控制系统的频率特性和根轨迹

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章 控制系统的频率特性和根轨迹,控制理论的基本任务,是分析控制系统的稳定性、准确性和快速性。,时域分析法,直观，但对于对于比较复杂的高阶系统计算麻烦，而且这种方法难于确定如何调整系统结构或参数才能获得预期的效果。因此，工程上相继出现了两种简便的分析方法：,频率法,和,根轨迹法,。,可以通过分析系统对不同频率的稳态响应来获得系统的动态特性。,频率特性有明确的物理意义，可以用实验的方法获得。这对那些不能或难于用分析方法建立数学模型的系统或环节，具有非常重要的意义。即使对于那些能够用分析法建模的系统，也可以通过频率特性实验对其模型加以验证和修改。,不需要解闭环特征方程。由开环频率特性即可研究闭环系统的瞬态响应、稳态误差和稳定性。,频率特性分析法的特点：,第一节 频率特性的基本概念,频率响应概念,控制系统或元件对正弦输入信号的稳态正弦响应称为,频率响应,。,线性系统传递函数为,G,(,s,),，,若对该系统输入一幅值为,R,0,，频率为,的正弦信号：,r,(,t,)=,R,0,sin,t,，则系统的输出为同一频率的正弦波，只是幅值和相位与输入不同（,图,4-1,）。,若保持输入量的振幅不变，仅仅改变输入信号的频率，则输出量与输入量的幅值比,A,(,),和相位差,(,),都是频率,的函数。这种输出与输入正弦信号的幅值比,A,(,),和相位差,(,),随输入频率的变化规律，称为,频率特性,。,图,4-1,结果的证明,设控制系统的传递函数为,式中，,n,m,。,（,4-1,）,当输入为一正弦波，即,则有,系统的输出为,（,4-2,）,设系统的传递函数为,（,4-3,）,式中分母多项式,q,(,s,),中包含有互不相同的单极点,-,s,i,（,i=1,，,2,，,，,n,），设系统为稳定系统，其实部均为负值。将式（,4-3,）代入式（,4-2,），并化为部分分式得,（,4-4,）,式中,a,，,待定共轭复数；,b,i,(,i,=1,，,2,，,，,n,),待定常数。,如果传递函数中，包含有,m,个重极点,p,j,时，则在,c,(,t,),表达式将包含,t,hj,e,-,p,j,t,（,h,j,=0,，,1,，,2,，,，,m,j,-1,）,这样一些项，当,t,时，这些项都为零。,不论那种情况，其输出的稳态响应为,（,4-6,）,式中的,a,和 可按求留数的方法予以确定：,（,t,0）,因此上式的拉氏反变换为,（,4-5,）,对稳定系统而言，,-,p,1,，,-,p,2,，,.,，,-,p,n,具有负实部，因而，在上式中，当,t,时，第三项以后各项全部为零，稳态值只有第一、第二项。,因为,G,(j,),是一个复数，所以可以表示成为,将,a,、 代入,(4-6),得,可得,|,G,(j,)|,表示,G,(j,),的幅值，,表示,G,(j,),的相位。,式中，,B,(,)=,R,0,|,G,(j,)|,为输出信号的幅值。,从而证明了当线性系统输入一正弦信号时，其输出量也是正弦信号。但输出量的幅值,R,0,|,G,(j,)|,和相位,(,t,+,),一般都和输入信号的幅值,R,0,和相位,t,不同，并且这种变化是输入频率,的函数。令,在,0,范围内变化，相应求出,|,G,(j,)|,和,G,(j,),就可在频率域中对系统性能作全面的描述。,-,由欧拉公式,（,4-8,）,在图,4-1,中，输入信号为,r,(,t,)=,R,0,sin,t,，则控制系统的输出信号为,（,4-9,）,式中,|,G,(j,)|,、,的模和相位。