍射与双光束干涉的综合效应。,双缝衍射图样实际上是,受单缝衍射因子调制的双光束干涉图样。,双光束干涉的结果，使得单缝（圆孔）衍射图样的背景上叠加了一组等间隔余弦平方型干涉条纹。,从杨氏双缝（孔）干涉角度来讲，,由于单缝（圆孔）衍射因子的存在，干涉条纹并不等强度，而是随着衍射角的增大而逐渐减小。,只有当缝宽（圆孔半径）远远小于波长时，,单缝（圆孔）衍射的中央亮纹的角宽度趋于无限大，且强度趋于均匀，从而使得在此中央亮纹区域内的双缝干涉条纹的强度近似相等。,这就是说，,杨氏双缝（孔）干涉图样实际上是位于单缝（圆孔）衍射中央亮纹区域内的双缝（孔）衍射图样,在缝宽（孔径）较小情况下的一种极限形式,。,结 论,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,4.3.5,双缝与双孔的夫琅禾费衍射,本节重点,4.3,夫琅禾费衍射,4,光波衍射与变换,1,.,夫琅禾费衍射图样的实验观察光路,2,.,单缝的夫琅禾费衍射图样的强度分布特点,3,.,圆孔的夫琅禾费衍射图样的强度分布特点,4,.,艾里斑的特点及与圆孔大小的关系,5,.,双缝与单缝、双孔与单孔的夫琅禾费衍射的联系,4.4,衍射光栅,4,光波衍射与变换,4.4,衍射光栅,4,光波衍射与变换,主要内容,1.,光栅及其结构特点,4.,正弦光栅的夫琅禾费衍射,2.,朗琴光栅的夫琅禾费衍射,3.,闪耀光栅,5.,体光栅的布拉格衍射,6.,光栅的云纹效应,7.,塔耳博特效应,(1),定义,狭义：,平行、等宽且等间隔的多狭缝衍射屏（朗琴光栅）,广义：,具有周期性空间结构的衍射屏,图,4.4-1,朗琴光栅,图,4.4-2,正弦光栅,4.4,衍射光栅,4,光波衍射与变换,光栅及其结构特点,4.4,衍射光栅,4,光波衍射与变换,正交光栅（周期：,500nm,）,硅片上离子束刻蚀的光栅（周期：,440nm,）,(3),光栅的特征参数,光栅常数（周期）：,相邻栅线的间距，即空间周期的长度，以,d,表示,光栅频率：,光栅常数的倒数,1/,d,，以,f,0,表示,(4),光栅的用途,衍射分光，高频调制,(2),分类,按照明方式：,透射型（平面、三维），反射型（平面）,按调制光波方式：,振幅型，相位型，混合型,按结构特点：,矩形，正弦型，阶跃型,4.4,衍射光栅,4,光波衍射与变换,光栅及其结构特点,(1),衍射图样的形成机制,单色点光源,S,经透镜,L,1,准直后垂直照射在一朗琴光栅,G,上，透过光栅的衍射光波经透镜,L,会聚在其像方焦平面上，形成夫琅禾费衍射。,图,4.4-3,光栅的夫琅禾费衍射,L,f,P,q,P,0,q,S,L,1,G,q,4.4,衍射光栅,4,光波衍射与变换,4.4.2,朗琴光栅的夫琅禾费衍射,设光栅的透光部分包含,N,个狭缝，每个狭缝宽度为,a,，相邻两个狭缝的间距（光栅常数）为,d,，透过单个狭缝的光波在,P,0,点的振幅和强度分别为,A,0,和,I,0,=A,0,2,。根据单缝衍射和多光束干涉的特点可得出：,透过每个狭缝的光波，均在透镜,L,的像方焦平面上形成一组,振幅分布相同且位置重合的夫琅禾费衍射光场，,其中透过第,m,个狭缝的衍射光波在,P,点的振幅大小：,(4.4-1),( ),相邻狭缝对应的衍射光波在叠加点的相位差相等，,并,且等于：,(4.4-2),( ),4.4,衍射光栅,4,光波衍射与变换,4.4.2,朗琴光栅的夫琅禾费衍射,(4.4-4),各个狭缝引起的单缝衍射光波在透镜,L,的像方焦平面上形成,等强度的多光束干涉，,其在,q,方向总的叠加光波复振幅和强度分布分别为,(4.4-3),缝间干涉因子：,单缝衍射因子：,4.4,衍射光栅,4,光波衍射与变换,4.4.2,朗琴光栅的夫琅禾费衍射,(4.4-5),主极大值位置：,或,j=,0, 1, 2, 3,主极大值强度：,中央主极大值强度：,(4.4-6),(4.4-7),（,a,=,0,）,极小值位置：,j,=1, 2, 3,，但,j,N, 2,N, 3,N,(4.4-8),极小值强度：,(4.4-9),4.4,衍射光栅,4,光波衍射与变换,4.4.2,朗琴光栅的夫琅禾费衍射,(2),衍射图样的强度分布,次极大值位置：,(4.4-10),次极大值强度：,(4.4-11),讨 论：,由于,a,D,q,jW,），衍射图样为宽阔的暗背景下的一组锐细的亮线。