4.2 差商差分及牛顿插值多项式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,计算方法,Computing Method,1.2 差商差分及牛顿插值多项式,差分定义,1、概念： 前差、后插、中差、算子,2、性质：,(1)常数的有限差恒为0；,(2)有限差算子为线性算子；,(3)高阶有限差的函数值表示：,(4)若f(x)是n次多项式，则：,(5)函数值的有限差表示：,(6)差商与差分之间的关系,3、差分表,类似于差商，在实际计算中通常采用差分表的形式进行计算，差分表的构造方法如下：,4、算法,1、初始化,11 xn+1,fn+1n+1,2、循环求i=1n阶差分,循环求j=i-n个差分,fji=fji-1-fj-1i-1,3、输出f.,4.4.2 Newton前插和后插公式,当n+1个插值点为等距节点时，在Newton插值公式的基础上，考虑前差及后差的情况：,1）前差,此时，对任意的x,i,及x可以表示为：,x,i,=x,0,+i*h,x=x,0,+t*h (0=t=n),由Newton插值公式：,同样可得Newton后插公式：,4.4.3 Newton前插和后插公式的计算方法,对n+1个等距插值点x,0,x,1,x,n,及其函数值f(x,0,),f(x,1,),f(x,n,).构造如下的差分表：,例4.1如何判定下面函数值表来自一个次数不低于三的多项式？(P22),x,-2,-1,0,1,2,3,P(x),1,4,11,16,3,-4,例4.2 给定单调连续函数f(x)的函数值表如下：,求方程f(x)=0根的尽可能好的近似值。,x,-2,-1,1,2,3,P(x),-10,-5,1,11,18,例4.3设P,n,(x)是函数f(x)关于互异节点 的插值多项式.若f(x)在区间a,b上任意次可微，且存在常数M，使得 试证明插值多项式序列 在区间a,b上收敛于被插函数f(x).,例4.4利用差分的性质证明,插值型求导公式,设,n,(x),是f(x)的过点x,0,，x,1,，x,2,，x,n, a，b的 n 次插值多项式，由Laglange插值余项,有对任意给,定的xa，b，总存在如下关系式:,若取数值微分公式,误差为:,因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值,常用的数值微分公式是,n=1,2,3的插值型微分公式,如:,当n=1时,有,当,n=2时,有,