资源描述
第六节 晶体的比热,3.6.1 晶体比热的一般理论,本节主要内容：,3.6.2 晶体比热的爱因斯坦模型,3.6.3 晶体比热的德拜模型,3.6 晶体的比热,下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规律。,晶体比热的实验规律,(1)在高温时，晶体的比热为,3,Nk,B,(,N,为晶体中原子的个数,k,B,=,1.38,10,-23,JK,-,1,为玻尔兹曼常,量,) ；,(2)在低温时，晶体的比热按,T,3,趋于零。,晶体的定容比热定义为：,3.6.1 晶体比热的一般理论,-晶体的平均内能,晶格振动比热,晶体电子比热,通常情况下， 本节只讨论晶格振动比热。,1.杜隆-珀替定律(经典理论),根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是,k,B,T,若晶体有,N,个原子，则总自由度为：,3,N,。,低温时经典理论不再适用。,它是一个与温度无关的常数，这一结论称为杜隆-珀替定律。,2.晶格振动的量子理论,晶体可以看成是一个热力学系统，在简谐近似下，晶格中,原子的热振动可以看成是相互独立的简谐振动。每个谐振子的能量都是量子化的。,第,i,个谐振子的,能量为：,n,i,是,频率为,i,的谐振子的平均声子数：,第,i,个谐振子的,能量为：,晶体由,N,个原子组成，晶体中包含,3,N,个简谐振动，总振动能为,对于宏观晶体,原胞数目,N,很大，波矢,q,在简约布里渊区中有,N,个取值，所以波矢,q,近似为准连续的,，频率也是准连续的。,上式可以用积分来表示：,间的振动模式数。,表示在,3.频率分布函数(模式密度,),设晶体有,N,个原子,则,(1)定义:,其中,m,是最高频率，又称截止频率。,(2)计算,因为频率是波矢的函数，所以我们可以在,波矢空间,内求出模式密度的表达式。,包含在,内的振动模式数为：,单位频率间隔内的振动模式数。,波矢密度,两个等频率面间的体积,每一支格波的振动模式数,每一支格波的模式密度,晶格总的模式密度,两个等频率面间的波矢数,q,y,q,x,体积元：,d,q,：,两等频面间的垂直距离,d,s,：,面积元。,体积元包含的波矢数目：,由梯度定义知:,代入上式得,证明：(法一),例1：证明由,N,个质量,为,m,、,相距为,a,的原子组成的,一维单原子链的模式密度,一维单原子链,共,有,N,个值,d,q,间隔内的振动模式数为:,间隔内的振动模式数为：,(因子,2,是因为一个,对应于正负两个波矢,q,，,即一个,对应两个振动模式。),(式中,m,为截止频率,),(法二),一维单原子链只有一支格波，且,对于一维单原子链波矢空间的波矢密度为,解:,例2：三维晶体，,求,其中,c,为常量，,q,x,q,y,在波矢空间，等频率面为球面，球半径为,q,。,3.6.2 晶体比热的爱因斯坦模型,(1)晶体中原子的振动是相互独立的；,(2)所有原子都具有同一频率,。,1.模型,设晶体由,N,个原子组成，因为每个原子可以沿三个方向振动，共有,3,N,个频率为,的振动,。,2.计算,(1)比热表达式,通常用爱因斯坦温度,E,代替频率,，定义为,k,B,E,=,，,爱因斯坦比热函数,。,爱因斯坦温度,E,如何确定呢？,选取合适的,E,值，使得在比热显著改变的温度范围内，理论曲线与试验数据相当好的符合。,对于大多数固体材料，,E,在,100300,k,的范围内。,高温时，当,T,E,时，,(1),3.高低温极限讨论,(2)低温时，当,T,D,时，,x,1，,3.高低温极限情况讨论,高温时与实验规律相吻合。,(2)低温时，当,T,D,时，,由上式看出，在极低温度下，比热与,T,3,成正比，这个规律称为德拜定律。温度越低，理论与实验吻合的越好。,
展开阅读全文