传染病模型与微分方程数值解

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,常微分方程的数值解及实验,在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到,解在若干个点上满足规定精确度的近似值,，或者得到一个,满足精确度要求的便于计算的表达式,。,高数中微分方程解法在实际中基本不会直接使用,(一)常微分方程数值解,因此，研究常微分方程的数值解法十分必要,。,2,1、用差商代替导数,若步长h较小，则有,故有公式：,此即,欧拉法(向前欧拉法).,(二)建立数值解法的一些途径,对应有隐式,欧拉法,3,2、使用数值积分,对方程y=f(x,y), 两边由x,i,到x,i+1,积分,并利用,梯形公式, 有,实际应用时，与欧拉公式结合使用,故有公式,梯形方法/*trapezoid formula*/,此即,改进的欧拉法,4,中点欧拉公式 /* midpoint formula */,中心差商近似导数,x,0,x,2,x,1,5,3、使用泰勒公式,以此方法为基础，有,龙格-库塔法,、,线性多步法,等方法,库塔,三阶方法,四阶龙格-库塔公式,6,4、数值公式的精度,当一个数值公式的截断误差可表示为o(h,k,)时(k为正整数，h为步长)，称它是一个,k阶公式,。,k越大，则数值公式的精度越高。,欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。,线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。,7,t，x= solver( f, ts, x,0, options）,ode45 ode23 ode113ode15sode23s,由待解方程写成的m-文件名,ts=t,0,，t,f,，t,0、,t,f,为自变量的初值和终值,函数初值条件,自变量值,函数值,用于设定,误差限,(缺省时设定相对误差10,-3, 绝对误差10,-6,), 命令为：options=odeset(reltol,rt,abstol,at),rt, at：分别为设定的,相对误差,和,绝对误,差.,(三)用Matlab软件求常微分方程的数值解,t,x=ode23(f, ts, x0) 3级2阶龙格-库塔公式,t,x=ode45(f, ts, x0) 5级4阶龙格-库塔公式,8,1、在解n个未知函数的方程组时，x,0,和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.,2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.,注意:,9,设取步长 ，从 到 用四阶龙格-库塔方法,微分方程求解实例,求解初值问题,h=0.2;,ts=0:h:1;,y0=1;,t, x=ode45(dfun1,ts,y0);,t, x, plot(t,x),function dx=dfun1(x,y),dx=y-2*x/y;,建立m-文件,输入命令,3、结果如图,10,解:,令 y,1,=x，y,2,=y,1,1、建立m-文件,dfun2.m如下：,function dx=dfun2(t,y),dx=,y(2);,(1-,y(1)2)*y(2)-y(1);,例,则微分方程变为一阶微分方程组：,t,y=ode45(dfun2,0,20,2,0);,t,y,plot(t,y(:,1),r-,t,y(:,2),b.-);,hold on,plot(y(:,1),y(:,2),co);,hold off,legend(t x, t x, x y);,2、取t0=0, tf=20, 输入命令：,11,3、结果如图,t,x=ode45(dfun2,0,20,2,0),plot(t,x(:,1),r-,t,x(:,2),b.-);,hold on,plot(x(:,1),x(:,2),co);,hold off,legend(t x,t x,x y);,12,描述对象特征随时间,(,空间,),的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其,变化率,之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,动态模型,13,5.1 传染病模型,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,本世纪初, 瘟疫常在世界上某地流行, 随着人类文明的不断进步, 很多疾病, 诸如天花、霍乱已经得到有效的控制. 然而, 即使在今天, 一些贫穷的发展中国家，仍出现传染病流行的现象,医疗卫生部门的官员与专家所关注的问题是：,问题提出,感染疾病的人数与哪些因素有关?,14,问题分析,不同类型传染病的传播过程有不同的特点, 故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型,由于传染病在传播的过程涉及因素较多，在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建立完善的数学模型.,思路,：,针对,结果中的不合理之处,，逐步修改假设，最终得出较好的模型。,先做出最简单的假设，对得出的结果进行分析，,15,模型一,模型假设：,（1）一人得病后，久治不愈，人在传染期内不会死亡。