,当衍射角较小时，主极大值条纹的半角宽度和角间距近似为常数：,(4.4-19),(4.4-18),4.4,衍射光栅,4,光波衍射与变换,4.4.2,朗琴光栅的夫琅禾费衍射,光栅方程：,平面衍射光栅在给定衍射角方向,出现主极大值中心的必要条件,(4.4-21),平行光垂直入射：,平行光斜入射：,，,j=,0, 1, 2, 3,，,j=,0, 1, 2, 3,(4.4-20),符号规则：,以光栅法线为基准，入射光与衍射光位于同侧时，入射角,q,0,前取正号；异侧时，取负号。,图,4.4-6,平行光倾斜照射光栅时的夫琅禾费衍射,(a),同侧,q,q,0,G,(b),异侧,q,q,0,G,4.4,衍射光栅,4,光波衍射与变换,4.4.2,朗琴光栅的夫琅禾费衍射,(4),光栅方程,缺级现象：,衍射图样中亮条纹的缺位现象。,图,4.4-7,光栅衍射的缺级现象（,N=,20,）,d=,2,a,d=,3,a,d=,5,a,d=,4,a,给定衍射角方向上相应级次的主极大值条纹中心与单缝衍射的某一级极小值位置重合。,即该衍射方向同时满足条件：,d,sin,q,=,j,l,和,a,sin,q,=,j,l,，故而受单缝衍射因子的调制，该级主极大值条纹强度等于,0,。,(4.4-22),缺级亮条纹级次：,缺级的原因：,4.4,衍射光栅,4,光波衍射与变换,4.4.2,朗琴光栅的夫琅禾费衍射,(5),缺级现象,光栅方程只表示了在给定衍射角方向出现主极大值中心的必要条件，即使该条件已得到满足，但同时在该方向又满足单缝衍射的极小值条件，则该方向上的主极大值将并不出现，即发生缺级现象。,结 论,4.4,衍射光栅,4,光波衍射与变换,4.4.2,朗琴光栅的夫琅禾费衍射,光栅光谱：,根据光栅方程，在给定亮纹级次情况下，衍射角与波长成正比。因此，复色光照射时，同一级次不同波长的衍射主极大值位置不同，从而形成的一组不同波长彼此分开的锐细的彩色谱线。,光栅光谱仪：,基于光栅衍射分光原理的光谱仪,摄谱仪、单色仪、分光计。,图,4.4-8,光栅光谱仪原理,L,2,平行光管,蓝,绿,红,白光,光源,L,1,S,0,级衍射,光栅,4.4,衍射光栅,4,光波衍射与变换,4.4.2,朗琴光栅的夫琅禾费衍射,(6),光栅光谱,同一级谱线中，长波谱线的衍射角大于短波谱线；,随着级次的增大，不同波长、不同级次的谱线可能发生重叠；,白光照射时，除中央,0,级亮纹中心仍为白色外，其余各级均为自短波长到长波长排列的连续光谱。,光栅光谱仪的色散本领（色散率）,衍射角随波长的变化率,角色散率：,线色散率：,(4.4-23),(4.4-24),结论：,光栅光谱的色散本领与光栅常数及衍射光谱级次有关。,衍射级次越高，光栅常数越小，色散本领越大。,4.4,衍射光栅,4,光波衍射与变换,4.4.2,朗琴光栅的夫琅禾费衍射,光栅光谱的特点,光栅光谱与棱镜光谱的比较,棱镜光谱：,非匀排光谱，只有一级。起因于折射率色散，,，,q,；,光栅光谱：,匀排光谱（小角度），有多级。起因于衍射色散，,，,q,。,光栅光谱仪的量程,由于光栅的衍射角最大不超过,90,o,（,q,j,M,。满足这一关系的波长范围，称为光谱仪在该衍射级的自由光谱范围。,对于,1,级光谱：,l,m,l,M,/2,。,光栅光谱仪的自由光谱范围,4.4,衍射光栅,4,光波衍射与变换,4.4.2,朗琴光栅的夫琅禾费衍射,由于透镜总是存在色差问题，实际光谱仪中都尽量避免适用透镜进行光谱成像，而是采用凹面反射镜来会聚衍射光谱。因为反射镜系统是理想的消色差系统。有的光栅光谱仪直接采用凹面反射式光栅，既作为分光器件，又作为成像器件，从而大大简化了光路系统。,说
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