数学归纳法课件

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/9/14,#,我是一毛,我是二毛,我是三毛,我是谁？,我不是四毛！我是小明！,不完全归纳,猜：,四毛！,完全归纳,？,解,:,猜想数列的通项公式为,验证,:,同理得,啊,有完没完啊,?,正整数无数个,!,提出问题：,对于数列，已知，,（,1,）求出数列前,4,项,你能得到什么猜想？,（,2,）你的猜想一定是正确的吗？,?,本题有没有行之有效,步骤有限的方法呢,?,下面我们看看下列的情景对我们解决本题证明有,什么启示？,问题情景,你见过多米诺骨牌游戏吗,?,请欣赏一下那,场景,!,1,、第一块骨牌倒下,2,、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下,条件（,2,）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第,K,块倒下，则相邻的第,K+1,块也倒下,请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件,数学归纳法,.,2.3数学归纳法,多米诺骨牌游戏与我们前面所提到的要解决的问题的相似性。,多米诺骨牌游戏原理,（1）第一块骨牌倒下。,（2）若第,k,块倒下时，则相邻的第,k+1,块也倒下。,根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。,（1）当,n=1,时，猜想成立,根据（1）和（2），可知对任意的正整数,n,，猜想都成立。,通项公式为 的证明方法,（2）若当,n=k,时猜想成立，即 ，则当,n=k+1,时猜想也成立，即 。,对于数列，已知，,写出数列前,4,项,并猜想其通项公式,;,同学们,你能验证你的猜想是不是正确的呢,?,证明,:,(1),当,猜想成立。,(2),那么,当,解,:,猜想数列的通项公式为,1,n,a,n,=,根据,(1),和,(2),，猜想对于任何 都成立。,见书,P,93,1.,验证第一个命题成立,(,即,n,n,0,第一个命题对应的,n,的值，如,n,0,1),；,2.,假设当,n,=,k,时命题成立，证明当,n,=,k,1,时命题也成立,.,(,归纳奠基）,数学归纳法,:,关于正整数,n,的命题,(,相当于多米诺骨牌,),我们可以采用下面方法来证明其正确性：,由,(1),、,(2),知，对于一切,n,n,0,的自然数,n,都成立！,(,归纳递推）,注意,:,运用数学归纳法证题,以上两步缺一不可,.,证明：,（,1,）当,n=1,时，,左边,=1,2,=1,右边,=,1,等式成立,(2),假设当,n=k,时等式成立,即,那么,当,n=k+1,时,即当,n=k+1,等式也成立,根据,(1),和,(2),可知等式对任何 都成立,.,凑出目标,用到假设,例1.,用数学归纳法证明,见书,P,94,例1,练习,:,用数学归纳法证明,1+3+5,+(2,n,-1,)=,n,2,(,n,N,）,.,证明,: (,1),当,n,=1,时,左,1,，右,1,2,1,n,=1,时，等式成立,(2),假设,n,=,k,时，等式成立，即,1+3+5+(2,k,1)=,k,2,那么，当,n,=,k,+1,时,左,1+3+5+(2,k,1),2(,k,+1)-1,=,k,2,+2,k,+1,=(,k,+1),2,=,右,即,n,=,k,+1,时等式成立,由,(1),、,(2),可知等式对任何,n,N,*,都成立,递推基础,递推依据,错误！,错误原因：没有第一步,n=1,等式成立的证明,其实,n=1,等式,并不成立,，左边,=,1,，右边,=,2,例2. 试判断下列用,数学归纳法证明过程,是否正确?,那么，当,n=k+1,时,即当,n=k+1,时等式也成立,可知等式对任何 都成立,.,那么，当,n=k+1,时,证明,:,(1),当,n=1,时,左边,=2,0,=1,右边,=2,1,1=1,等式成立,（,2,）假设,n=k,时，等式成立，即,即当,n=k+1,时等式也成立,根据,(1),和,(2),可知等式对任何 都成立,.,错误原因：由证明,n=k+1,等式成立时,没有用到,n=k,命题成立的,归纳假设,错误！,例,3.,已知数列,计算,根据计算的结果,猜想,的表达式,并用数学归纳法进行证明,.,当 时,当 时,当 时,当 时,然后用数学归纳法证明猜想, ,见书,P,94,例2（略）,经常,不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有,力量,Study Constantly, And You Will Know Everything. The More You Know, The More Powerful You Will,Be,写,在最后,感谢聆听,不足之处请大家批评指导,Please Criticize And Guide The,Shortcomings,结束语,讲师,：,XXXXXX,XX,年,XX,月,XX,日,