单变量最优化课件

,23,/,25,一,单变量最优化,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2024/9/17,Ch1,单变量最优化,1.1,、五步方法,1,、五步方法概要,2,、五步方法详解,1.2,、灵敏性分析,1,、问题的提出,2,、最佳售猪时间,x,关于,价格下降速率,r,的灵敏性,3,、最佳售猪时间,x,关于生长率,g,的灵敏性,4、灵敏性的相对改变量,1.3,、稳定性与稳健性,1、关于稳键性,2、r, g不是常数时对模型结果的影响,1.4,、小结,1.5、练习,题,2024/9/17,1,、五步方法概要,数学模型解决问题的一般过程分五步，称之为,五步方法,。,定义：,五个步骤：,提出,问题,(,问题,),；,选择建模方法,(,方法,),；,推导,模型,的数学表达式；,求解,模型；,回答问题。,1.1,、五步方法,2024/9/17,2,、五步方法详解,例,1.1,、,一头猪重,200,磅，每天增重,5,磅，,饲养每天需花费,45,美分。猪的市场价格,为每磅,65,美分，但每天下降,1%,，求出售,猪的最佳时间,。（,1,磅,=0.454kg,）,提出问题,:,即如何用数学语言来表达问题。,列出问题涉及的变量，包括恰当的单位；,写出关于上述变量所做的假设，列出已知的或假设的这些变量之间的关系式,(,等式和不等式,),；,用明确的数学语言写出问题的目标的表达式。,变量、单位、等式、不等式、假设和目标表达式等构成,完整的问题,。,1.1,、五步方法,2024/9/17,例,1.1,中，全部的变量包括：,猪的重量,w,(,磅,),，,从现在到出售猪期间经历的时间,t,(,天,),t,天饲养猪的花费,C,(,美元,),猪的市场价格,p,(,美元,/,磅,),售出生猪所获得的收益,R,(,美元,),我们最终获得的净收益,P,(,美元,),。,其他相关的参,(,非变,),量,:,如猪的初始重量,(200,磅,),等。,写出关于上述变量所做的假设，考虑到参量在模型中的影响。,猪的重量从初始的,200,磅,按每天,5,磅增加有,这里把变量的单位带进去,可以检查所列式子的意义,.,该问题涉及到的其他假设包括,:,1.1,、五步方法,2024/9/17,售价,饲养成本,收益,利润,假设,t,0,目标：求利润或净收益,P,的最大值。,为了便于参考，下面对第一步所得的结果进行了如下的归纳（见下表）,1.1,、五步方法,2024/9/17,1.1,、五步方法,变量,：,t =,时间,(,天,),w=,猪的重量,(,磅,),p,=,猪的价格,(,美元,/,磅,),C,=,饲养,t,天的花费,(,美元,),R,=,售出猪的收益,(,美元,),P,=,净收益,(,美元,),假设,：,w=,200+5,t,p,=0.65-0.01,t,C,=0.45,t,R=p,w,P=R-C,t0,目标,：求的最大值,注意：第一部分三个阶段,(,变量、假设、目标,),的确定不需要按特定的顺序。,图,1-1,售猪问题的第一步的结果,本例先定义目标,P,和列出,P=R-C,得出变量,R,、,C,再写出假设中的各个表达式,最后写出各表达式中变量及其单位。,2024/9/17,选择建模方法：,即如何用数学方法来获得解。,许多问题都可表成一个已有有效方法的标准形式,.,应用数学的多数研究，包含确定问题的一般类别，并提出解决该类问题的有效方法。,在应用数学领域中有许多的文献，并且不断取得许多新的进展。一般很少有学生对选择较好的建模方法有经验或熟悉参考文献。,注意：,下面除了极少例外，一般都给定所用的建模方法。如例,1.1,可定位为,单变量优化问题，或极大,极小化问题,建模方法,为：设,y,=,f,(,x,),在,x,S,处是可微的，若,f,(,x,),在,x,处达到极大或极小,则,f,(,x,)=0,。