,G,(j,),是控制系统传递函数,G,(,s,),中令,s= j,而来，故表征了系统的固有特性。,G,(j,),称之为系统的,频率特性,，它等于在正弦输入下系统稳态输出量与输入量的复数比。,A,(,),表示稳态输出量与输入量的幅值比，称为系统的,幅频特性,，,A,(,)= |,G,(j,)|,；,(,),表示稳态输出量与输入量的相位差，称为系统的,相频特性,，,(,)= ,G,(j,),。,频率特性,G,(j,),是一个以频率,为自变量的复变函数，它是一个矢量，故可将,G,(j,),分解为实部和虚部之和即,相频特性,描述了输出相位对输入相位的滞后或超前特性。按照正弦信号的旋转矢量表示方法，规定,(,),按逆时针方向旋转为正值，按顺时针方向旋转为负值,。,（,4-10,）,式中,U,(,),实频特性，,U,(,)=,Re,G,(j,);,V,(,),虚频特性，,V,(,)=,Im,G,(j,),。,这些频率特性之间的关系如下,频率特性的物理意义,图,4-3,所示的弹簧阻尼系统，其力平衡方程是,若以,x,为输入,y,为输出，则系统的传递函数为,式中,T,=,f,/,k,时间常数。,（,4-17,）,在式（,4-17,）中，令,s,=j,，则得系统的频率特性为,式中 （幅频特性）,（相频特性）,因此，实频特性,虚频特性,如若输入位移是正弦函数，即,x,(,t,)=,x,0,sin,t,，根据式（,4-8,），其输出位移应为,（,4-19,）,频率特性,G,(j,),的物理意义,由例,4-1,机械系统的频率特性可以看出：,(1),机械系统的结构参数（,k,，,f,）给定之后，其频率特性完全确定，故频率特性反映了系统的固有特性，与外界因素无关；,(2),当频率很低时，输出量,y,(,t,),的振幅,衰减甚微，相位滞后,arctan,T,也很小，当输入频率,增加时，输出振幅减小，相位滞后加大，当,时，输出量的振幅衰减至零，相位滞后,(,)90,。说明该系统复现正弦信号的能力是随输入频率变化的,，该系统具有,低通滤波,作用。,(3),频率特性随频率而变化，是因为系统含有储能元件。,实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这些储能元件，它们在能量交换时，对不同频率的信号使系统显示出不同的特性。,例,4-1,某系统传递函数为 ，当输入为,时，试求其稳态输出。,解：当给线性系统输入正弦函数信号时，系统将输出一个与输入同频率的正弦函数信号，其输出的幅值与相位取决于系统幅频特性与相频特性。,已知,则,幅频特性,相频特性,则,由于,所以,习题： 机械系统如图所示：弹簧刚度系数,k,=10,N,/,m,，,阻尼系数,C,=10,N,s,/,m,输入幅值为,1,N,的正弦力，求两种频率下即：,f,(,t,)=,sin,t,和,f,(,t,)=sin100,t,时，系统的位移,y,(,t,),的稳态输出。,解：系统的微分方程为,系统的频率特性,式中,T=,c,/,k,=10/10=1,（,s,）,系统的传递函数,系统的实频特性为,系统的虚频特性为,系统的幅频特性为,系统的相频特性为,当,=1,时，,G,(j,),的模和幅角为：,当,=100,rad/s,时，,(,),=-arctan100-89.4,所以,f,(,t,)=sin100,t,时的稳态位移输出为,系统的位移幅值随着输入力的频率增大而减小，同时位移的相位滞后量也随频率的增高而加大。,所以当,f,(,t,),sin,t,时稳态位移输出为,归纳：,(1),线性定常系统的频率特性可以通过系统的传递函数获得，即：,G,(j,) =,G,(,s,)|,s,=j,系统的频率特性就是其传递函数,G,(,s,),中复变量,s,=,+j,在,=0,时的特殊情况。