3.4 Gauss求积公式

,*,第三章 数值积分与数值微分,3.4 Gauss,求积公式,3.4.3 Gauss,求积公式的余项与稳定性,3.4.2,常用,Gauss,求积公式,3.4.1 Gauss,求积公式的基本理论,3.4 Gauss,求积公式,学习目标：,掌握高斯求积公式的用法。会用高斯,勒让德求积公式。,前面我们限定把积分区间的,等分点,作为求积节点,从而构造,出一类特殊的插值求积公式，即,NewtonCotes,公式,。这种做法,虽然简化了算法，但却降低了所得公式的代数精度。例如：在,构造形如,的两点积分公式时，如果限定求积节点 ，那么,所 得插 值型求积公式 ，其代数精度仅为,1,。,但是，如果我们对公式（*）中系数 和节点 都不加,限制，那么就可以适当选取 使所得公式的代数精,度,m1,。,事实上，若要求（*）对,f,(,x,)=,1,，,x,，,都准确成立，,满足方程组：,只要,易验证，这是代数精度为,m=3,的插值型求积公式。,代入（*）得：,由第二式和第四式可得 ，结合第一式和第三式得 取 得,由上例可知，在节点数目固定为,n,的条件下，可以通过,适当选取求积节点,x,k,的位置以及相应的求积系数,A,k,，使机械求积公式,具有尽可能高,(,最高,2n+1),的代数精度。,当求积系数,A,k,、求积节点,x,k,都可以自由选取时,其代数精确度最高可以达到多少次,?,下面的引理可以回答上述问题,.,(3.4.1,),考虑带权求积公式,引理,3.4.1,当求积系数,A,k,、求积节点,x,k,都可以自由选取时,n,点的求积公式,(3.4.1),的代数精确度最高可以达到,2n+1,次,.,于是成立等式,即,若记,(3.4.2),证,假设求积公式,(3.4.1),具有,m,次代数精确度,即对任意的,m,次代数多项式 求积公式,(3.4.1),的精确成立,.,则,(3.4.2),式成为,由于系数,a,m,a,m-1,a,1,a,0,的任意性,故使,(3.4.3),式成为恒等式的充要条件是,(3.4.3),(3.4.4),式的待定系数有,2n+2,个,所以确定待定系数的独立条件至多给出,2n+2,个,从而可知,m,至多为,2n+1,.,(3.4.4),怎样适当选择求积系数,A,k,、求积节点,x,k,，使求积公式的代数精度达到最高，在上面的例子中讨论了一种方法,-,待定系数法,。,定义,3.4.1,如果求积公式（,3.4.1,）具有,2n+1,次代数精度,则称该公式为,Gauss,型公式,。称其节点 为,Gauss,点,.,例,3.4.1,确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高,.,(3.4.5),解,:,在构造形如,的两点公式时,如果限定求积节点,那么所得插值求积公式,的代数精度仅为,1,。但是,如果对式,(3.4.5),中的系数 和 节点 都不加限制，由引理,1,知就可适当选取 和,使所得公式的代数精度,m,1(,最高为,n-1=3),。即求积公式,(3.4.2),对函数 都准确成立，只要 和 满足方程组,由第二式和第四式可得 ，结合第一式和第三式得 取 得,代入,(3.4.5),即得,(3.4.6),可以验证，所得公式（,3.4.6,）是具有,3,次代数精度的求积公式。,例,3.4.1,是,直接利用代数精度的概念,去求,n+1,个,Gauss,点和,n+1,个求积系数，即,对于插值型求积公式,(,3.4.2),分别取,f,(,x,)=1,x, x,2, x,3, x,2n+1,用待定系数法来确定参数,x,k,和,A,k,(,k,=0,1,n,),从而构造,n,+1,个点高斯求积公式。但是，这种做法是要,联立求,解一个包含,2,n,+2,个未知数的非线性方程组，,方程组是可解的，但当,n,稍大时，解析的求解就很难，数值求解非线性方程组也不容易。,其计算工作量是相当大的。,另一类较简单的方法是：,先利用区间,a,b,上的,n,+1,次正交多项式确定高斯点,x,k,a,b, (,k,=0,1,n,),(2),然后利用高斯点确定求积系数,A,k,(,k,=0,1,n,),下面从分析,Gauss,点的特性着手研究,Gauss,公式的构造问题 。