初等代数研究(绪言第一章数)完整课件

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,2005,年12月,*,初等代数研究,*,第一部分：初等代数研究,赣南师范学院数计学院 曾建国,20,10,年,8,月,中学数学研究,绪 言,问题：,1.,自然数是如何产生的？,2.,为什么,1+1=2,？,3.,为什么“负负得正”？,4.,什么是解析式、代数式？二者有无差别？,5.,两直线平行，则同位角相等。为什么？,作为未来的中学数学教师，我们必须掌握中学课本以外的一些知识,如：,数学知识的历史背景,对有关知识的更深层次的理解,教给学生一杯水，教师必须先有一桶水！,2,绪 言,1,关于代数学发展的几个历史观点,0,、代数学简史,代数学起源可以追溯到公元前,1800,年左右，代数学奠基于,16,世纪和,17,世纪初。,公元,820,年前后时，花剌子模（穆罕默德,伊本,穆斯,阿里,花剌子模,-,数学家和天文学家）的著作,Kitab,al,jabrwal-mugabala,，意思是“整理”和“对比”。到,14,世纪，,aljabr,演变成了,algebra,，这就是拉丁文的“代数学”。其中,Algoritmi,是花拉子模的拉丁译名，现代术语“算法”（,Algorithm,）即源于此。,1859,年 清代数学家李善兰译,algebra,为“代数学”。,3,绪 言,1,关于代数学发展的几个历史观点,0,、代数学简史,初等代数的形成,高等代数的创建,抽象代数的产生和深化,用字母代替数、方程的出现,九章算术,中正负数的使用（公元,1,世纪）,丢番图采用符号（公元,250,年）,16,世纪,方程理论的形成,（矩阵、行列式）,16,18,世纪,近世代数,研究各种代数结构,19,世纪,至今,4,绪 言,1,关于代数学发展的几个历史观点,一、代数学是研究字母运算的科学,（,18,世纪后期,）,韦达,是第一个系统使用字母，从而使符号化代数实现的数学家。,1768,年，,欧拉,发表,对代数的完整的介绍,，系统地论述了方程理论和其它代数知识，表明初等代数已经完全形成。,认为代数学是研究字母运算的科学，这是代数学的原始观点，这种观点一直延续到,18,世纪后期。,5,二、代数学是研究方程理论的科学,（,18,世纪后期,19,世纪后期）,三、代数学是研究各种代数结构的科学,（,19,世纪,）,1,关于代数学发展的几个历史观点,代数学以研究方程理论为中心，包括矩阵、行列式、二次型在内的高等代数内容。,19,世纪，在,伽罗,瓦群以后，代数的研究内容从原来以研究代数方程的理论为中心，转变到研究定义在任意性质的元素集上的代数运算规律和性质。,绪 言,6,第一章 数,1,数系的扩展,2,整数的整除性,7,数的概念的形成大约是在30万年以前,最早是手指计数。十进制、五进制多发于此,石子计数。但计数的石子堆很难长久保存,信息,结绳计数、刻痕计数,1,、数的形成和发展,1,数系的扩展,8,1937,年，捷克出土的幼狼胫骨上边有,55,道刻痕。距今约,3,万年。,日本琉球群岛的结绳,。,1,数系的扩展,1,、数的形成和发展,台湾高山族的结绳（现藏中央民族大学）,中国古籍上记有伏羲“结绳而治”。,9,一、数的发展简史,1,数系的扩展,1,、数的形成和发展,正整数,正有理数,非负有理数,实数,复数,添负数,添零,添正分数,有理数,添无理数,添虚数,从历史上看，人类对于数的认识，大体上是按照如下顺序进行的,:,10,一、数的发展简史,1,数系的扩展,1,、数的形成和发展,以下是按时间顺序列举的世界上几种古老文明的早期记数系统：,11,世界上几种古老文明的早期记数系统：,12,世界上几种古老文明的早期记数系统：,13,一、数的发展简史,1,数系的扩展,2,、数的扩展方法与扩展原则,不同于历史上人们认识数的过程中数集扩充的顺序，“数系”的逻辑扩展应该如下所示的顺序,:,数系（,number system,）,通常是指,对加法和乘法运算封闭的数集。