详细可参阅微积分中导数应用部分的内容,.,1.1,、五步方法,2024/9/17,推导模型公式,:,即要把第一步得到的问题应用于,第二步，写成所选建模方法需要的标准形式，以,于我们运用标准的算法过程求解。,如：,例,1.1,把问题中的变量名改换一下，在算法上就比较方便,。,P=R-C = pw-,0.45,t,=(0.65-0.01,t,)(200+5,t,),-,0.45,t,记,y,=,P,作为求最大值的目标变量，,x=t,作为自变量，我们的问题就化为在集合S=,x,:,x,0上求下面函数的最大值：,y,=,f,(,x,) =(0.65-0.01,x,)(200+5,x,),-,0.45,x,.,这是我们最熟悉不过的求一元函数极值问题。,1.1,、五步方法,2024/9/17,利用第二步中确定的标准过程,求解,这个,模型,。,如本例中即对,y,=,f,(,x,)=(0.65-0.01,x,)(200+5,x,),-,0.45,x,在区间,x,0上求最大值。,如图可知,y,=,f,(,x,),关于,x,是,二次的曲线图，易得,f,(,x,)=,-0.1,x,+0.8,则在点,x,=8,处,f,(,x,)=0.,由,f,在区间,(,-, 8,),上单升,而在区间,(8,+,),上单减,.,故点,x,=8,是整体最大值点.,且有,f,(8)=133.20,从而点(,x,y,)=(8,133.20,)是,f,在整个实轴上的整体,最大值点,也,是区间,x,0上,的最大值点。,图,1-2,售猪问题的净收益,f,(,x,),关于时间,x,的曲线图,0,5,10,15,20,126,128,130,132,134,x,f,(,x,),y,=,-,0.05,x,2,+0.8,x+,130,1.1,、五步方法,2024/9/17,回答问题：,回答第一步提问“何时售猪可以达到最大净收益,.,由第四步我们得到的答案是在,8,天之后，可以获得净收益,133.20,美元。只要第一步假设成立，这一结果就是正确的。,相关的问题及其他不同的假设可以按照第一步中的做法调整得到。由于我们处理的是一个实际问题（,一个农民决定何时出售他饲养的生猪,），在第一步中会有一个风险因素存在，因此通常有必要研究一些不同的可能，这一过程称为,灵敏性分析,。我们将在下一节进行讨论。,本节主要介绍五步方法,下面将这一方法总结归纳成如下图表,以便以后参考,.,1.1,、五步方法,2024/9/17,第一步、提出问题,.,列出问题涉及的变量，包括恰当的单位,;,注意不要混淆了变量和常量,;,列出你对变量所做的全部假设,包括等式和不等式,;,检查单位从而保证你的假设有意义；,用准确的数学表达式给出问题的目标。,第二步、选择建模方法,.,选择你问题的一个一般的求解方法；,一般地，这一步的成功需要经验、技巧的对相关文献有,一定的熟悉程度；,在本书中，我们通常会给定要用的建模方法。,第三步、推导模型的公式,:,把第一步中得到的问题重新表达成第二步选定的建模,方法需要的形式；,图,1-3,五步方法图,1.1,、五步方法,2024/9/17,你可能需要将第一步中的一些变量名改成与第二步所用,的记号一致；,记下任何补充假设，这些假设是为了使在第一步中描述的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做的。,第四步、求解模型,.,将第二步中所选方法应用于第三步得到的表达式,;,注意你的数学推导,检查是否有错误,答案是否有意义,;,采用适当的技术,计算机代数系统、图形、数值计算的,软件等都能扩大你解决问题的范围,并减少计算错误,.,第五步、回答问题,.,用非技术性的语言将第四步中的结果重新表述；,避免数学符号和术语,;,能理解最初提出问题的人就应该能理解你给出的解答,.,图,1-3,五步方法图（续）,1.1,、五步方法,2024/9/17,1,、问题的提出,灵敏性分析,是数学建模的一个重要方面，具体内容与所用的建模方法有关,关于它的讨论贯穿本书,下面仅对单变量优化问题进行灵敏性分析,.,上用售猪说明五步法，图,1-1,列出了求解的所有假设，虽然数据和假设都有非常详细的说明，但还要再严格检查，由于,数据,是由,测量、观察,有时甚至完全是,猜测,得到的，故要考虑数据的不准确的可能性。