,插值求积公式节点一经确定，相应的求积系数就确定了，,定理,3.4.1,对于插值求积公式,(3.4.1),其节点 是,Gauss,点的充分必要条件是以这些点为零点的多项式,与任意不超过,n,次,的,多项式,P,(,x,),带权正交,即,（,3.4.7,）,式,(3.4.1),对于,P,(,x,),n,+1,(,x,),是准确成立的，即有,的次数不超过,2n+1,。因此,如果,x,0,x,1,x,n,是,Gauss,点，则求积公,证,.,先证必要性,.,设,P(x),是任意次数不超过,n,的多项式,则,P,(,x,),n,+1,(,x,),再证充分性。,设,f,(,x,),是任意个次数不超过,2n+1,的多项式，用,n,+1,(,x,),除,f,(,x,),记商为,P,(,x,),余式为,Q,(,x,),即,f,(,x,)=,P,(,x,) ,n,+1,(,x,)+,Q,(,x,),其中,P,(,x,),和,Q,(,x,),都是次数不超过,n,的多项式。利用（,3.4.7,）有,由于,(3.4.1),是插值型的，它对于,Q,(,x,),能准确,成立,：,注意到,n,+1,(,x,k,)=0,知,Q,(,x,k,)=,f,(,x,k,),，从而有,由此可见，公式（,3.4.1,）对于一切次数不超过,2n+1,的多项式均能准确成立。因此，,x,k,k,n,=0,是,Gauss,点,.,定理得证。,由于,n,+1,次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交，并且,n,+1,次正交多项式恰好有,n,+1,个互异的实的单根，我们有下面的推论。,推论,3.4.2,n,+1,次正交多项式的零点是,n,+1,个,Gauss,公式的,Gauss,点。,推论,3.4.2,实际上给出了构造,Gauss,型求积公式的一种方法,.,这种方法,当给定了积分区间,a,b,和权函数,(x),以后构造,n+1,个点的,Gauss,型求积公式,.,先求出区间,a,b,上带权函数,(x),的,n+1,次正交多项式,P,n,(,x,) ,然后用多项式求根的方法求出,P,n,(,x,),的,n+1,个根,x,k,(,k,=0,1,n,),从而获得了求积节点,x,k,(,k,= 0, 1, ,n,).,为了求得求积系数,A,k,(,k,=0,1,n,) ,将,n+1,个求积节点,x,k,(,k,=0,1,n,),代入方程组,(3.4.4),中的前,n+1,个方程并加以求解,即解线性代数方程组,求得求积系数,A,k,(,k,=0,1,n,),完成,Gauss,型求积公式的,构造,.,让我们看下一个例子讨论用以上方法进行,Gauss,型求积公式的构造,.,例,3.4.2,确定 使下列公式为,Gauss,公式：,解,方法,1,：像例,3.4.1,一样,直接由代数精度的概念构造,Gauss,公式。,方法,2,：用正交多项式的零点作为,Gauss,点的办法构造该,Gauss,公式。,先构造区间,0,，,1,上权函数 的正交多项式 这里我们,直接用正交性求解。设,则,由,得,a,=-2/5.,由,由此解得 从而得到,Gauss,求积公式。,由,得,b=-8/9,，从而得,c=-8/63,。,由 的零点,按代数精度的概念，分别令,f,(,x,)=1,，,x,时公式准确成立，得,3.4.2,常用,Gauss,求积公式,在区间,-1,，,1,上取权函数 ，那么相应的正交多项式为,Legendre,多,项式。以,Legendre,多项式的零点为,Gauss,点的求积公式为,（,3.4.8,）,称之为,Gauss-,Legendre,求积公式,。,1.GaussLegendre,求积公式,不失一般性，可取,a,-1,，,b,1,而考察区间,-1,，,1,上的高斯公式,令它对,f,(,x,)=1,准确成立。 即可得出 。,这样构造出的一点,Gauss-,Legendre,公式是中矩形公式。,若取 的零点 作节点构造求积公式,Legendre,多项式组,:1,x,(3,x,2,-1)/2,(5,x,3,-3,x,)/2,再取 的两个零点 构造求积公式：,令它对,f,（,x,）,=1,，,x,均准确成立，即,从而得,两点,Gauss,Legendre,公式,：,此时，公式（,3.4.8,）即为例,3.4.1,所给出的公式。