主要有自然数系、整数系、有理数系、实数系和复数系。,14,一、数的发展简史,1,数系的扩展,1,、数的形成和发展,数系（集）扩充一般有两种方法,：,一是添加元素法。,二是构造法。,所谓构造法指的是先用旧数集,A,中的数为材料构成一个新数集,B,，然后指出新数集,B,中某一真子集与,A,相等（严格讲，是,B,的某个真子集与,A,同构），复数系的建立就是采用这一种方法,.,15,一、数的发展简史,1,数系的扩展,1,、数的形成和发展,数集扩充应遵循的原则：,从数集,A,扩充为数集,B,，必须遵循下列原则：,（,1,）,A,B,，即,A,是,B,的真子集；,（,2,）,A,中已定义的元素之间的基本关系和运算，在,B,中也有相应的定义，并且,B,中的定义，对于,B,的子集,A,中的元素来说，与原来,A,中的定义一致；,（,3,）在,A,中不是总能施行的某种运算，在,B,中总能施行,（在,A,中无解的某类方程，在集,B,中有解）；,（,4,）,B,是满足上述三个原则的,A,的所有扩充中的最小扩充,.,16,二、正整数理论,1,数系的扩展,尽管早在,30,万年以前，人们可能已经开始形成了数的概念，但自然数理论的完善、即把自然数作为严格的逻辑系统，采用公理化的方法来研究，却直到,19,世纪末才得以实现。,17,建立自然数（正整数）理论的几种方案,康托尔的集合论为基础建立自然数基数理论,皮亚诺以公理法为基础建立自然数序数理论,罗素等人试图用纯逻辑学建立自然数理论,二、正整数理论,1,数系的扩展,18,1,数系的扩展,二、正整数理论,1,、正整数的基数理论,1874,年,康托尔,创立了集合论，在此基础上，建立起自然数（正整数）的基数理论：,（,1,）集合等价,如果集合,A,和,B,的元素之间可以建立一一对应的关系，就称集合,A,和,B,等价，记作,A,B,集合的等价具有性质：,A,A,（反身性）,A,B,，则,B,A,（对称性）,A,B,，,B,C,，,A,C,（传递性）,（小学如何教：,认识“,2”,）,19,1,数系的扩展,（,2,）集合的基数（势）,彼此等价的所有集合的,共同特征的标志,叫做,基数,（,3,）正整数的定义,定义,1,.,非空有限集合的基数叫做正整数。,空集的基数叫做,0,，集合的,A,的基数记作,|A|,。,1,、正整数的基数理论,一切正整数组成的集合，叫做正整数集，记为,N,*,。,幼儿园的小朋友如何认识“,1”,和“,2”,？老师其实就是这样教的,20,（,4,）正整数的顺序,定义,2,设非空有限集合,A,和,B,的基数分别,a,和,b,（,1,）若,A,B,，则称,a,等于,b,，记作,a=b,（,2,）若,A,A,B,，则称,a,大于,b,，记作,a,b,（图示）,（,3,）若,A,B,B,，则称,a,小于,b,，记作,a,b,定理,1,自然数顺序关系具有下列性质：, 设,a,，,b,N*,当且仅当,a,b,时，,b,a(,对逆性,),设,a,，,b,N*,若,a,b,且,b,c,，则,a,c(,传递性,),对任意,a,，,b,N*,，在,a,b,，,a=b,，,a,b,中有,且只有 一个成立,（正整数的全序性（三歧性）,1,数系的扩展,1,、正整数的基数理论,自然数的相等关系具有反身性、对称 性、传递性自然数的相等关系是一 个等价关系,21,（,5,）正整数的加法运算,定义,3,设,A,和,B,是非空有限集，,AB=,，,|A|= a,，,|B|=b,，如果,A,B=C,，则称,|C|=c,为,a,与,b,的和，记作,a+b,=c,其中,a,，,b,叫做加数，求和的运算叫做加法,.,定理,2,自然数的加法满足交换律、结合律和加法单调律,（,1,）,a+b,=,b+a,交换律,（,2,）（,a+b)+c,=,a+(b+c,),结合律,（,3,）,ab,a+c,b+c,a=b,a+c,=,b+c,加法单调律,ab,a+c,b,则,a cb c,a=b,则,a c=b c,ab,则,a cb c,24,（,7,）正整数的减法和除法,定义,5,设,a,、,bN,*,，如果存在一个正整数,c,，使得,b+c,=a,，那么,c,叫做,a,与,b,的差，记作,a-b=c,。