内弹道学第三章 内弹道方程组的解法

, , , , , ,*,内弹道学,第三章,内弹道方程组的解法,膛内结构,:,口径,d,、炮膛横断面面积,S,、药室容积,W,0,和弹,丸全行程长,l,g,等,装填条件,:,弹丸重量,q,、装药量,、火药力,f,、火药气体,的余容,、燃烧速度系数,u,1,、火药密度,、,火药的形状特征量,(,、,),等,内弹道解法 ：为了研究膛内的压力变化规律和弹丸速度变化规律，首先我们就必须列出能够体现瞠内主要矛盾的方程，从而组成所谓内弹道方程组，这样的方程组也就能够反映出各种矛盾的互相依存和互相制约的关系。如果再用一定的数学方法，将这样的方程组解出,P-l,、,v-l,、,P-t,及,v-t,的弹道曲线，那么这样的弹道曲线实际上也就是所谓压力变化规律和速度变化规律的具体表现。这样的一个过程，我们就称为内弹道解法。,分析解法 ：从弹道方程组利用数学解析的方法，直接或者间接解出,P=P(l),、,v=v(l),、,P=P(t),和,v=v(t),的函数关系。,表解法 ：在一定的条件下预先将弹道解编成数值表，应用时只需要经过简单的运算和查表就可以求得弹道解。,计算机解法：通过计算机编程求弹道解。,3.1,内弹道方程组,基本假设：,1,火药的燃烧服从几何燃烧定律；,2,不论是火药的燃烧还是弹丸运动都是在平均压力的条件下进行的；,3,火药的燃烧速度与压力成正比；,4.,无论是火药燃烧期间或燃烧结束之后，燃烧生成物的成分始终保持不变 ；,5.,用,考虑各种功次要功；,6.,膛壁的热散失忽略不计,;,7.,不计及弹带逐渐挤进膛线的过程，而假定弹带全部挤进膛线达到到挤进压力,P,0,时弹丸才开始运动。,3.1,内弹道方程组,根据以上假设，单一装药内弹道学方程组归纳如下：,（,1,）形状函数：,（,2,）燃速方程：,（,3,）弹丸运动方程：,（,4,）内弹道基本方程：,弹丸速度与行程关系式：,（,3.1,）,式（,3.1,）即为内弹道方程组，方程组中共有,P,、,v,、,l,、,t,、,和,Z,六个变量，有五个独立的方程，如取其中一个变量为自变量，则其余五个变量作为自变量的函数，可以从上述方程组中解出，方程组是封闭的。,3.2,内弹道方程组的解法,在上一篇讲述射击过程时，曾经根据射击现象的特点将射击过程划分为三个不同的阶段，即前期、第一时期和第二时期。在这三个不同阶段之间又是互相联结的，前期的最终条件就是第一时期的起始条件，而第一时期的最终条件又是第二时期的起始条件。因此，对于这三个阶段就应该根据各阶段的特点，按顺序地作出各阶段的解法。,一、前期的解法,根据假设,7,，弹丸是瞬时挤进膛线，并在压力达到挤进压力,P,0,时才开始运动。所以这一时期的特点应该是定容燃烧时期，因此,3.2,内弹道方程组的解法,在这一时期中，火药在药室容积,W,0,中燃烧，压力则由,P,B,升高到,P,0,，与,P,0,相应的前期结束的瞬间标志火药形状尺寸的诸元也将相应地为,0,、,0,及,Z,0,。这些量既是这一时期的最终条件，又是第一时期的起始条件。所以，这一时期解法的目的，实际上就是根据已知的,P,0,分别解出,0,、,0,及,Z,0,这三个前期诸元。,首先根据定容的状态方程解出,0,：,忽略,P,B,3.2,内弹道方程组的解法,求得了,0,后，应用,1.7,所给出的,及,Z,的公式分别计算出,0,及,Z,0,求出了这三个诸元之后，即可以作为起始条件进行第一时期的弹道解。,二、第一时期的解法,第一时期是射击过程中最复杂的一个时期，它具有上面所建立的内弹道方程组所表达的各种射击现象。,3.2,内弹道方程组的解法,内弹道方程组中共有,P,、,v,、,l,、,t,、,和,Z,六个变量，,其它各量都是已知常量，,有五个独立的方程，如取其中一个变量为自变量，则其余五个变量作为自变量的函数，可以从上述方程组中解出，方程组是封闭的。,在选择自变量时，我们应以自变量是否有已知的边界条件作为选择的主要标准。在第一时期的所有变量中，只有,及,Z,这两个变量的边界条件是已知的，即,从,0,到,l,，,Z,从,Z,0,到,l,。,从数学处理来讲，选择,Z,作为自变量比选择,方便。因此，在现有的弹道解法中大多是采用,Z,作为自变量。不过在具体解方程组时。由于,z,的起始条件,Z,0,同,Z,总是以,Z-Z,0,的形式出现，所以令,x,=,Z-Z,0,。,则所解出的各变量都将以,x,的函数形式来表示。,3.2,内弹道方程组的解法,1,解速度的函数式,将燃速方程和弹丸运动方程联立消去,Pdt,从起始条件,v=0,及,Z=Z,0,积分到任一瞬间的,v,及,Z,因,x=Z-Z,0,，于是,该式表明，在一定装填条件下，弹丸速度与火药的已燃厚度成比例。,3.2,内弹道方程组的解法,2,解火药的已燃部分的函数式,将,Z=x+Z,0,代入形状函数中导出,由于,并令 ，从而导出,3.2,内弹道方程组的解法,3,解弹丸行程的函数式,将弹丸运动方程和内弹道基本方程联立消去,SP,得,再将以上导出的 及 代入,则式中的右边仅表示为,x,的函数,3.2,内弹道方程组的解法,令,B,是各种装填条件组合起来的一个综合参量，我们称之为装填参量，它是无量纲的，但是它的变化对最大压力和燃烧结束位置都有显著的影响，因此它是一个重要的参量。