,(2),若系统的输入信号为正弦函数，则系统的稳态输出也是相同频率的正弦函数，但幅值和相位与输入信号的幅值和相位不同。,第二节 频率特性表示法,一幅相频率特性图,(,奈奎斯特图,Nyquist,),频率特性的幅相频特性图也称为极坐标图或称为奈奎斯特图。,由于频率特性,G,(j,),是,的复变函数，故可在复平面,G,(j,),上表示。对于给定的,，,频率特性可由复平面上相应的矢量,G,(j,),描述。,当,从,0,变化时，,G,(j,),矢量端点的轨迹即为频率特性的极坐标曲线，该曲线连同坐标一起则称为,幅相频率特性图,。这里规定极坐标图的实轴正方向为相位的零度线，由零度线起，矢量逆时针转过的角度为正，顺时针转过的角度为负。图中用箭头标明,从小到大的方向。,主要缺点,:,不能明显地表示出系统传递函数中各个环节在系统中的作用，绘制较麻烦。,幅相频率特性图的优点,:,在一幅图上同时给出了系统在整个频率域的实频特性、虚频特性、幅频特性和相频特性。它比较简洁直观地表明了系统的频率特性。,1.,绘制频率特性,Nyqusit,图的步骤,（,1,）在系统传递函数中令,s,=j,，,写出系统频率特性,G,(j,),。,（,2,）,写出系统的幅频特性,|,G,(j,)|,、,相频特性,G,(j,),、,实频特性,Re,(,),和虚频特性,Im,(,),。,（,3,）令,=0,，求出,=0,时的,|,G,(j,)|,、,G,(j,),、,Re,(,),、,Im,(,),。,（,4,）,若频率特性矢端轨迹与实轴、虚轴存在交点，求出这些交点。令,Re,(,)=0,，,求出,，然后代入,Im,(,),的表达式即求得矢端轨迹与虚轴的交点；令,Im,(,)=0,，,求出,，然后代入,Re,(,),的表达式即求得矢端轨迹与实轴的交点。,（,5,）对于二阶振荡环节（或二阶系统）还要求,=,n,时的,|,G,(j,)|,、,G,(j,),、,Re(,),、,Im,(,),。,若此环节（或系统）的阻尼比,0,0.707,，则还要计算谐振频率,r,、,谐振峰值,M,r,及,=,r,时的,Re(,),、,Im,(,),。,其中，谐振频率,r,、,谐振峰值可由下式得到：,（,6,）在,0,的范围内再取若干点分别求,|,G,(j,)|,、,G,(j,),、,Re,(,),、,Im,(,),。,（,8,）在复平面,G,(j,),中，标明实轴、原点、虚轴和复平面名称,G,(j,),。,在此坐标系中，分别描出以上所求各点，并按,增大的方向将上述各点联成一条曲线，在该曲线旁标出,增大的方向。,（,7,）令,=,，求出,=,时的,|,G,(j,)|,、,G,(j,),、,Re,(,),、,Im,(,),。,1,比例环节,比例环节的传递函数是,G,(,s,)=,K,令,s=j,，则得比例环节的频率特性为,G,(j,)=,K,幅频特性,相频特性,这表明，当,从,0,时，,(j,),的幅值总是,K,，,相位总是,0,，,(j,),在极坐标图上为实轴上的一定点，其坐标为（,K,，,j0,）。,2,积分环节,传递函数,频率特性,显然，实频特性恒为,0,；虚频特性则为,-1/,。,故幅频特性,|,(j,)|=1/,(4-21),相频特性,(j,)=-90 (4-22),由此有：当,=0,时，,|,G,(j,)|=,，,G,(j,)=-90;,当,=,时，,|,G,(j,)|=0,，,G,(j,)=-90,。,可见，当,从,0,时，,G,(j,),的幅值由,0,，相位总是,-90,，积分环节频率特性的极坐标图是虚轴的下半轴，由无穷远点指向原点。,(4-20),3.,理想微分环节,传递函数,G,(,s,)=,s,频率特性,G,(j,)=j,(4-23),显然，实频特性恒为,0,；虚频特性为,。