,上概要介绍五步法,从假设开始,但难保证假设都正确,.,故要考虑结果对每一条假设的敏感程度即,灵敏性,.,可靠性高的数据:,生猪现在的重量、猪现在的价格、每天饲养的花费等易测量，确定性大；,可靠性低的数据:,猪的生长率,g,和价格的下降速率,r,.,1.2,、灵敏性分析,2024/9/17,2,、最佳售猪时间,x,关于价格下降速率,r,的灵敏性,粗分析,前面我们假定,r,=0.01,美元/天，现在假设,r,的实际值是不同的，对几个不同的,r,值，重复前面的求解过程, 我们会对问题的解关于,r,的敏感程度有所了解.,即给定,r,对,y,=,f,(,x,)=(0.65-,r,x,)(200+5,x,),-,0.45,x,求导，令,f,(,x,)=0,，,可得相应,x,值，下表,1-1,给出了选择几个不同的,r,值求出,x,的计算结果。,表1-1 售猪问题中最佳售猪时间,x,关于价格的下降速率,r,的灵敏性,r,(,美元,/,天,),x,(,天,),r,(,美元,/,天,),x,(,天,),0.008,0.009,0.01,0.011,0.012,15.0,11.1,8.0,5.5,3.3,1.2,、灵敏性分析,2024/9/17,将上表,1-1,中的数据绘制在如下图,1-4,中。,图,1-4,售猪问题中最佳售猪时间,x,关于价格的下降速率,r,的曲线,x,(,天,),r,(,美元,/,天,),2,4,6,8,10,12,14,16,0.008,0.009,0.010,0.011,0.012,我们可以看到售猪的最优时间,x,对参数,r,是很敏感的,.,x,对价格下降速率,r,灵敏性的系统分析,将,r,作为未知的参数,仍按前面的步骤求解(见下页):,1.2,、灵敏性分析,2024/9/17,出售价格,:,p,=0.65-r,t,;,目标函数,:,y,=,f,(,x,)=(0.65-,rx,)(200+5,x,),-,0.45,x,= 130+2.8,x,-200,rx,-5,rx,2,;,求导,f,(,x,)=2.8-,200,r,-10,rx,;,使,f,(,x,)=0,的点为,x=,(7-500,r,),/,25,r,.,若要,x,0,只要0,0.014 ,在0,+)上都有,f,(,x,)0,最佳售猪时间为,x=,0. 图,1-5给出了,r =,0.015的情况.,图,1-5,售猪问题的净收益,f,(,x,),在,r=0.015,关于时间,x,的曲线图,0,5,10,15,20,90,100,110,120,130,x,f,(,x,),y,=-0.075,x,2,-0.2,x+,130,1.2,、灵敏性分析,2024/9/17,3,、最佳售猪时间,x,关于生长率,g,的灵敏性,前面我们假定,g,=5,磅/天，一般地, 我们有如下步骤,出售重量,:,w,=200+g,t,;,目标函数,:,y,=,f,(,x,)=(0.65-,0.01,x,)(200+g,x,),-,0.45,x,=130+0.65g,x,-2.45,x,-0.01,gx,2,;,求导,f,(,x,)=0.65g-,2.45-0.02,gx,;,使,f,(,x,)=0,的点为,x=5,(13,g,-49),/,2,g,.,若要,x,0, 最佳售猪时间可由,x=5,(13,g,-49),/,2,g,给出, 图1-6 给出了最佳售猪时间和生长率,g,之间的关系.,图,1-6,售猪问题中最佳售猪时间,关于生长率,g,的曲线图,3,4,5,6,7,-10,-5,0,5,10,g,x,x=5,(13,g,-49),/,2,g,15,1.2,、灵敏性分析,2024/9/17,4、灵敏性的相对改变量,意义:,相对改变量比绝对改变量更自然、更实用, 