,又令,则上式即简化成如下形式,3.2,内弹道方程组的解法,式中,将上式对等号两边进行积分得,下面我们即分别导出这两个积分。首先导出右边的积分。对于这样的积分式，我们可以采用部分分式的积分方法。为此，我们将被积函数写成如下形式,3.2,内弹道方程组的解法,并得到如下的等式,从这样的等式建立了以下的方程组,式中,3.2,内弹道方程组的解法,于是就得到如下的积分,式中,3.2,内弹道方程组的解法,最后求得,如令,而,b,又是,的函数，所以式中的 仅是参量,和变量,的函数。这是一个比较复杂的函数。为了计算方便起见，很有必要预先编好以,及,为头标的 函数表,利用这样的表就可以直接查表得相应的 值。我们再讨论左边的积分问题。,3.2,内弹道方程组的解法,在左边的积分 中，根据 的公式可知,l,是,或,x,的函数，,显然，除非我们将,l,当作某种常量来处理，否则积分是繁琐的。在第一章里，导出,l,公式时曾经指出，在一定的装填密度情况下，随着,的变化，,l,只是在不大的范围内变化。这样，就使我们在进行以上积分时，完全可以将,l,当作如下的平均值来处理,式中,3.2,内弹道方程组的解法,于是可得如下积分,从而求得以下弹丸行程函数,或,3.2,内弹道方程组的解法,4,压力函数式,从内弹道学基本方程可以得出,将前三式代入有,3.2,内弹道方程组的解法,5,最大压力,P,m,的确定,最大压力条件式,由内弹道方程可以导出最大压力的条件式,式中,3.2,内弹道方程组的解法,代入上式即得,于是就解出,从上式可以看出，为了确定,x,m,必须预先巳知,P,m,可是,P,m,又正是所要求的值。因此,在这种情况下,我们就必须采用逐次逼近法。,3.2,内弹道方程组的解法,首先估计一个,P,m,代入上式,求出,x,m,的一次近似值 ，然后即以 分别解出各相应的 、 、 以及 各近似值，如果所解出的 正好与所给定的,P,m,相同或很接近，即表明 就代表了实际压力。如果不一致，我们还必须将求得的 代入上式，求出,x,m,的二次近似值 ，然后再重复整个计算过程，求出,P,m,的二次近似值,但通常只需要进行二次近似计算，就可以求出足够准确的,P,m,值。,在正常情况下，按照上式计算出的,x,m,值都应该小于,x,k,=1-Z,0,。这就表示在火药燃烧结束之前出现最大压力。,3.2,内弹道方程组的解法,6,燃烧结束瞬间的各弹道诸元,由于燃烧结束点的各弹道诸元既是第一时期的最终条件，又是第二时期的起始条件，所以燃烧结束点的诸元是必须计算出来的。,在火药燃烧结束瞬间的条件为,因此可列出 、 及 各诸元的表达式为：,式中,3.2,内弹道方程组的解法,三、第二时期的解法,在第二时期中，由于火药已经燃完，不再有火药燃烧的现象，因此这一时期的基本方程组为,在这个方程组中，有,v,、,l,及,P,三个变量。为了解出这些变量的函数关系，必须指定其中一个变量作为自变量。由于这一时期是从燃烧结束点一直到炮口，所以就起始条件而言，这三个变量的起始条件都是已知的。但是就最终条件而言，只有,l,是已知的，即所谓弹丸全行程长,l,g,。显然，在这种情况下，选择,l,作为自变量是恰当的，把,v,和,P,作为,l,的函数来表示。,3.2,内弹道方程组的解法,1.,速度的函数式,将以上两个方程消去,SP,，得到如下的微分式,从而可以进行如下的积分,3.2,内弹道方程组的解法,积分后求得,式中,极限速度,于是求得,3.2,内弹道方程组的解法,2,压力的函数式,求出了 之后，将给定的,l,所求得的,v,分别代入内弹道基本方程，即求得相应的压力,为了计算方便起见，我们也可以采用另一种形式的公式，即根据燃烧结束点的压力公式,3.2,内弹道方程组的解法,整理得,炮口处,我们即求得第二时期的,P-l,及,v-l,曲线，再加上第一时期的,P-l,及,v-l,曲线，从而求得整个的,P-l,及,v-l,曲线。,3.2,内弹道方程组的解法,四、时间曲线的计算,根据以上的解法，我们仅能解出,P-l,和,v-l,曲线。但是在实际应用方面，无论是炮架设计还是引信设计，都要应用到,P-t,曲线。由于我们已经解出,v-l,曲线，而根据速度的定义,进行如下的积分,即可求得时间,t,。为了求得这样的积分，我们必须从已知的,v-l,曲线转化为 曲线并进行图解积分，如图,3.2,内弹道方程组的解法,l,l,g,l,0,V,1/V,1/V,图线表明，当,趋近于,0,时，被积函数 将趋近于无穷大，所以在起始段不能进行图解积分。对于这种积分，我们只能采取近似的方法来处理。,3.2,内弹道方程组的解法,将要求的,t,分成两段来处理，即,在计算时首先给定 并求出与 相应的 ，然后再给定的 到任一 之间进行图解积分，从而求得 。所以这种方法的近似性质主要是在 这个量的误差上。,关于 的确定通常采用的都是取,O,到 之间速度的平均值,于是求得,