,当,n=2,时，三次,Legendre,多项式,零点为,以此为,Gauss,点，仿两点,Gauss-Legendre,求积公式，求相应的求积系数，可构造出具有,五次代数精度的,3,点,Gauss-Legendre,求积公式,Guass-Legendre,求积公式中的,Gauss,点,x,k,(,k,= 0, 1, ,n,).,和求积系数,A,k,(,k,=0,1,n,),见表,3-5,。,x,x,k,A,k,0,0.0000000,2.0000000,1,0.5773503,1.0000000,2,0.7745967,0.0000000,0.5555556,0.8888889,3,0.8611363,0.3399810,0.3478548,0.6521452,4,0.9061798,0.5384693,0.0000000,0.2369269,0.4786287,0.5688889,对于一般区间,a,，,b,上的求积,，如果用,Gauss-,Legendre,求积公式，那么,务必须作变量替换,对于上式右边的积分可以应用,Guss-Legendre,求积公式，有：,就可将求积区间,a,b,变换到,-1,1,上，这时,即有,其中,即,代入（,A,）,得：,其中系数 和节点 可查表,3-5,得出，由变量替换公式,易见，由于求积公式（,C,）,对变量,t,不高于,2n+1,的多项式准确成立，从而求积公式（,D,）,对自变量,x,的不高于,2n+1,的多项式也准确成立，即（,D,）是,Gauss,型求积公式。,例,3.4.3,用,Gauss-,Legendre,求积公式,(n=1,2),计算积分,解,由于区间为,0,1,所以先作变量替换,x=(1+t)/2,得,对于,n=2,由,三点,Gauss-,Legendre,公式有,令 对于,n=1,由两点,Gauss-,Legendre,公式有,容易求出定积分的精确值为,I=e-2=0.718281828,，,由此可见,n=1,时的实,际误差为,0.0063340054, n=2,时的实际误差为,0.000030049,。,练：,利用,四点,Gauss,求积公式,计算 的近似值。,解：,Gauss,型求积公式（,D,）,得：,其中,a=0,，,b=1.,= -0.86113631，,= -0.33998104，,将上述各数据代入上公式中有：,由表,3-5,，可得,优点,：,在此例计算过程中，只涉及到 四个点上的函数值，可,见,Gauss,型求积公式具有计算工作量小，所得近似值精确度,高的优点，是一种高精度的求积公式。,Gauss,型求积公式的,缺点,是：当,n,改变大小时，系数和节点几,乎都在改变。虽然可以通过其他资料查到较大,n,的系数和节点，,但应用时却十分不便。同时，余项却涉及到高阶导数（被积,函数的），要利用它们来控制精度也十分困难。,为克服这些缺点，在实际计算中较多地采用复合求积,的方法。例如，先把积分区间 分成,m,个等长的小,区间 然后，在每个小区间上使用同,一低阶（如二点的，三点的，,）高斯型求积公式算,出积分近似值，再相加即将积分 的近似值：,其中， 由查表可得。同时在实际计算中，,还常用相邻两次计算结果 和 的关系式,来控制运算（当 时，,相当于相对误差）即算出 后，观察 是否,成立，以判定是否终止计算。可据此编程计算。,以此为,Gauss,点,利用,Chebyshev,多项式的性质可得相应的求积系数 为,其中 是关于,Gauss,点的,Lagrange,插值基函数,.,从而有,Gauss-,Chebyshev,求积公式,:,2.Guass-Chebyshev,求积公式,在区间,-1,1,上取权函数 的正交多项式是,Chebyshev,正交,多项式。,n+1,次,Chebyshev,多项式,的零点为,(3.4.9),对于,n=1,二点,Gauss-,Chebyshev,求积公式为,对于,n=2,三点,Gauss-,Chebyshev,求积公式为,例,3.4.4,计算积分,解,选用,n=2,的,Gauss-,Chebyshev,求积公式计算,这时 于是有,3.4.3 Gauss,求积公式的余项与稳定性,定理,3.4.2,设,则,Guass,公式,(3.4.1),的余项是,(3.4.10),证 由,Gauss,点 构造次数不超过,2n+1,的,Hermite,插值,多项式,H(x),满足条件,由于,Gauss,公式具有,2n+1,次代数精度它对于,H(x),能准确成立,即,特别地， 