例如,r,的10%下降导致了,x,的39%的增加,g,的10%下降导致了,x,的34%的下降.,x,对,r,的灵敏性:,对售猪问题中,由,x=,(7-500,r,),/,25,r,可得在点,r,=0.01.,即若,r,增加1%,则导致了,x,的3.5%下降.,即,r,对,x,的弹性,1.2,、灵敏性分析,2024/9/17,x,对,g,的灵敏性:,对售猪问题中,由,x=5,(13,g,-49),/,2,g,可得在点,g,=5.,若,g,增加1%,则,x,上升3.0625%, 即多等侍约3%的时间.,即,g,对,x,的弹性,注意,: ,灵敏性分析的成功应用要有好的判断力,即不可能也不必要对模型中每个参数都进行灵敏性分析,要选择较大不确定的参数,; ,对灵敏性的解释要依赖于参数的不确定程度,; ,原始问题中的数据的不确定程度也会影响我们对答案的自信度,.,如售猪问题中,猪的生长率,g,比价格下降率,r,更可靠,.,1.2,、灵敏性分析,2024/9/17,1、关于稳键性,稳键性:,一个数学模型不完全精确，但由其导出的结果仍是正确的，我们称这个模型有稳键性.,研究的理由：,实际问题中，我们不会有绝对准确的信息，即使建立一个完美的精确的模型，也可能采用较简单和易于处理的近似方法。,数据假设与其它假设：,灵敏性分析的过程(数据的相关变化), 是一种根据对数据提出的假设来评估模型的稳键性的方法。在提出问题中，还有其它假设要检查。由于数学处理的方便和简化的目的，常要做一些假设，建模者有责任考察假设是否特殊，会导致建模结果的无效。,1.3,、稳定性与稳健性,2024/9/17,对售猪问题：,图,1-1,列出了全部假设，除了数据的取值外，主要的假设是猪的重量和价格都是时间的线性函数。这显然是做了简化，不可能严格满足的。,比如：,由线性假设，一年后，猪的重量是,w=,200+5,t,=200+5365= 2025 磅,一年后价格为,p,=0.65-0.01,t,=0.65-0.01365=-3美元/磅,显然：,线性假设不合理，更实际的模型既要考虑函数的非线性性，又要考虑随时间的不确定性的增加。,若假设错误，模型怎能给出正确答案？,虽然模型力求完美，但这难以达到。确切地说：,数学模型力求接近完美。,好模型有稳键性，是指虽然它给出的答案不完全精确，但足够近似从而可以在实际问题中应用。,1.3,、稳定性与稳健性,2024/9/17,2、r, g不是常数时对模型结果的影响,考察售猪问题中的线性假设,重量,:,w,=200+,r,t,w,=,w,(,t,),价格,:,p,=0.65-,g,t,p,=,p,(,t,),收益,:,P,(,t,)=,pw,-0.45,t,令,P,(,t,)=0,p,w + p w, =,0.45,每天利润的增值,每天投入的资金,其中,p,w,代表因价格下降而损失的价值,;,p w,代表由于猪增重而增加的价值。,保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售,1.3,、稳定性与稳健性,2024/9/17,考察售猪问题中的非线性假设,重量,:,w,=,w,(,t,),价格,:,p,=,p,(,t,),收益,:,P,(,t,)=,pw,-0.45,t,p,w + p w,=,0.45,假设一种情况：一个农民有一头重约,200,磅的猪,在,上周每天增重约,5,磅，五天前猪价为,70,美分,/,磅，但现在猪价为,65,美分,/,磅，我们应该怎么办？,保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售,由数据,w,=200,w,=5,p,=,0.65,p,=,-,0.01,由,S,(,t,r,)=3,若,(10%),则,（,30%,）,建议过一周后,(,t,=7),重新估计,再作计算。,1.3,、稳定性与稳健性,