D8.1.2_第二型曲线积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,8.1.2,第二型曲线积分,矢量场初步,例,1.,例,2.,矢量场初步,例,3.,例,4,.,变力沿曲线所作的功,设一质点受如下变力作用,在,xoy,平面内从点,A,沿光滑曲线弧,L,移动到点,B,求移,动过程中变力所作的功,W,.,常力沿直线所作的功,1.,第二型曲线积分的概念,“,大化小,”,“,常代变,”,“,近似求和,”,“,取极限,”,解决办法,:,1),“,大化小,”,.,2),“,常代变,”,把,L,分成,n,个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,F,沿,则,用有向线段,上任取一点,在,3),“,近似和,”,4),“,取极限,”,(,其中,为,n,个小弧段的,最大长度,),定义,.,设,L,为,xOy,平面内从,A,到,B,的一条,有向光滑,弧,若对,L,的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧,L,上,对,坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或,第二类曲线积分,.,其中,L,称为,积分弧段,或,积分曲线,.,称为,被积函数,在,L,上定义了一个向量函数,极限,记作,若,为空间曲线弧,记,称为对,x,的曲线积分,;,称为对,y,的曲线积分,.,若记,对坐标的曲线积分也可写作,类似地,性质,(1),若,L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2),用,L,表示,L,的反向弧,则,则,定积分是第二类曲线积分的特例,.,说明,:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的,方向,!,例,1.,注：,：,为方向余弦,2.,第二型曲线积分的计算,例,2.,解：,例,3.,解：,，取逆时针方向。,，取逆时针方向。,定理,:,在有向光滑弧,L,上有定义且,L,的参数方程为,则曲线积分,连续,*证明,:,下面先证,存在,且有,对应参数,设分点,根据定义,由于,对应参数,因为,L,为光滑弧,同理可证,其他情形,(3),对空间光滑曲线弧,:,类似有,代,将,L,的参数方程代入被积函数,换,定限,下限,起点参数值,上限,终点参数值,一代、二换、三定限,例,4,.,计算,其中,L,为沿抛物线,解法,1,取,x,为参数,则,从点,的一段,.,例,4,.,计算,其中,L,为沿抛物线,从点,的一段,.,解法,2,取,y,为参数,例,5,.,计算,其中,L,为,(1),半径为,a,圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向,;,(2),从点,A,(,a, 0 ),沿,x,轴到点,B,(,a, 0 ).,解,:,(1),取,L,的参数方程为,(2),取,L,的方程为,则,则,例,6,.,计算,其中,L,为,(1),抛物线,(2),抛物线,(3),有向折线,解,:,(1),原式,(2),原式,(3),原式,例,7.,设在力场,作用下,质点由,沿,移动到,解,:,(1),(2),的参数方程为,试求力场对质点所作的功,.,其中,为,例,8.,求,其中,从,z,轴正向看为顺时针方向,.,解,:,取, 的参数方程,设有向光滑弧,L,以弧长为参数,的参数方程为,已知,L,切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,3.,第一型与第二型积分的关系,类似地,在,空间曲线,上的两类曲线积分的联系是,令,记,A,在,T,上的投影为,二者夹角为,*,例,9,.,设,曲线段,L,的长度为,s,证明,续,证,:,设,说明,:,上述证法可推广到三维的第二类曲线积分,.,在,L,上连,*例,10,.,将,积分,化为对弧长的积,分,解：,其中,L,沿上半圆周,1.,定义,2.,性质,(1),L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2),L,表示,L,的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意,积分弧段的方向,!,内容小结,3.,计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,4.,两类曲线积分的联系,对空间有向光滑弧,:,原点,O,的距离成正比,思考与练习,*,1,.,设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提示,:,F,的大小与,M,到原,F,的方向,力,F,的作用,求力,F,所作的功,.,思考,:,若题中,F,的方向,改为与,OM,垂直且与,y,轴夹锐角,则,2.,已知,为折线,ABCOA,(,如图,),计算,提示,:,*3.,解,:,线移动到,向坐标原点,其,大小与作用点到,xoy,面的距离成反比,.,沿直,求,F,所作的,功,W,.,已知,F,的方向指,一,质点在力场,F,作用下由点,*,4.,设曲线,C,为曲面,与,曲面,从,ox,轴正向看去为逆时针方向,(1),写出曲线,C,的参数方程,;,(2),计算曲线积分,解,:,(1),(2),原式,=,令,利用“偶倍奇零”,1.,（数学一,2010,年）,解,:,考研真题,作业,P228,第,4,题中,(1)-(5),选两小题,P228,第,5,题中,(6)(7)(8),选一小题,