故,幅频特性,|,G,(j,)|=,(4-24),相频特性,G,(j,)=90 (4-25),由此有：,当,=0,时，,|,G,(j,)|=0,，,G,(j,)=90,；,当,=,时，,|G(j,)|=,，,G(j,)=90,。,当,从,0,时，,G,(j,),的幅值由,0,，其相位总是,90,。微分环节的频率特性的极坐标图是虚轴的上半轴，由原点指向无穷远点。,4.,惯性环节,传递函数,频率特性,(4-26),实频特性,幅频特性,(4-29),相频特性,(4-30),虚频特性,(4-27),(4-28),由此有：,当,=0,时，,|,G,(j,)|=1,，,G,(j,)=0,当,=1/,T,时，,|,G,(j,)|=0.707,，,G,(j,)=-45,当,=,时，,|,G,(j,)|=0,，,G,(j,)=-90,根据上述实频和虚频特性两式，可分别求得不同,值的,U,(,),和,V,(,),，,从而作出极坐标图。,此时，频率特性曲线为一半圆。证明如下：,由于 将其代入实频特性表达式中,则有 ，将此式整理得,（,4-31,）,此式是一个圆方程，但由于,G,(j,)=-,arctan,T,，,所以当,0,1,时，幅值分贝数为正；当,K,1,时，幅值分贝数为负。,K,值改变时，只是对数幅频特性上、下移动，而对数相频特性不变。,比例环节：,频率特性,(j,)=,K,(2),积分环节：,对数幅频特性为：,(4-52),对数相频特性,(,)=,G,(j,)=-90,由式（,4-52,）知，,L,(,),在伯德图上为一直线。,当,=1,rad/s,时，,L,(,)=0dB,，即,L,(,),和横轴交于,=1,处，若求出该直线的斜率，则,L,(,),便可做出。,频率特性为：,(4-51),设,2,/,1,=10,rad/s,，则,L,(,2,)-,L,(,1,) =-20lg,2,+20lg,1,=-20lg(10,1,)+20lg,1,=-20dB,，即每当频率变化,10,倍，幅值下降,20dB,。记作对数幅频特性的斜率为,-20dB/dec,。于是，,积分环节的对数幅频特性为一在,=1,rad/s,处穿越横轴、斜率为,-20dB/dec,的直线。,积分环节的对数相频特性为,(,)=-90,的直线。,解：因,，即,，,例,作,的伯德图。,相频特性,G,(j,)=-180,对数幅频特性为：,对数相频特性,(,)=,G,(j,)=-180,当,=1,、,K,=10,时，,20lg|G(j,)|=20dB,，对数幅频特性过点,(1,，,20),。,=10,、,K,=10,时，,20lg|,G,(j,)|=-20dB,，对数幅频特性过点,(1,，,-20),故幅频特性,对数幅频特性,为一过点（,1,，,20,）而斜率为,-40dB/dec,的直线。它是一个比例环节,(,K,=10),与两个积分环节,(1/s),的对数幅频特性的叠加。,对数相频特性,是一条过点,(0,，,-180),且平行于横轴的一直线，也是一个比例环节和两个积分环节的对数相频特性的叠加。,增加一个串联的积分环节，就使对数幅频特性的斜率增加,-20dB/dec,，,而使相位增加,-90,；,增加一个串联的比例环节后，其对数幅频特性垂直平移,20lg,K,，,而其相位不变。,(3),微分环节,对数幅频特性,L,(,)= 20lg|,G,(j,)|=20lg,(4-54),对数相频特性,(,)=,G,(j,)=90,和积分环节对数频率特性表达式比较，两者仅仅相差一个符号，故微分环节的对数幅频特性为一在,=1,处和横轴相交，其斜率为,+20dB/dec,的直线，,对数相频特性为,(,)=90,的一条水平线，这说明输出的相位总是超前于输入相位,90,（图,4-11b,）。