离散时间系统的时域分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,离散时间系统的时域分析,离散系统的数学模型,差分方程的初值起始样值与初始样值,如何求差分方程的特解,离散信号卷积运算的几种求法,系统模拟,1,离散线性时不变系统,离散系统的数学模型,从常系数微分方程得到差分方程,已知网络结构建立离散系统数学模型,离散时间系统数学模型,2,1.,离散时间系统定义:一个系统,若输入是离散时间信号,输出也是离散时间信号,则此系统为离散时间系统.,2.,线性系统,一、线性时不变离散时间系统,x,(,n,),y,(,n,),离散时间系统,(I).,可加性：,(II).,均匀性：,3,3.,时不变系统：系统的运算关系,T, ,在整个运 算过程中不随时间(不随序列的先后)而变化。,4,离散线性时不变系统,(I).,可加性：,(II).,均匀性：,(III).,时不变性：,5,二、数学描述,差分方程,(a),单位延时,(b),相加,(c),乘系数,6,一个离散时间系统由延时、相加、乘系数等基本部件组合而成，如图所示，激励信号为,x,(,n,),，响应序列是,y,(,n,),，试写出描述系统工作的差分方程。,例1,解：,常系数线性差分方程,*,差分方程的阶:,差分方程的阶数等于未知序列变量序号最高与最低值之差,.,未知序列的序号自,n,以递减的方式给出，称为,后向,形式的(或向右移序)差分方程,。,未知序列的序号自,n,以递增的方式给出，称为,前向,形式的(或向左移序)差分方程,。,7,一个离散时间系统如图所示，试写出描述系统工作的差分方程。,例2,解：,一阶前向差分方程,对因果系统用后向形式的,差分方程比较方便。,在状态变量分析中，习惯,用前向形式的差分方程。,8,在连续和离散之间作某种近似,三、从常系数微分方程得到差分方程,9,取近似：,10,如图所示电阻梯形网络，其各支路的电阻都,为,R,，,每个节点对地的电压为,v,(,n,)，,n,=0,1,2,N,。,已,知两边界点电压为,v,(0)=,E,v,(,N,)=0,。,试写出第,n,个节点,电压的差分方程。,例3,解：,此例中的差分方程,v,(,n,),的自变量,n,不表示时间，而是代表电路图中结点序号。,11,假定每对兔子每月可以生育一对小兔，新生的小兔要隔一个月才有生育能力，若第一个月只有一对新生小兔，求第,n,个月兔子对的数目是多少？,例4,解：,用,y,(,n,),表示第,n,个月兔子对的数目。,已知,y,(0)=0，,y,(1)=1,可以推知,，,y,(2)=1，,y,(3)=2，,y,(4)=3，,y,(5)=5，,第,n,个月有,y,(,n,-2),对有生育能力，这批兔子要变成,2,y,(,n,-2),，还有,y,(,n,-1) -,y,(,n,-2),对没有生育能力，所以,Fibonacci,数列,若,y,(0)=0，,y,(1)=1,12,常系数差分方程的求解,迭代法,时域经典法,离散卷积法：利用齐次解得零输入解，再利用卷积和求零状态解,变换域法（,Z,变换法）,状态变量分析法,13,一、求解差分方程的迭代法和经典法,迭代法,当差分方程阶次较低时常用此法,14,时域经典法,差分方程,齐次解：,非重根时的齐次解,L,次重根,时的齐次解,共轭根,时的齐次解,特征根：,有,N,个特征根,15,齐次解的形式,(,1),特征根是不等实根,(,2),特征根是相等实根,(3),特征根是成对共轭复根,16,特解：,（参考,P,20,最后一段),自由项为 的多项式,则特解为,自由项含有 且 不是齐次根,则特解为,自由项含有 且 是单次齐次根,则特解为,自由项含有 且 是,k,次重齐次根,则特解为,自由项,为,正弦或余弦,则特解为,17,完全解,=,齐次解,+,特解,代入边界条件求出待定系数 ，于是,得到完全解的闭式,18,例5,例4,对Fibonacci,数列建立的方程为,已知,y,(1)=1,y,(2)=1,试求解方程。,解：,特征方程为,特征根为,奇次解：,y,(1)=1,y,(2)=1分别代入,19,20,例6,求差分方程,的奇次解。