,a,叫做被减数，,b,叫做减数。求两数差的运算叫做减法,定义,6,设,a,、,bN,*,，如果存在一个正整数,c,，使得,b c=a,，那么,c,叫做,a,除以,b,的商，记作,ab,=c,（或,a/b=c,）。,a,叫做被除数，,b,叫做除数。求两数商的运算叫做除法。,1,数系的扩展,1,、正整数的基数理论,25,基数理论刻画了自然数在数量上的意义，但没有很好地揭示自然数在顺序上的意义。也没有给出加法、乘法运算的具体方法。序数理论弥补了这一缺陷。,自然数的序数理论，是意大利数学家皮亚诺在他的,算术原理新方法,（,1889,年）中提出的他用公理化方法从顺序着眼揭示了自然数的意义，并给出自然数加、乘运算的归纳定义,.,1,数系的扩展,2,、正整数的序数理论,二、正整数理论,26,（一）皮亚诺公理,定义,7,一个非空集合,N,*,的元素叫做,自然数,如果,N,*,的元素之间有一个基本关系“后继”,(b,后继于,a,记为,b=a),，,并满足下列公理：,（,1,）,1,N,*,。即,N,*,中存在一个元素,1,；,（,2,）,a,N,*,，有,a1,。即,1,不是任何元素的后继；,（,3,）,a,N,*,，存在,a,N,*,；,（,4,）若,a,=,b,（,a,，,b,N,*,），则,a=b,。即,N,*,中任一元素不会是两个不同元素的后继。,1,数系的扩展,2,、正整数的序数理论,27,1,数系的扩展,2,、正整数的序数理论,（一）皮亚诺公理,（,5,）（归纳公理）如果,M,是,N*,的一个子集，且,1M,；,若,aM,，则,aM,.,那么，,M= N*.,有了这组公理就把正整数集里的元素完全定下来了。从,1,出发，记,1 = 2,，,2 = 3,，,，如此继续下去，就得到正整数数列：,1,，,2,，,3,，,4,，,28,定义,8,.,正整数的加法是指这样的对应：对于每一对正整数,a,、,b,，,有且仅有一个正整数（记为,a+b,）,与之对应，且具有下列性质：,（,1,）对任意,a,N,*,，,a+1=a,，,（,2,）,对任意,a,、,bN,*,，,a+b=,（,a+b,）,，,其中,a,、,b,称为加数，,a+b,称为,a,、,b,的和,.,（二）正整数的加法,2,、正整数的序数理论,1,数系的扩展,29,（三）正整数的乘法,定义,9,正整数的乘法是指这样的对应：对于每一对正整数,a,、,b,，,有且仅有一个正整数（记为,ab,）,与之对应，且具有下述性质：,（,1,）,a1=a,；,（,2,）,ab=ab+a.,这里,a,、,b,称为乘数，,ab,称为,a,、,b,的积,.,2,、正整数的序数理论,1,数系的扩展,30,（四）正整数的减法与除法的定义,减法,设,a,、,bN,*,，如果存在,xN,，使,b+x=a,，,则称,x,为,a,减去,b,的差，记作,a-b,，,a,叫做被减数，,b,叫做减数，求两数差的运算叫做减法,.,除法,设,a,、,bN,*,，如果存在,xN,*,，,使,bx=a,，,则称,x,是,a,除以,b,的商，记作,a/b,，,a,叫做被除数，,b,叫做除数，求两数商的运算叫做除法,.,2,、正整数的序数理论,1,数系的扩展,31,（五）,、,正整数的顺序关系,定义,10,设,a,、,bN,*,，如果存在一个正整数,k,，使,a=b+k,，,就说,a,大于,b,，,记为,a,b,；,或说,b,小于,a,，,记为,b,a.,2,、正整数的序数理论,1,数系的扩展,32,2,、正整数的序数理论,根据正整数的序数理论同样可以证明正整数的加法、乘法满足的各种运算律。