,频率特性,(4-53),(4),惯性环节：,对数幅频特性,（,4-56,）,对数相频特性,在低频段，当,1/,T,，,(T,),2,1/,T,，,(T,),2,1,，,对数幅频特性为：,频率每变化十倍频程，即,2,/,1,=10,，则幅值下降,即高频渐近线的斜率是,-20dB/dec,。当,=1/,T,时，高频渐近线,L,(,)=-20lg,T,=0,，故高频渐近线与横轴交于,=1/,T,处。,上述分析表明，惯性环节对数幅频特性的渐近线为一折线，折点在,T,=1/,T,处，称,T,为转角（或转折）频率。,就工程计算而言，渐近线已经足够用了。由图可见，最大误差发生在,T,=1/,T,处。其误差是,惯性环节的,对数相频特性图,，可根据式（,4-57,）改变,，逐点求出,(,),，作对数相频特性图,(,图,4-12),。,因为对数相频特性,(,)=,-,arctan,T,是以反正切函数表示的，所以相位曲线,斜对称于点,(,T,，,-45),。,表,4-1,惯性环节取不同频率,时所对应的,(,),(,rad/s,),0,1/10,T,1/5,T,1/2,T,1/,T,2/,T,5/,T,10/,T,(,),0,-5.7,-11.3,-26.6,-45,-63.4,-78.7,-84.8,-90 ,惯性环节有低通滤波器的特性。当输入频率,T,时，其输出很快衰减，即滤掉输入信号的高频部分；在低频段，输出能较准确地反映输入。,一阶微分环节与惯性环节的,对数幅频特性和对数相频特性,仅差一个符号，其伯德图如图,4-13,所示。和惯性环节的伯德图对称于横轴；其对数幅频特性的渐近线由两条直线表示，当,1/,T,时，是一条斜率为,+20dB/doc,的斜线，幅值迅速上升，说明一阶微分环节对高频信号具有超前放大作用。,(5),一阶微分环节：,对数幅频特性,对数相频特性,(,)=,G,(,j,)=,arctan,T,频率特性,（,4-58,）,（,4-59,）,（,4-60,）,(6),振荡环节：,对数幅频特性为：,(4-62),频率特性,（,4-61,）,对数相频特性,(1),振荡环节的对数幅频特性绘制方法,当,T,1,时，,L,(,)=20lg,G,(,j,),- 20lg(,T,),2, -40lg,T,每当,增加十倍频程，即,2,=10,1,，则幅值下降,L,(,)=,L,(,2,)-,L,(,1,)=-40lg,T,2,+40lg,T,1,)=-40dB-40lg,T,1,+40lg,T,1,=-40dB,。,可见，高频渐近线为一斜率为,-40dB/dec,的直线。,(4-63),当,=1/,T,时，高频渐近线,L,(,)= -40lg,T,=0dB,。,即高频渐近线与低频渐近线相交于,=1/,T,处。因为,n,= 1/,T,，故无阻尼自然频率,n,就是振荡环节的转角频率。振荡环节的渐近线与,无关，但实际上,L,(,),与,是有关的，并且当,1,，,G,(,j,),与,1,相比，,1,可忽略不计，则,高频时，,G,(,j,),1,，,G,(,j,),与,1,相比，,G,(,j,),可忽略不计，则,在中频段（,幅值穿越频率,c,附近）可通过计算描点画出轮廓。,幅值穿越频率或增益交界频率（,c,）,对数幅频特性曲线与横坐标轴相交处的频率。,二,.,频率特性的性能指标,在频域分析中，评价控制系统性能优劣的特征量称为频域性能指标，它体现了系统的快速性、稳定性等动态品质。,系统的带宽,指闭环系统的对数幅值不低于,-3dB,时所对应的频率范围,(0,BW,b,),。带宽表征了系统响应的快速性。