对于两点,Gauss-,Legendre,求积公式有,由,Hermite,插值多项式的插值余项有,再考虑到 在,a,b,上保号,应用积分中值定理得,(3.4.10),定理得证,.,对比,Newton-Cotes,求积公式,Gauss,求积公式不但具有高精度,而且是数,值稳定的,.Gauss,公式的稳定性之所以能够得到保证,是由于它的求积系数,具有非负性,.,引理,3.4.2,Gauss,求积公式,(3.4.1),中的系数 全部为正,.,对于两点,Gauss-,Chebyshev,求积公式有,在实际计算积分的近似值 时， 不能精确地,取到，一般只能是近似值，设 实际求,得的积分值为,定理,3.4.3,对于函数值的变化所引起的求积公式的误差有,证,对于以,Gauss,点 为节点的插值基函数,是,2n,次多项式,故,Gauss,公式,(3.4.1),对于它能准确,即有,由于上式左端大于零,所以有,证毕,.,(3.4.11),因此，（,3.4.11,）成立，定理成立。,由定理,3.4.3,可知，数据误差对于求积公式计算值的影响是可以控制的，即,Gauss,求积公式在数值计算中是稳定的。,证,由于求积系数 因此有,在,Gauss,求积公式中，取,f,(,x,)=1,，此时求积公式精确成立，即得,例,1,：选取常数,a,，,求使积分公式,的代数精度尽量高，并问其代数精度为几次？,解：取,f(,x,)=1.,则对上求积公式，左端,f(,x,)=,x,.,则 ，左端,=,综合举例,:,令左端,=,右端,左端,=,再取,故，当取,时，求积公式具有,3,次代数精度。,例,2,若用复化梯形公式计算积分,问积分区间要多少等分,才能保证有,6,位有效数字？,解：由复化梯形公式截断误差式知,由于该积分有一位整数，所以要求使近似积分有,6,位有效数字，只需取,n,满足：,（,有效数字定义见第一章，表示不,超过某一位数字的一半）,即,即,因此，至少要将,0,，,1,区间,212,等分。,若将同一问题改为复化,Simpson,公式,，则由复化,Simpson,公式截断误差式同样可得：,由此可见，,Simpson,公式复化型比复化梯形公式计算量少得多。,的近似值，要求误差,例3,用,Romberg,求积法计算,解：此时积分限为,a=0,b=1.,而,(,本例主要说明,Romberg,过程,）,如此继续算得：,由于,这个实例表明,Romberg,求积法计算过程不便于手工计算，但由于计算程序具有规律性，不必存储求积系数和节点，而且精度较高，因此适合于在电子计算机上进行计算。,用,Romberg,方法计算时，是把区间逐次分半的，因此有时称该法,为逐次分半加速法。,例,4,构造三个节点的,Gauss-Legendre,求积公式，并给出余项估计式。,解：由于三次,Legendre,多项式为：,其三个零点分别为：,令它对,准确成立,则三点,Gauss-Legendre,求积公式为：,余项为：,（,节点数）,例如，若要计算,的近似值，则由上积分公式得：,上述积分准确值为：,若利用三点,Simpson,求积公式。则,可见在节点数目相同的情况下，,Gauss,求积公式的精度是相当高的。,例,5,给出计算积分,的两点计算 公式，,使得对,f(,x,),为三次多项式时精确成立。,解：设,取 为二次多项式，对,w,（,x,）,上,式应精确成立：,显然 则,但,因而 即,不妨令 且 于是,令积分公式对,f,（,x,）,=1,，,x,准确成立 得：,解之得,a=b=,故所求积分公式为：,显然，由上述过程知，积分公式对,精确成立。,可验证：,从而积分公式对,也准确成立。,令,（,奇函数积分）,而,因此积分公式对,准确成立。,例,6,求下列求积公式的代数精度,解：设,为任意实数,则 左式,=,而右式,=,即积分公式对任意,3,次多项式准确成立。,，则,而右端,故其代数精度为,3,次。,又取,解：由于有,4,个待定系数,一般应对三次多项式精确,成立。可取,得：,例,7,建立下述形式的求积公式并确定它的代数精度：,故所求积分公式为：,故所得积分公式具有,3,次代数精度。,例,8,导出下述形式的求积公式：,解：它有,4,个待定系数，应该对三次多项式准确成立。取,得：,易验证，它对 不精确成立，因此具有,3,次代数精度,。,