培训上3稳定性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学模型,微分方程稳定性方法建模,讲义下载：,密码,:math0000,1,对象仍是动态过程，建模目的变成了时间充分长以后会如何？即研究事物最终的发展趋势。,借助微分方程稳定性理论，不求解微分方程，描述事物某些特征的最终稳定状态。,稳定性模型,比如，商品的价格与其价值的变化关系；食肉动物与草食性动物数量的变化规律；侵入人体的病菌与白血球的数量变化关系。,随着时间的推移，最终的结局是什么？,2,稳定性模型,由于诸多偶然因素以及参数变化的影响，通常微分方程用来做长期预测，效果并不够好，在精度上难以让人满意。如各种人口模型。,不过即便误差很大，但微分方程稳定性模型反映出来的发展趋势还是有借鉴意义的。,另外，很多微分方程稳定性模型的最终目的并不是预测，而是寻找控制手段。,3,事物发展的稳定与不稳定,t,这些现象在现实中都有实用背景和研究价值,4,微分、差分方程稳定性理论简介,常微分方程稳定性理论,差分方程稳定性理论,参考书：,常微分方程几何理论与分支问题,，,张锦炎，北京大学出版社,涉及,“,常微分方程定性理论,”,的其他书籍。,5,一、常微分方程稳定性理论,1,、一阶微分方程 方程右端不显含,t,6,平衡点稳定的几何特征,t,x,x,0,稳定,不稳定,7,一阶微分方程,通常判断平衡点稳定性有两种方法，,直接求解法,和,定性分析法,。,定性分析法,1,、若方程为线性，即,f,(,x,) =,ax,+,b,，则,a, 0,不稳定；,2,、若方程为非线性，即,x,(,t,) =,f,(,x,),，考虑,f ,(,x,0,),。,f ,(,x,0,) 0,不稳定。,8,2,、二阶微分方程,所以讨论二阶微分方程的稳定性往往就归结为对二维一阶方程组的讨论,9,二阶微分方程,求方程组的平衡点，即求解,下面设法给出,P,0,稳定的判断准则。,10,二阶微分方程,首先将方程组线性化：,其系数矩阵为：,11,二阶微分方程,二阶微分方程的稳定性由,p,和,q,的正负决定。,p, 0,且,q, 0,时平衡点,P,0,稳定；,p, 0,或,q,1,(,1,1,(,2,1),不稳定,1,1,2,0,而且,q0,19,2.2,平衡点的稳定性,根据前面的方法不能给出各个平衡点全部的稳定性条件。,下面对,1,和,2,分情况讨论平衡点的稳定性条件。,考虑转到相平面上，即在,x,1,- x,2,平面上研究,方程解沿着,t,增加所表现出的趋势。,x,1,(t) = r,1,x,1,(1-x,1,/N,1,-,1,x,2,/N,2,),x,2,(t) = r,2,x,2,(1-,2,x,1,/N,1,-x,2,/N,2,),可知，在任意时刻，,x,1,(t),和,x,2,(t),是增是减由,=1-x,1,/N,1,-,1,x,2,/N,2,和,=1-,2,x,1,/N,1,-x,2,/N,2,决定。,20,1,、,1,1,S1,S2,S3,O N,1,/,2,N,1,x,1,x,2,N,2,/,1,N,2,=0,=0,这时 ,=0,和,=0,将相平,面分为三个区域：,S1,：,x,1,0, x,2,0;,S2,：,x,1,0, x,2,0;,S3,：,x,1,0, x,2,1,，,2,1,，,P,2,稳定,3,、 ,1,1,，,2,1,，,2,1,，方程的解不存在统一的发展趋势。,23,一,(2),生物互惠共生模型,甲乙两种群的相互依存有三种形式,1),甲可以独自生存，乙不能；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。,2),甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。,3),甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。,24,第一种情形,模型假设,甲可以独自生存，数量变化服从,Logistic,规律,;,甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。,乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用,(,服从,Logistic,规律,),。