对系统带宽的要求，取决于两方面因素的综合考虑。,1,截止频率,b,和带宽,BW,截止频率,指闭环对数幅值,L,(,),20lg,M,(,),下降到,-3dB,即振幅,M,(,),衰减到,0.707,M,(0),时的角频率。闭环系统将高于截止频率的信号分量滤掉，而允许低于截止频率的信号分量通过。,1).,响应速度的要求,响应越快，要求带宽越宽。,2).,高频滤波的要求,为滤掉高频噪声，带宽又不能太宽。,2,谐振峰值,M,r,和谐振频率,r,闭环频率特性幅度值的极大值,M,r,，称为谐振峰值。,以二阶系统为例。从 知，系统的阻,尼越小，,M,r,值越大，越易振荡。阻尼比越大，,M,r,越小，越易稳定下来。故,M,r,标志着系统的相对稳定性。当,1,M,r,1.4,（相当于对数幅值,0, 20lg,M,r,3dB,）,时，对应的阻尼比为,0.4,0.707,。若,0.707,，则系统不出现谐振峰值，故,一般取,M,r,1.4,。,系统谐振峰值处的频率，称为,谐振频率,r,，,r,表征了系统的响应速度。从图,4-21,可见，,b,r,，谐振频率,r,越大，系统带宽越宽，故响应速度越快 。,3,剪切率,指对数幅值曲线在截止频率附近的斜率，该处曲线斜率越大，高频噪音衰减的越快。因此，剪切率表征了系统从噪音中辨别信号的能力。,开环频率特性性能指标中，描述系统相对稳定性的增益裕量、相位裕量等将在下一章介绍。,三、最小相位系统,最小相位传递函数：,若传递函数,G,(,s,),的,所有零点和极点,均在复平面,s,的左半平面内，则称,G,(,s,),为最小相位传递函数。,最小相位系统：,具有最小相位传递函数的系统。,(0,T,T,1,),(0,T,T,1,),具有相同幅频特性的系统，最小相位系统的相角变化范围是最小的。例如两个系统的传递函数分别为,非最小相位传递函数：,若传递函数,G,(,s,),在复平面,s,的右半平面内存在零点或极点，则称,G,(,s,),为非最小相位传递函数。,非最小相位系统：,具有非最小相位传递函数的系统。,显然,G,1,(,s,),属于最小相位系统。这两个系统具有同一个幅频特征，但它们却有着不同的相频特性，如图,4-23,所示。,两个系统在复平面上的零、极点分布如图,4-22,所示。,因非最小相位系统往往含有延时环节或小闭环不稳定环节，故启动性能差。响应慢。在要求响应快的系统中，总是尽量避免非最小相位系统出现。,四、 由实测频率特性曲线确定系统传递函数,在分析和设计控制系统时，首先要建立系统的数学模型。,实际系统是复杂的，有些系统由于人们对其结构、参数及其支配运动的机理不很了解，常常难于从理论上导出系统的数学模型。,用频率特性实验分析法来确定系统数学模型。,频率特性实验分析的步骤,1,在可能涉及到的频率范围内，测量出系统或元件在足够多的频率点上的幅值比和相位差。,2,由实验测得的数据，画出系统或元件的伯德图。,3,在伯德图上，画出实验曲线的渐近线。将各段渐近线组合起来，就可以构成整个的渐近对数幅频特性曲线。通过对转角频率的一些试算，通常是可以得到比较满意的渐近线。,4,最后由渐近线来确定系统或元件的传递函数。,在确定传递函数时应该注意：伯德图上的频率应转化成弧度,/,秒。,（,4-68,）,（,4-69,）,在实际系统中，积分因子的数目,等于,0,、,1,或,2,。,1.,系统类型和开环增益,K,的确定,系统的类型和开环增益,K,主要由系统低频特性的形状和数值来确定。频率特性的一般形式为,式中,-,串联积分环节的数目， 当,0,时，各一阶环节因子趋近于,1,，故有,（,1,） 对于,=0,时，即为零型系统。式（,4-68,）变为,G,(,j,) =,K,故其对数频率特性的低频渐近线是一条,20lg,K,dB,的水平线，,K,值由该水平线求得。