对数函数的讲解

,第五节,对 数 函 数,【,知识梳理,】,1.,必会知识教材回扣填一填,(1),对数的概念,:,如果,a,x,=N(a0,且,a1),那么数,x,叫做以,a,为底,N,的对数,记作,x=_.,log,a,N,(2),对数的性质、换底公式与运算性质,:,性质,log,a,1=_;log,a,a=_; =_.,换底,公式,log,a,b=_,(a,c,均大于,0,且不等于,1,b0),运算,性质,如果,a0,且,a1,M0,N0,那么,:,log,a,(M,N)=_;,log,a,=_;,log,a,M,n,=_(nR),0,1,N,log,a,M+log,a,N,log,a,M-log,a,N,nlog,a,M,(3),对数函数的定义、图象与性质,:,定义,函数,_,叫做对数函数,图象,a1,0a0,且,a1),性质,定义域,:_,值域,:_,当,x=1,时,y=0,即过定点,_,当,0x1,时,y1,时,_,当,0x0;,当,x1,时,_,在,(0,+),上为,_,在,(0,+),上为,_,(0,+),(-,+),(1,0),y0,y0,且,a1,b0,且,b1,m,nR.,(2),对数函数的图象与底数大小的比较,如图,作直线,y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,.,故,0cd1ab.,由此我们可得到以下规律,:,在第一象限内从左到右底数逐渐增大,.,3.,必用技法核心总结看一看,(1),常用方法,:,换元法、图象平移法,.,(2),数学思想,:,数形结合思想、分类讨论思想,.,(3),记忆口诀,:,换底公式的记忆口诀,换底公式真神奇,换成新底可任意,原底加底变分母,真数加底变分子,.,对数函数性质口诀,对数函数很简单,图象恒过,(1,0),点,.,a,大,1,时单调增,(0,1),之间单调减,.,图象都在,y,轴右,第一象限底逆减,.,【,小题快练,】,1.,思考辨析静心思考判一判,(1)log,a,x,2,=2log,a,x.(,),(3),函数,y=ln,与,y=ln(1+x)-ln(1-x),的定义域相同,.(,),(4),若,log,a,mlog,a,n,则,m0,a1),的图象如图,则下列结论成立的是,(,),A.a1,c1B.a1,0c1,C.01D.0a1,0c0,且,a1),的图象如图所示,则下列函数图象正确的是,(,),【,解题提示,】,利用图象的变换知识,或利用函数的增减性来排除干扰,项,.,【,解析,】,选,B.,由题得,a=3,因此,A,选项函数为,y=3,-x,= ,在定义域内,是减函数,图象不对,;B,选项函数为,y=x,3,图象正确,;C,选项函数为,y=,(-x),3,在定义域内应是减函数,图象不对,;D,选项,y=log,3,(-x),应与,y=log,3,x,的图象关于,y,轴对称,因此不符,.,【,加固训练,】,1.,函数,y=,的图象大致为,(,),2.,函数,f(x)=ln x,的图象与函数,g(x)=x,2,-4x+4,的图象的交点个数为,(,),A.0B.1,C.2,D.3,考点,3,对数函数的性质及其应用,知,考情,对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一,主要考查比较对数值的大小,解简单的对数不等式,有时考查判断对数型函数的单调性、奇偶性及最值问题,.,多以选择题或填空题的形式考查,难度低、中、高档都有,.,明,角度,命题角度,1:,求函数的定义域,【,典例,3】,(2014,山东高考,),函数,f(x)=,的定义域为,(,),A.(0,2)B.(0,2,C.(2,+)D.2,+),【,解题提示,】,本题考查了函数的定义域,对数函数的性质,利用定义域的求法,:1.,分母不为零,;2.,被开方数为非负数,;3.,真数大于,0,求定义域,.,【,解析,】,选,C.,由定义域的求法知,:,解得,x2,故选,C.,命题角度,2:,比较对数值的大小,【,典例,4】,(2014,辽宁高考,),已知,则,(,),A.abcB.acb,C.cabD.cba,【,解题提示,】,结合指数函数与对数函数的图象及性质,判断,a,b,c,的范围,确定大小,.,【,解析,】,选,C.,由于指数函数,y=2,x,在,R,上为增函数,则,0,2,0,=1;,而对数函数,y=log,2,x,为,(0,+),上的增函数,则,log,2,ab.,命题角度,3:,解对数不等式,【,典例,5】,(2015,宁波模拟,),设函数,f(x)=,若,f(a)f(-a),则实数,a,的取值范围是,(,),A.(-1,0)(0,1).B.(-,-1)(1,+),C.(-1,0)(1,+)D.(-,-1)(0,1),【,解题提示,】,由,a0,或,af(-a),列出不等式组求解,化简中注意到换底公式的应用,.,【,规范解答,】,选,C.,由题意可得,或,解得,a1,或,-1alog,a,b,的不等式,借助,y=log,a,x,的单调性求解,如果,a,的取值不确定,需分,a1,与,0ab,的不等式,需先将,b,化为以,a,为底的对数式的形式,.,通,一类,1.(2013,新课标全国卷,),设,a=log,3,2,b=log,5,2,c=log,2,3,则,(,),A.acbB.bca,C.cbaD.cab,【,解析,】,选,D.,方法一,:a=log,3,2log,3,3=1,b=log,5,2log,2,2=1,又,log,3,2= ,log,5,2= ,lg3log,5,2,综上,cab.,故选,D.,方法二,:,因为,23,12 ,所以,log,3,log,3,2log,3,3,log,5,1log,5,2log,2,2,所以,a1,0b1,所以,cab.,2.(2015,开封模拟,),设函数,f(x)=,则满足,f(x)2,的,x,的取值范围是,(,),A.-1,2B.0,2,C.1,+)D.0,+),【,解析,】,选,D.,当,x1,时,2,1-x,2,解得,x0,所以,0x1;,当,x1,时,1-log,2,x2,解得,x ,所以,x1.,综上可知,x0.,3.(2015,中山模拟,),已知函数,f(x)=log,a,(8-ax)(a0,a1),若,f(x)1,在区间,1,2,上恒成立,则实数,a,的取值范围为,.,【,解析,】,当,a1,时,f(x)=log,a,(8-ax),在,1,2,上是减函数,由,f(x)1,恒成立,则,f(x),m,in,=log,a,(8-2a)1,解之得,1a ,若,0a1,恒成立,则,f(x),m,in,=log,a,(8-a)1,故,8-2a0,所以,a4,又因为,0a1,解题,.,【,规避策略,】,1.,注意分类讨论,对数函数的底数决定了对数函数的单调性,对数函数在闭区间上的最值取决于其单调性,如果对数函数的底数含有参数,在处理有关问题时,必须对参数进行讨论,.,2.,解决与对数有关问题的两个关注点,:,(1),务必先研究函数的定义域,.(2),对数函数的单调性取决于底数,a,应注意底数的取值范围,.,【,自我矫正,】,(1),若,a1,则函数,y=log,a,x(2x4),为增函数,由题意得,log,a,4-log,a,2=log,a,2=1,所以,a=2,又,21,符合题意,.,