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返回,后页,前页,一、三角级数正交函数系,在科学实验与工程技术的某些现象中,常会碰到一,种周期运动.,最简单的周期运动,可用正弦函数,来描述.,由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动,其中,A,为振幅,.,为初相角,为角频率,振动,y,的是,较为复杂的周期运动,则,常常是几个简谐振动,由于简谐振动,的周期为,所以函数(2)周期为,T,.,对无穷多个简谐振动进行叠,加就得到函数项级数,的叠加：,若级数,(3),收敛,则它所描述的是更为一般的周期运,动现象. 对于级数(3), 只须讨论,(如果,可,用,代换,x,)的情形. 由于,所以,它是由三角函数列(也称为三角函数系),所产生的一般形式的三角级数.,容易验证,若三角级数(,4,)收敛,则它的和一定是一,个以,为周期的函数.,关于三角级数(,4,)的收敛性有如下定理:,则级数,( ),可写成,定理,15.1,若级数,收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.,证 对任何实数,x,由于,根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论.,为进一步研究三角级数,(4),的收敛性,先讨论三角函,数系,(5),的特性,.,首先容易看出三角级数系,(5),中所,其次,在三角函数系,(5),中,任何两个不相同的函数,有函数具有共同的周期,的乘积在 上的积分等于零,即,而(,5,)中任何一个函数的平方在,上的积分都,不等于零,即,若两个函数,与,在,上可积, 且,则称,与,在,上是正交的, 或在,上具有正,交性. 由此三角函数系(4)在,上具有正交性.,或者说,(5),是正交函数系.,现应用三角函数系,(5),的正交性来讨论三角级数,(4),的和函数,f,与级数(4)的系数,之间的关系.,定理,15.2,若在整个数轴上,且等式右边级数一致收敛,则有如下关系式:,二、以 为周期的函数的傅里叶级数,证 由定理条件, 函数,f,在,上连续且可积. 对,(9),式逐项积分得,由关系式,(6),知,上式右边括号内的积分都等于零.,所以,即,又以,乘(9)式两边 (,k,为正整数), 得,从第十三章1,习题4知道,由级数,(9),一致收敛,可,得级数,(11),也一致收敛.,于是对级数,(11),逐项求积,有,由三角函数的正交性, 右边除了以,为系数的那一,项积分,外,其他各项积分都等于,0,于是得出:,即,同理,(9),式两边乘以,sin,kx,并逐项积分,可得,由此可知, 若,f,是以,为周期且在,上可积的,函数, 则可按公式(10)计算出,和, 它们称为函数,f,(,关于三角函数系,(5) ),的傅里叶系数,以,f,的傅里,叶系数为系数的三角级数,(9),称为,f,(,关于三角函数,系,),的傅里叶级数,记作,这里记号,“”,表示上式右边是左边函数的傅里叶级,数,由定理,15.2,知道:,若,(9),式右边的三角级数在整,个数轴上一致收敛于和函数,f,则此三角级数就是,f,的傅里叶级数,即此时,(12),式中的记号,“”,可换为,函数,f,出发,按公式,(10),求出其傅里叶系数并得到,傅里叶级数,(12),这时还需讨论此级数是否收敛.,如果收敛,是否收敛于,f,本身.,这就是下一段所要,叙述的内容.,等号. 然而, 若从以 为周期且在,上可积的,函数,f,在,上按段光滑, 则在每一点,f,的傅里叶级数,(12),收敛于,f,在点,x,的左、右极限的,算术平均值,即,其中,为,f,的傅里叶系数.,定理的证明将在,3,中进行.,定理15.3(傅里叶级数收敛定理),若以,为周期的,三、收敛定理,注,尽管傅里叶级数的收敛性质不如幂级数,但它对,函数的要求却比幂级数要低得多,所以应用更广.,而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉.,概念解释,1. 若,f,的导函数在,上连续, 则称,f,在,a,b,上光,滑.,2. 如果定义在,上函数,f,至多有有限个第一类间,断点,其导函数在,a,b,上除了至多有限个点外都存,在且连续, 并且在这有限个点上导函数,的左、右,极限存在, 则称,f,在,上按段光滑.,在,a,b,上按段光滑的函数,f,有如下重要性质:,(i),f,在,上可积.,(ii) 在,上每一点都存在, 如果在不连续,点补充定义, 或, 则,还有,(iii) 在补充定义,在,上那些至多有限个不存在,导数的点上的值后 ( 仍记为,),在,a,b,上可积.,从几何图形上讲, 在,区间,a,b,上按段光滑,光滑函数,是由有限个,多有有限个第一类间,断点,(,图,15-1),.,光滑弧段所组成,它至,收敛定理指出,f,的傅里叶级数在点,x,处收敛于 在,该点的左、右极限的算术平均值,而当,f,在点,x,连续时,则有,即此时,f,的傅里叶级数收敛于,. 这样便有,上按段光滑, 则,f,的傅里叶级数在,上收敛,于,f,.,推论 若,f,是以 为周期的连续函数, 且在,所以系数公式(10)中的积分区间,可以改为长,其中,c,为任何实数.,注,2,在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时,经常,只给出函数在,(或,)上的解析式, 但读,注,1,根据收敛定理的假设,f,是以 为周期的函数,度为 的任何区间, 而不影响,的值:,者应理解为它是定义在整个数轴上以,为周期的函,数, 即在,以外的部分按函数在,上的对,应关系做周期延拓. 也就是说函数本身不一定是定,义在整个数轴上的周期函数, 但我们认为它是周期,函数. 如,f,为,上的解析表达式, 那么周期延拓,后的函数为,如图,15-2,所示. 因此当笼统地说函数的傅里叶级数,时就是指函数,的傅里叶级数.,例 1 设,求,f,傅里叶级数展,开式.,解 函数,f,及其周期延拓后的图像如图,15-3,所示,显然,f,是按段光滑的.,故由傅里叶级数收敛定理, 它可以展开成傅里叶级,数.,由于,当,n,1,时,所以在开区间,上,在,时, 上式右边收敛于,于是, 在,上,f,的傅里叶级数的图象如图15-4,所示( 注意它与图15-3 的差别,).,例,2,将下列函数展开成傅里叶级数:,解,f,及其周期延拓的,图形如图,15-5,所示.,显然,f,是按段光滑的,因此可以展开成傅里,叶级数.,在(,)中令, 在,上计算傅里叶系数如下:,所以当,时,当,时, 由于,所以,因此,当,或 时, 由于,由(,14,)或(,15,)都可推得,注 上式提供了一个计算,的方法. 还可以找出其他,展开式来计算, 关键是收敛速度要快.,例,3,在电子技术中经常用到矩形波(如图,15-6,所示),反映的是一种复杂的周期运动,用傅里叶级数展开,后,就可以将复杂的矩形波看成一系列不同频率的,简谐振动的叠加, 在电工学中称为谐波分析.,设,是周期为,的矩形波函数( 图15-6 ),在,上的表达式为,求该矩形波函数的傅里叶展开式.,解 由于,是奇函数, 积分区间是对称区间, 所以,于是当,时,当,时,级数收敛到,0,(,实际上级数每一项都为,0,).,复习思考题,设函数,f,在,上可积, 并且, 这样,的函数能否求出其傅里叶级数?,
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