,(2) 假设每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,设已感染人数 (病人),x,(,t,), 假设是连续可微函数,建模,?,16,举个实例,x=0:0.1:10;,y=exp(x);,plot(x,y,b-);,最初只有1个病人，1个病人一天可传染1个人,exp(10) = 22026,17,被传染的机会也减少，于是,将变小。,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),模型缺点,问题：,随着时间的推移，病人的数目将无限增加，这一点与实际情况不符,模型修改的关键：,的变化规律,原因：,当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移时，,一个地区的总人数可视为常数,在传染病流行初期，,较大，,因此,应为时间t的函数。,随着病人的增多，健康人数减少,18,模型2,区分未感染者(健康人)和已感染者(病人),假设,1）总人数,N,不变，健康人和病人 的比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为, 且,使接触的健康人致病,建模, 日,接触率,SI,模型,Susceptible Infective,19,Logistic 模型,方程的解：,传染病患者比例与时间t关系,传染病人数的变化率与患者比率i的关系,染病人数由开始到高峰并逐渐达到稳定,增长速度由低增至最高后降落下来,对模型作进一步分析,it,感染病人占一半时传染率最大！,20,模型2,1/2,t,m,t,m,传染病高潮到来时刻,(日接触率) ,t,m,，推迟传染高峰的到来,即改善保健措施, 提高卫生水平可推迟传染病高潮到来.,t=t,m, (i=1/2),di,/,dt,最大,病人最多的一天,日接触率,表示该地区的卫生水平， 越小卫生水平越高。,it,21,模型的缺点,缺点：,当t时，i(t) 1，这表示所有的人最终都将成为病人，这一点与实际情况也不符,原因：,这是由假设(1)所导致，没有考虑,病人可以治愈,及,病人病发身亡,的情况。,思考题：,考虑有病人病发身亡的情况，再对模型进行修改。,22,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，,健康人可再次被感染,增加假设,SIS,模型,3）病人平均每天治愈,总病人数的,比例为,日,治愈率,模型3,每天治愈的病人为,Ni,；,病人治愈后成为仍可被感染的健康者。,健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)，,则： s(t)+i(t)1,(1/称为,传染病的平均传染期),23,建模, 日接触率,1/,感染期,解析法可求解该模型方程的解,=,24,模型讨论, 一个感染期内,每个病人的有效接触人数，称为接触数,1-1/,i,di/dt,0,1, ,1,i,0,i,0,0,t,i, ,1,1-1/,阙 值,25,i,0,i,0,0,t,i, ,1,1-1/,是因为随着传染期内被传染人数占当时健康人数的比例的增加，当时的病人数所占比例也随之上升,当增大时，i()也增大，,26,控制有效接触（隔离的效果）将最终消灭传染病。,原因：,感染期内,有效接触使健康人数变成的病人人数,不超过,把病人治愈的人数。,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,i,0,i,0,t,1,di,/,dt,1/,i,(,t,),先升后降至0,P,2,:,s,0,1/,i,(,t,),单调降至0,1/,是传染病蔓延与否的,阈值,P,3,P,4,P,2,S,0,34,预防传染病蔓延的手段,(日接触率) 卫生水平,(日,治愈率), 医疗水平,传染病不蔓延的条件,s,0,1/,降低,s,0,提高,r,0,提高阈值,1/,降低,(=,/,),群体免疫与预防,35,的估计,相轨线,一次传染病结束后，可估计出, 一个感染期内,每个病人的有效接触人数，称为接触数,36,被传染人数的估计,记被传染人数比例,x,s,0,i,0,P,1,i,0,0,s,0,1,小,s,0, ,1,提高阈值1/,降低,被传染人数比例,x,s,0,-,1/,=,当,1/,时,即,*,1/,1,37,练 习,求解刚性方程的命令: ode23s, ode15s 等 (用法相同),设某城市共有n+1人，其中一人出于某种目的编造了一个谣言。该城市具有初中以上文化程度的人占总人数的一半，这些人只有1/4相信这一谣言，而其他人约有1/3会相信。又设凡相信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人数正比于当时尚未听说此谣言的人数，而不相信此谣言的人不传播谣言。试建立一个反映谣传情况的微分方程模型。,思考题1,38,function df=dfrumor(t,x),d1=1/2; dxin=1/4;,x1=1/2; xxin=1/3;,chuan=1/100;,df=zeros(2,1);,df=chuan*d1*dxin*(1-x(1)-x(2);chuan*x1*xxin*(1-x(1)-x(2);,凡相信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人数正比: chuan,初中以上文化程度的人比例:d1; 这些人相信这一谣言的比例:dxin;,初中以下文化程度的人比例:x1; 这些人相信这一谣言的比例:xxin;,ts=0:10:1000;,x0=0,0;,t,x=ode45(dfrumor,ts,x0);,format long,t,x,39,谢谢！,