解对初值的连续依赖性定理条件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.3,解对初值的连续性和可微性定理,考察,的解 对初值的一些基本性质,解对初值的连续性,解对初值和参数的连续性,解对初值的可微性,内容,:,y,x,G,图例分析,(,见右,),解可看成是关于,的三元函数,满足,解对初值的对称性,:,前提,解存在唯一,例:,初值问题的解不单依赖于自变量,同时也依赖于初值,.,初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动,.,Q:,当初值发生变化时,对应的解是如何变化的,?,当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？,证明,则由解的唯一性知,即此解也可写成,:,且显然有,:,按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题,:,Q1:,解在某有限闭区间,a,b,上有定义,讨论初值 的,微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性,.,内容,包括,:,当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在,a,b,上有定义以及解在整个区间,a,b,上是否也变化很小,?,Q2:,解在某个无限闭区间 上有定义,讨论初值,的微小变化是否仍有解在 上有定义,且解在整个,区间 上变化也很小,?,这种问题称为解的稳定性,问题,将在第六章中讨论,.,一 解对初值的连续性,定义,设初值问题,1.,解对初值的连续依赖性,初值问题,引理,如果函数 于某域,G,内,连续,，且,关于,y,满足利普希茨条件,（利普希茨常数为,L,），,则对方程 的任,意两个解 及,在它们的公共存在区间内成立着不,等式,.,其中 为所考虑,区间内的某一值。,证明,则,于是,因此,两边取平方根即得,2,定理,1 (,解对初值的连续依赖性定理,),条件,:,I.,在,G,内连续且关于 满足局部,L,ips,.,条件,;,II.,是,(1),满足 的解,定义,区间为,a,b,.,结论,:,对,使得当,时,方程,(1),过点 的解 在,a,b,上也有,定义,且,方程,0,思路分析：,记积分曲线段,S,：,显然,S,是,xy,平面上的有界闭集,.,第一步,:,找区域,D,使,且,在,D,上满足,L,ips,.,条件,.,y,x,G,(,见下图,),由已知条件,对,存在以它为中心的圆,使,在其内,满足,L,ips,.,条件,利普希茨常数为,.,根据有限,覆盖定理,存在,N,当 时,有,对,记,则以 为半径的圆,当其圆心从,S,的,左端点沿,S,运动到右端点时,扫过,的区域即为符合条件的要找区域,D,b,a,0,0,第二步,:,证明 在,a,b,上有定义,.,假定,利用,引理,2,及 的连续性可得,:,第三步,:,证明,在不等式,(*),中将区间,c,d,换成,a,b,即得,.,根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有,:,3,定理,2,(,解对初值的连续性定理,),条件,:,在,G,内连续且关于 满足局部,L,ips,.,条件,;,方程,结论,:,在它的存在范围内是连续的,.,作为 的函数,证明,令,二 解对初值的可微性,为研究解对初值的可微性,先研究解对初值和参数的连续依赖性,.,1,解对初值和参数的连续依赖定理,2,解对初值和参数的连续性定理,3,解对初值可微性定理,证明,因此,解对初值的连续性定理成立,即,即,和,于是,设,即,是初值问题,的解,根据解对初值和参数的连续性定理,则,的解,不难求得,即,和,于是,即,是初值问题,的解,根据解对初值和参数的连续性定理,的解,不难求得,初值问题,例1,解,由公式得,作业,P92 1,3,4,习题,:,p92 1,