,解：,特征方程为,特征根为,奇次解：,21,例,7,求下示差分方程的奇次解,已知边界条件为,y,(1)=1,y,(2)=0,y,(3)=1,y,(5)=1 。,解：,特征方程为,特征根为,奇次解：,22,例8,求下示差分方程的完全解,其中激励函数,x,(,n,)=,n,2,已知,y,(-1)=-1。,解：,(1),奇次解为,(2),把激励信号,x,(,n,)=,n,2，,代入到方程右端，得,自由项为,特解的形式为,，代入方程得,完全解的表示式为,23,(3)代入边界条件,y,(-1)=-1,求系数,C,解得,完全响应为：,24,讨论:,1)若初始条件不变，输入信号,x,(,n,) = sin(,n,0,),u,(,n,),则系统的完全响应,y(,n)=？,2),若输入信号不变，初始条件,y,(0)=1,y,(1)=1, 则系统的完全响应,y(,n)=？,25,经典法不足之处,若激励信号发生变化，则须全部重新求解。,若初始条件发生变化，则须全部重新求解。,这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。,若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。,26,例9,已知系统的差分方程表达式为,(1)若边界条件,y,(-1)=0，求系统的完全响应。,(2)若边界条件,y,(-1)=1，求系统的完全响应。,解：,(1)由于激励在,n,=0时刻接入，且给定,y,(-1)=0 ，所以，,起始时系统处于零状态，由,y,(-1)=0用迭代法可求得,y,(0)=0.05,奇次解为,特解的形式为,把特解代入到方程,得,完全解为,27,把,y,(0)=0.05代入到,y,(,n,)表达式，求系数,C,得,完全响应为,(2)先求零状态响应，令,y,(-1)=0 ，即第(1)问的结果,再求零输入响应，令激励信号等于零，差分方程为,将,y,(-1)=1代入求得系数,完全响应,28,例,711,中国建设银行与北京市住房资金管理中心共同,发布的等额均还个人购房贷款每月偿还金额计算公式,式中,P,为总贷款金额，,I,为贷款月利率，还款期限是,N,个,月，每月还款金额为,R,。所谓等额均还即贷款期限内每,月以相等的偿还额,R,归还部分本金与利率，,N,个月还清,全部本息。按照上述规定建立差分方程，并导出该计算,公式。,解：,(1)设第,n,个月末欠款,y,(,n,),可建立差分方程如下：,即,第0个月的欠款为,y,(0)=,P,29,(2),y,(,n,)的奇次解为,特解为,代入到方程得,(3),y,(,n,)的完全解的表达式为,令,n,=1，求得,因为,y,(0)=,P,所以,求得,30,(3)把系数,C,代入,y,(,n,)的完全解的表达式,得,为满足,N,个月全部还清本息应有,所以,31,离散时间系统的单位样值响应,一般时域经典方法求,h,(,n,),迭代法,将,(,n,),转化为起始条件，于是齐次解，即零输入解就是单位样值响应,h,(,n,),。,一、求系统单位样值响应,离散时间系统,32,例,712,已知离散系统的差分方程表达式,试求其单位样值响应,h,(,n,)。,解：,33,例,713,已知离散系统的差分方程表达式,试求其单位样值响应,h,(,n,)。,解：,求差分方程的奇次解即零输入响应,特征方程,三重根,特征根,齐次解,确定初始,条件,34,例,714,已知离散系统的差分方程表达式,试求其单位样值响应,h,(,n,)。,解：,利用,LTI,只考虑 激励,只考虑 激励,35,二、根据单位样值响应分析系统的因果性和稳定性,因果性：输出变化不领先于输入变化,必要条件,稳定性：输入有界则输出必定有界,充分条件,36,例：已知某系统的,问：它是否是因果系统？是否是稳定系统？,是因果系统,有界稳定,发散不稳定,37,序列 (,卷积,),卷积和,38,39,例,715,解：,*,40,41,42,卷积和的性质,证明：,43,卷积和的性质（续）,证明：,44,例:,解：,利用位移特性,45,