,（,2,） 对于,N,=1,时，即为,型系统,即,上式表明，低频渐近线的斜率为,-20dB/dec,，,渐近线（或延长线）与,0dB,轴交点处的频率在数值上等于,K,。,上式表明，低频渐近线的斜率为,-40dB/dec,，,渐近线（或延长线）与,0dB,轴交点处的频率在数值上等于 。,对于,N,=2,时，即为,型系统,即,由于当,=1,时，系统的对数频率特性曲线一定过,20lg,K,，所以,K,值可将,=1,由代入以上各式求得。,在由实验得到的对数幅频特性图上，从低频到高频，利用曲线各段斜率的变化来估计系统的组成环节。即用斜率为,0,、,20,dB/dec,及其倍数的渐近线逼近实验曲线，由各渐近线的交点来确定转角频率。如果实验对数幅频特性在,=,1,时，是由,-20dB/dec,变化到,-40dB/dec,，,那么很明显，在传递函数中包含有一个,2.,系统各环节的估计,的惯环节。,的二阶振荡环节，振荡环节的无阻尼自然频率就等于,2,=1/,T,.,若在,=,2,处，斜率变化了,-40dB/dec,，那么在传递函数中必含有,阻尼比,可通过测量实验对数幅频特性在转角频率,2,附近的谐振频率峰值，并与图,4-25,所示曲线比较后确定。,图,4-25,系统的伯德图,解：,（,1,）,.,首先以斜率为,20dB/dec,及其倍数的线段来画出对数幅频特性的渐近线如图,4-25,中虚线所示。显然，系统包含有一个积分环节，一个惯性环节，一个微积分环节和一个振荡环节。各斜线交点处的频率，即为转角频率,1,=1,，,2,=2,，,3,=8,由此假定系统的频率特性具有如下形式：,例,4-4,试根据图,4-25,所示实验频率特性曲线，确定系统的传递函数。,初步确定传递函数,（,4-70,）,（,3,）,.,阻尼比,：,由图,4-25,测得谐振峰值,M,r,接近于,=,6rad/s,处，其对数幅值为,1.25dB,。,根据,1.25=20lg,Mr,求得,Mr,=1.15,（,2,）,.,增益,K,在数值上等于低频渐近线的延长线与,0,分贝线交点处的频率值。于是可得,K,=10,。,由,求得,=0.5,因此,G,(,j,),，可初步确定为：,仅根据实验对数幅值曲线确定的系统频 率特性,G,(,j,),各项系数为正，属最小相位系统。但实际系统不一定是最小相位系统。从图中可见，初步确定的频率特性相位曲线,G,(,j,),与实验相位曲线不符，说明系统中必有产生非最小相位的环节。若计算的相频曲线与实验 曲线随频率增加，两者的相位差增加，其变化率为一常数，则说明系统中含有延时环节。 从图中可见，按照初步估计的传递函数式,(4-70),计算出的相频曲线,G,(,j,),与实测曲线不符。从图,4-25,可知，,3.,非最小相位的修正,当,=20rad/s,时，,两者的相位差为,=229,，,当,=10rad/s,时，,两者的相位差为,=115,，,这两条相频曲线之差随频率增加的变化率 为一常数（,10/115=20/229=0.087,），故必是纯滞后环节引起的差异。因此，可以修正系统的传递函数为,由,=,，得,修正后系统的传递函数为,由上式可见，实验系统为一非最小相位系统。,第四节、系统的瞬态响应指标和频率响应指标之间的关系,一、概述,因为瞬态响应的性能指标直观，故控制系统的性能指标往往根据瞬态响应给出。当基于频域法进行设计时，则需要将时域指标转化为频域指标，或者根据频率法设计的结果，校验其瞬态响应的性能。故只要找出频率特性的特征量和瞬态响应性能指标之间的关系就可以了，而不必由频率响应求出系统的瞬态响应。,二、二阶系统的开环频率特性和时域指标之间的关系,