第三讲有效前沿与最优证券组合

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三讲,有效前沿与最优证券组合,有效前沿的定义：,定义,3.1,设,S,是,N,种证券的选择集，如果其中存在一个子集,F(p,),，具有如下性质：,1.,在给定的标准差（或方差）中，,F(p,),中的证券组合在,S,中具有最大的期望收益率。,2.,在给定的期望收益率中，,F(p,),中的证券组合在,S,中具有最小的标准差（或方差）。,则称,F(p,),为有效前沿（,efficient frontier,），简称前沿（边界）。,3.1 N,种风险证券组合的有效前沿,（一）两种风险证券组合的有效前沿,两种风险证券,A,和,B,，,A,和,B,的期望收益率为,a,和,b,，方差和协方差分别为,对任一组合,p= (x,，,1-x),，,x0,，,1,，证券组合,p,的期望收益率和方差如下：,讨论证券组合,P,的有效前沿形状,1,）,2,）,3,）,2,种和,3,种风险证券的有效前沿,p,B,p,C,ab,=-1,2,ab,=1,4,3,C,D,1,B,A,A,O,p,O,p,图,3.1,图,3.2,例题,两种风险证券,A,和,B,，,A,和,B,的期望收益率为,a,=4.6%,和,b,=8.5%,，方差和协方差分别为,求这两种风险资产的有效前沿。,N,种风险证券的有效前沿,p,O,p,图,3.3,E,（二,)N,中风险证券组合泽的有效前沿,设市场上有,N,种风险证券，它们的收益率和方差为有限值 ，这些收益率的方差,-,协方差矩阵,V,为正定矩阵 ，,N,种证券的期望收益率为：,N,种证券组合,P,表示为：,证券组合期望收益率和方差分别为,按有效前沿的定义，求有效前沿即要求解下规划问题：,构造拉格朗日函数,一阶条件：,由于,V,为正定阵，,V,的逆矩阵存在。,求解得,对于另一个指定的 ，在前沿上的证券组合为：,两个证券组合的协方差为,令 ，则得前沿上的证券组合方差为：,A/C MVP,O (1/C),1/2,p,3,2,允许对无风险证券投资的有效前沿,无风险证券（例如国库券等）的期末收入是确定的。,因此这种证券的方差为零，从而它和任何一种股票的协方差也为零。我们把无风险证券简称为,债券,。,一种风险证券和一种无风险证券,股票,A,和债券,以,记投入债券的比例，则,是购买股票的比例。,证券组合的期望收益率和标准差分别为：,一种风险证券和一种无风险证券,得证券组合的期望收益率 和标准差的关系：,图,3.5,B,A,C,。,O,两种股票,A,和,B,，及一种债券,有效前沿为从,(0,，,r,f,),出发，与双曲线,AB,相切的射线,C,A,D,B,O,e,N,种股票及一种债券,问题,s.t,构造拉格朗日函数：,一阶条件：,得证券组合的投资比例,其中,证券组合的方差为,或,切点证券组合,(tangency portfolio),切点证券组合,e,的投资比例,切点的证券组合,3.3,最优证券组合,N,种风险证券的情形,设投资者的效用函数为 ，并设,和 ，下标,1,，,2,分别表示对,U,的第,1,，,2,个变元求导。 意味着对给定的风险 ，投资者认为期望回报率越大越好。 意味着对给定的期望回报率 ，投资者认为风险 越小越好。,这时投资者的问题可表述为,s.t,构造拉格朗日函数,一阶条件,一阶条件变形得：,从而得出：,把,代回,X,中可得最优投资比例 ：,定理,3.1,当市场上只有风险证券时，任何投资者的最优证券组合都是由 和 的凸组合构成的。,又最优证券组合,O*,是投资者的无差异曲线和有效前沿的切点，故有：,推论,1,任何效用无差异曲线和有效前沿的切点都是由 和 的凸组合构成的。,有效前沿又可以看成由所有切点组成，因而有：,推论,2,有效前沿上任何一点都是 和 的凸组合。,最优证券组合,存在无风险证券的情形,设,N,种风险证券和一种债券，在风险证券上的投资比例为,X,，在无风险证券上的投资比例为（,1 X,I,），从而证券组合的期望收益率,证券组合的期望收益率,投资者的问题可表示为：,一阶条件,最优投资比例为,在债券上的投资比例为,(1 X*,I),定理,3.2,(,两资金分离定理，,two-fund separation),当市场上存在无风险证券时，每个投资者有一个效用最大的证券组合，它由无风险证券和切点证券组合构成。,计算方法与例题,切点,e,证券组合的计算方法,例,3.1,设风险证券,A,和,B,分别有期望收益率,r,1,=12%,，,r,2,= 8%,，方差分别为,1,= 10,和,2,= 4,，它们之间的协方差,12,= 2,，又设无风险证券的收益率,r,f,= 6%,，求切点证券组合,X,e,.,三种解法。,