,模型,乙为甲提供食物是甲消耗的,1,倍,甲为乙提供食物是乙消耗的,2,倍,25,平衡点稳定性分析,平衡点有三个：,P,1,(N,1, 0),P,3,(0, 0),26,种群依存模型的平衡点及稳定性,P,2,是甲乙相互依存而共生的平衡点,稳定条件,不稳定,平衡点,27,0,1,1,1,2,1,P,2,稳定,28,模型结果分析,1,2,1,前提下,P,2,存在的必要条件,2,1,甲必须为乙提供足够的食物,甲为乙提供的食物是乙消耗的,2,倍,1,1,1,2,1,条件下使,1,2,1,成立,P,2,稳定条件：,1,1,1,2, 0,P,:,临界状态,q, 0,P,不稳定,32,t,x,(,t,),y,(,t,),0,20.0000,4.0000,0.1000,21.2406,3.9651,0.2000,22.5649,3.9405,0.3000,23.9763,3.9269,5.1000,9.6162,16.7235,5.2000,9.0173,16.2064,9.5000,18.4750,4.0447,9.6000,19.6136,3.9968,9.7000,20.8311,3.9587,用数学软件,MATLAB,求,微分方程数值解,xy,平面上的相轨线,33,计算结果（数值，图形）,x,(,t,),y,(,t,),是周期函数，相图(,x,y,),是封闭曲线,观察，猜测,x,(,t,),y,(,t,),的周期约为9.6,x,max,65.5,x,min,6,y,max,20.5,y,min,3.9,用数值积分可算出,x,(,t,),y,(,t,),一周期的平均值：,x,(,t,),的平均值约为25,y,(,t,),的平均值约为10。,34,平衡点稳定性分析,消去,dt,用相轨线分析 点稳定性,c,由初始,条件确定,取指数,35,x,0,f,m,f,(,x,),x,0,g,(,y,),g,m,y,0,y,0,在相平面上讨论相轨线的图形,用相轨线分析 点稳定性,相轨线,时无相轨线,以下设,36,稳定性分析,P,y,0,x,0,x,2,x,1,取定,x,x,1,x,2,x,y,2,y,1,37,模型结果分析,P,y,0,x,0,对应于每一个,c,，都有一条闭轨线,T,3,T,2,T,4,T,1,38,模型解释,r,食饵增长率,d,捕食者死亡率,b,食饵供养捕食者能力,捕食者 数量,食饵数量,a,捕食者掠取食饵能力,捕食者数量与,r,成正比,与,a,成反比,食饵,数量与,d,成正比,与,b,成反比,P,r/a,d/b,39,四、市场经济中的蛛网模型,在自由竟争的市场经济中，从生产者、消费者两方面来讨论商品生产随价格变化的规律，即讨论生产数量与产品价格之间的关系。,经济发展无论是“大起”还是“大落”，都存在风险，理想的经济发展模式是渐进式的增长。,改革开放之初，彩电、冰箱、洗衣机需求增长和快，于是不断地有新的厂商诞生，产品单一但市场供不应求，厂家都能赢利不过很快社会需求基本饱和，而社会的生产能力严重过剩，大批企业亏损、转产，陷入衰落。此类反复，对社会经济损害巨大，社会财富被浪费。,后来钢铁、水泥、化工、计算机、,MP3,、手机、建筑业、汽车等等，都产生了一次又一次的经济波浪。,40,在自由竟争的市场经济中，从生产者、消费者两方面来讨论商品生产随价格变化的规律，即讨论生产数量与产品价格之间的关系。,41,市场经济中的蛛网模型,市场经济中的一个典型现象：,供大于求,价格下跌,生产者减产,供不应求,价格上升,生产者增产,这样的震荡有两种发展趋势：,振幅越来越大导,致经济崩溃；振幅趋于平稳,。,推出新品,42,下面设法建立模型来描述这个震荡过程，以及,影响其发展趋势的因素。,一、图形法建模,记,x,为生产数量，,y,为产品单价。,从消费者的角度出发，价格是数量的减函数：,y,=,f,(,x,),需求函数，反映消费者对商,品的需求。,从生产者的角度出发，数量是价格的增函数：,x,=,g,(,y,),供应函数，与生产者的生产,能力、经营水平有关。,43,蛛网模型,时间是连续变化的，但有些商品是有季节性的，,比如一些农产品、牲畜等商品。,下面我们可以将时间按照商品的生产周期离散化处理。,k = 1,2,记,x,k,y,k,分别为第,k,时段商品的产量与价格。,44,在同一坐标系中画出需求函数和供给函数：,问题：,k,时，,P,k,(,x,k,y,k,),的变化趋势如何？,图中两条曲线有一交点，不妨记之为,P,0,(,x,0,y,0,),，即,蛛网模型差分方程组的平衡点,。,如果,f,、,g,是图中的情形，,那么给定一个初始状态，最,终经济将趋于稳定,.,注意：,f,单减，,g,单增,45,如果,f,、,g,是图中的情形，那么给定一个初始状态，最终经济将趋于不稳定，,P,0,不是一个稳定的平衡点。,O,y,x,f,g,通过图示法中需求、供给函数的形式，分析市场经济的稳定，这样的模型就称为,“蛛网模型”。,那么究竟在什么情况下市场经济将趋于稳定？在什么情况下市场经济将趋于不稳定？,46,对比两个图形不难看出，稳定予否取决于,P,0,附近,f,和,g,的斜率。记,K,f,= |,f,在,P,0,点的斜率,|,，,K,g,= |,g,在,P,0,点的斜率,|,。则：,O,y,x,f,g,P,1,P,2,P,3,P,4,f,O,y,x,g,K,f, K,g,时,P,0,不稳定。,47,K,f, K,g,时,P,0,不稳定。,返回实际环境，这就意味着：需求越平缓，供给越陡，则越有利于经济的稳定发展。,即要鼓励消费者保持健康的消费心理，理性消费，不要跟风抢购或者长期持币等待最佳消费时机；同时鼓励企业关注市场动态，随时根据市场价格情况调整生产。,48,电影行业的未来在谁手中,?,49,