大物 17 简谐振动

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,第,17,章 振动,1,2,振动,任一物理量在某一定值附近往复的变化。,机械振动,物体在其稳定平衡位置附近所做的往复运动。,周期和非周期振动,例如：,一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等,.,其运动形式有直线、平面和空间振动。,1,71,简谐振动,2,3,物体振动时,若决定其位置的坐标按余弦（或正弦）函数规律随时间变化,这样的振动称为简谐振动。,谐振子,作简谐运动的物体。,简谐运动,复杂振动,合成,分解,一、简谐振动,1,71,简谐振动,3,4,弹簧振子的振动,产生振动的原因：,弹性恢复力、惯性。,自由振动：,物体只在弹性恢复力作用下所作的振动。,4,5,（,1,）受力特点,线性恢复力,（,2,）动力学微分方程,令,5,6,简谐运动的微分方程,简谐运动的运动方程,速度,加速度,6,7,图线表示法,7,8,简谐运动的三项基本特征,讨论,8,9,1.,振幅,2.,周期、频率,弹簧振子周期,周期,图,二、简谐运动的振幅、周期、频率和相位,由初始条件决定。,9,10,周期,频率,角频率,周期和频率取决于振动系统,本身,的性质。,（,2 s,内振动的次数）,10,11,3.,相位,物理意义 描述质点,t,时刻的运动状态。,相位在 内变化,质点,无相同,的运动状态；,初相位,描述质点,初始,时刻的运动状态。,两个振动之间的相位之差 。,4.,相位差,11,12,（,1,）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间。,12,13,x,2,超前,同步,反相,（,2,）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异。,13,14,利用初始条件,三、振幅和初相的确定,得,振幅和初相,14,15,例,1,物体沿,x,轴作谐振动，振幅为,12cm,，周期为,2s,，当,t,= 0,时，物体的坐标为,6cm,，且向,x,轴正方向运动，求,(1),初相；,(2),t,=0.5s,时，物体的坐标、速度和加速度；,(3),物体在平衡位置，且向,x,轴负方向运动的时刻开始计时的初相， 并写出运动方程。,解,设选向右为,x,轴的正方向，并设物体的运动学方程为,15,16,又,当,t,=0,时,：,x,0,= 6cm,，,v,0, 0,。,或,因为,v,0, 0,，所以,运动学方程为,(1),根据,题意知：,A,=12cm,16,17,负号表示,t,=0.5s,时，物体的速度和加速度方向皆与,x,轴正方向相反。,(2),t,=0.5s,时，坐标、速度和加速度分别为,17,18,或,因为,v,0,0,，所以,运动学方程为,(3),根据,题意，,当,t,=0,时,：,x,0,=0,，,v,0, 0,，将这些条件代入运动学方程，得,18,19,l,0,例,2,一劲度系数为,k,的轻质弹簧,上端固定,下端悬挂一质量为,m,的物体,M,。平衡时,弹簧将伸长一段距离,st,称为静止变形,见图。如果再用手拉物体,然后无初速地释放。,解,以物体,M,为研究对象,它共受重力,P,和弹性回复力,f,两个力的作用。,试写出物体,M,的运动微分方程，并确定它的运动规律。,19,20,当物体处于平衡位置,时,l,0,在运动过程中，物体所受的合力,F,R,为,20,21,根据牛顿第二定律，得,令,简谐振动,21,22,k,1,k,2,k,k,即,弹簧串联的等效劲度系数为,例,3,一重为,m,的物体用两根弹簧竖直悬挂，各弹簧的劲度系数标明在图上,求图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率。,解,对两弹簧串联情况，弹簧的静止形变为,22,23,所以，系统的固有频率,为,k,1,k,2,k,k,同理，,对两弹簧并联情况,23,24,例,4,单摆的运动分析。,取逆时针方向为角位移,的正向，重力的切向力,在,很小时，,故,l,摆球的切向加速度,24,25,由牛顿第二定律，得,或,与弹簧振子的微分方程比较,在角位移,很小时,单摆的振动是简谐运动。,25,26,角频率,周期,频率,26,27,谐振动的旋转矢量表示法,旋转的矢量,旋转矢量的端点在,x,轴上的投影点的运动为简谐振动。,长度为,A,，,以,O,为原点作角速度为,的逆时针旋转。,27,28,t,时刻,t=,0,时刻,28,29,旋转矢量与谐振动的对应关系,的长度,谐振动的振幅,A,谐振动的角频率,的角速度,谐振动的初相位,|,t,= 0,与,x,轴的夹角,29,30,例,7,一音叉振动的角频率,=,6.2810,2,rad/s,，音叉尖端的振幅为,1.0mm,。试用旋转矢量法求以下三种情况的初相并写出运动方程,(1),当,t,= 0,时,音叉尖端通过平衡位置向,x,轴正方向运动；,(2),当,t,=0,时,音叉尖端在,x,轴的负方向一边且位移具有最大值,;,(3),当,t,= 0,时,音叉尖端在,x,轴的正方向一边，离开平衡位置距离为振幅之半，且向平衡位置运动 。,= 3,/2,解,(1),根据题意，,t,= 0,时,旋转矢量的位置如图所示。,30,31,=,=,/3,(2),t,= 0,时,旋转矢量的位置如图所示。,(3),t,= 0,时,旋转矢量的位置如图所示。,31,32,例,8,两质点沿,x,轴作同方向同振幅的谐振动,其周期均为,5s,，当,t,= 0,时,质点,1,在 处向,x,轴负方向运动，而质点,2,在,-,A,处。试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差,以及两个质点第一次经过平衡位置的时刻 。,解,两质点的谐振动方程分别为,32,33,向,x,轴负方向运动,其旋转矢量,A,1,如图所示。,质点,1,在,t,= 0,时，,由图得初相角,1,=,/4,同理,旋转矢量,A,2,如图所示。,初相角,2,=,两质点的初相差,2,-,1,=,- /4 = 3/4,质点,2,的相位比质点,1,的相位超前,3/4,。,33,34,由图得，质点,1,第一次经过,平衡位置的时刻为,质点,2,第一次经过,平衡位置的时刻为,t,1,=,T,/8 = 0.625s,t,2,=,T,/4 = 1.25s,34,35,谐振动的能量,以弹簧振子为例,设弹簧原长处弹性势能为零,35,36,弹性回复力是,保守力,，作,简谐,振动的系统,机械能守恒。,机械能,动能,势能,36,37,平均动能,平均势能,谐振动在一个周期内的平均势能和平均动能,相等。,37,一、,同方向同频率谐振动的合成,17.6,谐振动的合成,方法一 解析法,38,令,其中,39,方法二 旋转矢量法,40,（,1,）,相位差,讨论,相互加强,41,（,2,）,相位差,相互削弱,42,一般情况,相位差,相互加强,相互削弱,相位差,43,合成谐振动的振幅,求合成谐振动的初相位、振幅和振动方程。,1,= 0,，,2,= ,，,A,1,=4cm,，,A,2,=2cm,例,1,质点同时参与,的两个谐振动,解,合成运动仍是谐振动,44,合成谐振动的初相,合成谐振动的振动方程为,旋转矢量法也可得到同样的结果。,45,合振动,合振幅,二、同方向不同频率谐振动的合成、拍,合振动不再是简谐振动。,在,A,1,+,A,2,和,之间周期性变化。,振幅调制,46,若,当,2,1,时,2, ,1,2,+,1,。,合振动可看作是振幅缓变的近似简谐振动。,振幅部分,频率部分,47,拍的现象,48,