相似矩阵学习指导

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,相似矩阵学习指导,1,设,A,n,=,？,2,引例1,设,求,A,n,分析,3,引例2,设,求,分析,4,1.,向量的内积、长度及正交性,2.方阵的特征值与特征向量3.相似矩阵4.对称矩阵的对角化5.典型例题,相似矩阵,5,定义1,内积,1.,向量的内积、长度及正交性,6,定义2,令,长度,范数,7,定义3 向量的夹角,8,定义4,正交向量组,一组两两正交的非零向量，称为正交向量组,9,（1）正交化,，取,，,标准正交基的求解,10,（2）单位化，,取,11,正交矩阵,定义5,如果,n,阶矩阵,A,满足,A,T,A,=,E,（,即,A,-1,=,A,T,），,那么称,A,为正交矩阵，简称正交阵。,方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行,（列）向量都是单位向量，且两两正交,12,2.方阵的特征值与特征向量,特征值,13,例2 设3阶矩阵,A,的特征值为1，-1，2，,求,A,*+3,A,-2,E,的特征值。,例1,设 是方阵,A,的特征值，证明,14,有关特征值的一些结论,15,定理,定理,属于同一个特征值的特征向量的非零线性,组合仍是属于这个特征值的特征向量,有关特征向量的一些结论,16,特征值与特征向量的求解,17,相似矩阵的定义,3.相似矩阵,18,若与相似，则与的特征多项式,相同，从而与的特征值亦相同,相似矩阵的性质,19,(4)能对角化的充分必要条件是有个线,性无关的特征向量,(5)有 个互异的特征值，则 与对角阵相似,20,利用相似变换将方阵对角化,21,4.对称矩阵的对角化,对称矩阵的性质,22,利用正交矩阵将对称矩阵,A,对角化的步骤,为,：,利用正交矩阵将对称阵对角化,将特征向量正交化;,3.,将特征向量单位化.,4.,2.,1.,23,1.,将线性无关向量组化为正交单位向量组,2.,特征值与特征向量的求法,3.关于特征值的其它问题,4.判断方阵,A,可否对角化,5.,利用正交矩阵将对称阵对角化,5.典型例题,24,例：,将向量组,标准正交化.,解,先,正交化,，,取,1.,将线性无关向量组化为正交单位向量组,25,再,单位化,，,得标准正交向量组如下,26,2.,特征值与特征向量的求法,27,例,：,解,28,所以,kp,1,(,k,0),是对应于,的全部特征向量。,29,所以,kp,2,(,k,0),是对应于,的全部特征向量。,30,解,3.关于特征值的其它问题,31,方法一,32,方法二,33,方法三,34,解,35,36,A,能否对角化？若能对角,例1,：,解,3.,判断方阵,A,可否对角化,37,解之得,基础解系,38,所以,可对角化,.,39,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置,要相互对应,40,利用正交矩阵将对称矩阵,A,对角化的步骤,为,：,4.利用正交矩阵将对称阵对角化,将特征向量正交化;,3.,将特征向量单位化.,4.,2.,1.,41,解,例,设,求出正交矩阵,P,，使,P,-,1,AP,为对角阵.,42,于是得正交阵,43,例 设,解,得,A,的特征值,于是,求,A,n,44,45,46,47,谢谢！,48,