,例,1.,设,a,、,b,、,cN,*,，证明,（,a+b,）,+c = a+,（,b+c,）,.,例,2.,设,a,、,b,、,cN,*,，证明：,a,b,=b,a,1,数系的扩展,33,性质,1,在正整数集中，消去律成立,.,即,（,1,）若,a+c=b+c,，则,a=b,；,（,2,）若,ac=bc,，则,a=b.,性质,2,在正整数集,N*,中，,1,是最小数，即对于任何正整数,a,，,a1.,3,、正整数的性质,1,数系的扩展,34,性质,3,（,正整数的离散性）任两个相邻的正整数,a,与,a,之间，不存在正整数,b,，,使得,a,b,a.,性质,4,（,阿基米德性质）对任意正整数,a,、,b,，,必有正整数,n,，使,na,b.,3,、正整数的性质,性质,5,（,最小数原理）,N,*,的任何一个非空子集必有最小数,.,1,数系的扩展,35,（,1,）、第一,数学归纳法,设,f,（,n,）,是一个与正整数有关的命题，如果,1,f,（,l,）,成立；,2,若,f,（,k,）,成立，则,f,（,k,）成立,.,那么，,f,（,n,）,对一切正整数,n,都成立,.,4,、,数学归纳法,1,数系的扩展,36,设,f,（,n,）,是一个与正整数有关的命题，如果,1,f,（,1,）,成立；,2,假设,f,（,m,）,对所有,m0,时，称,-a,为“负数”，即,a+(,-,a)=0 (a0,）；,1,、负,数的引入,43,三、有理数,集及其性质,1,数系的扩展,（,1,）加法运算,（,2,）乘法运算,“负负得正”的一种解释,（,3,）顺序关系,1,、负,数的引入,44,三、有理数,集及其性质,1,数系的扩展,根据上面的尝试、采用上述添元素法的设想可行，以下按照公理化方法给出有理数的概念。,2,、有理数的概念,3,、有理数的顺序,4,、有理数的运算,45,三、有理数,集及其性质,5,、有理数的性质,46,三、有理数,集及其性质,1,数系的扩展,数系,对某种运算封闭的数集。,数环,至少含有一个数的数集，对加法、减法、乘法封闭的数系。,数域,对除法封闭的数环。即对加减乘除运算都封闭的数系。,47,三、有理数,集及其性质,1,数系的扩展,性质,1,：有理数集是数域，且是最小的数域。,注：,Q,、,R,、,C,都是数域。,性质,2,：有理数域是一个有序域。,性质,3,： 对于,a,、,bQ,，有,（,1,）,a,b,a-b,0,；,（,2,）,a=,b,a-b,=0,；,（,3,）,a,b,a-b,b,。,性质,5,（有理数的稠密性）：在任意两个相异的有理数之间，总存在无限多个有理数。,性质,6,： 有理数集是一个可数集,.,可数集,可与正整数列,“,1,，,2,，,3,，,”,建立一一对应的集合。,49,四、实数,集及其性质,1,数系的扩展,性质,1,：实数集是一个数域。,性质,2,：实数集是有序域。,性质,3,：（阿基米德性质）：对于两个正实数,a,，,b,，存在一个正整数,n,，使得,na,b,。,性质,4,：实数集具有稠密性。,性质,5,： 实数集具有连续性。,性质,6,：,实数集是,不可数集,.,50,四、复数,集及其性质,1,数系的扩展,性质,1,：复数集是一个数域。,性质,2,：复数集,不是有序域,。,性质,3,：复数集内，开,n,次方运算总是可实施的，任何非零复数有,n,个不相等的,n,次方根。,性质,4,：复数集具有稠密性。复平面上任一区域里，都有无限多个复数。,性质,5,： 复数在复平面上的分布是连续的。,51,韦达,（,1540-1603,）,法国数学家，年,青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会议员，在西班牙的战争中曾为政府破译敌军密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使,用字母来表示 已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与分数的关系，韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。,1579,年，韦达出版,应用于三角形的数学定律,。,http:/www.oursci.org/ency/people/017.htm,52,http:/www.oursci.org/ency/people/014.htm,欧拉,(Euler,，,1707,1783),，瑞士数学家及自然科学家,53,康托尔简介,康托尔,，,德国人。1846年3月3日出,生于俄国彼得堡。康托尔曾先后就,学于苏黎世大学、哥廷根大学、法,兰克福大学和柏林大学，主要学习,数学、物理、哲学等课程。1867年,获得柏林大学的哲学博士学位。,康托尔是集合论的创始人。,为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念。康托尔在深入研究集合的势这个概念时，引进了基数与序数的理论。,54,A,B, B,则,a,b A,A,B,则,a,b,55,作 业,习题一、,3.,（,1,）、（,2,）,4.,（,1,）,56,2,整数的整除性,一整数的整除性的概念、性质,1.,整除的定义：,对于两个整数,a,、,b(b0,），,若存在一个整数,q,，使得,a=,bq,成立，则称,b,整除,a,，或,a,被,b,整除，记作,b|a,。,a,叫做,b,的倍数，,b,叫做,a,的约数（因数）。,若满足的整数,q,不存在，就称,a,不能被,b,整除，或,b,不能整除,a,，记作,b,a,，,如,2|6,，,4 ,6,。,57,2,整数的整除性,2.,性质,性质,1,若,b,|,a,b,除,a,的余数为,0,。,性质,2,若,a,|,b,，,b|a,，则,|,a,|=|,b,|,。,性质,3,若,c|b,，,b,|,a,，则,c|a,。,（传递性）,性质,4,若,m|a,，,m,|b,，则,m,|,（,ka+lb,），其中,k,、,l,为任意整数。,推论,1,若,m|a,i,（,i,=1,2,n,）,，则,m,|,k,i,a,i,。,推论,2,等式中除某一项外，其他所有项都能被,m,整除，则这一项也能被,m,整除。,性质,5,若,m,为质数，且,m|ab,，则,m|a,，或,m|b,。,58,2,整数的整除性,二、素数与合数,定义,：,一个大于,1,的数，如果它的正因数只有,1,和它本身，这样的数叫做质数（或素数），否则叫做合数。,三、最大公约数与最小公倍数,定理,18,：若,(,a,b,)=d,，则必存在整数,x,，,y,，使,ax+by,=d,推论,若,(,a,b,)=1,，则必存在整数,x,，,y,，使,ax+by,=1.,反之也成立，即有,(,a,b,)=1,存在整数,x,，,y,，使,ax+by,=1.,定理,19,若,a|bm,，且（,a,，,b,）,=1,，则,a|m,；,推论,若,a|m,，,b|m,，,且（,a,，,b,）,=1,，,则,ab|m,；,59,2,整数的整除性,习题,:P72,30 34; 38 , 39,34.,设,p,是大于,3,的素数，求证：,24|,（,p,2,-,1),整除的性质：,若,a|m,，,b|m,，且（,a,，,b,）,=1,，则,ab|m,；,60,2,整数的整除性,六、同余,61,2,整数的整除性,六、同余,62,2,整数的整除性,六、同余,63,2,整数的整除性,六、同余,64,2,整数的整除性,六、同余,例,.,今天是星期四，则,10,1000,天后是星期几？,习题,:P73,44.,求证：,53,53,-33,33,能被,10,整除。,65,作 业,习题,：,P73,第,34,题,66,