一元函数微分学课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1,导数的概念,2.2,导数的运算,2.3,微分,2.4,导数的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二章,一元函数微分学,第二章,微分学发展史,2.1.1,引例,2.1.2,导数的定义,2.1.3,导数的几何意义,2.1.4,函数的连续性与可导性的关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.1,导数的概念,第二章,2.1.1,引例,1.,变速直线运动的速度,描述物体下落位置的函数为,改变量之比的极限称为导数，,路程对时间的导数就是速度。,有增量,则物体在 内的平均速度为,即可得物体在 时刻的瞬时速度,令,即,给 以增量, (,) ,2.1.2,导数的定义,即,定义,1 .,设函数,在点,存在,并称此极限为,记作,:,则称函数,若,的某邻域内有定义,在点,处,可导,在点,的,导数,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,否则，就说,在点,处,不,可导或说,在点,的,导数不存在,.,由导数定义可知，导数是函数,对自变量,的变化率,.,导数的等价定义：,右可导与左可导：,若函数,在开区间,内处处可导,则称,它在,上可导,.,若函数,与,则称,在开区间,内可导,在闭区间,上可导,.,且,都存在，,对应于,内的每一点,都有一个确定,的导数值，于是,和其对应点的导数值之间,便构成了一个新的函数，称此函数为,的,记为,导函数，简称导数，,求导的步骤,2.,算比值,3.,取极限,1.,求增量,对于,内的每一点,有,而,在,处的导数即为,在,处的函数值，即,例,1.,求函数,在,处的导数,解：,所以，,例,2.,求函数,为常数,),解：,所以，,的导数,.,例,3.,处的导数,.,求函数,解：,导数的几何意义,导数是曲线,上过点,x,0,处,切线的斜率,当,时,亦即,N,无限靠近,M,时,如果,存在,那么割线就将趋向于曲线上过点,的曲线的切线,即有,时,于是,1.,有切线,可导,切线存在,为无穷大,2.,切线不存在,不可导,注意,:,曲线,割线,M N,的斜率,例,4,求过点,(0,，,-1),且与,相切的直线方程,.,解：,由例,1,知,设切点为,则该直线的斜率为,又知,从而有,解得,从而知过点,(0,，,-1),可作两条直线与,相切，,其斜率分别为,二直线方程分别为,2.1.4,函数的连续性与可导性的关系,注意,:,函数在点,x,连续不一定可导,.,反例,:,在,x,= 0,处连续 , 但不可导,.,2.2.1,几个基本初等函数的导数,2.2.2,导数的四则运算法则,2.2.3,复合函数和隐函数求导法则,2.2.4,对数求导法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.2,导数的运算,第二章,2.2.5,反函数求导法,2.2.6,高阶导数,2.2,导数的运算,2.2.1,几个基本初等函数的导数,二、幂函数的导数,一、常数的导数,常数的导数是,0,三、正弦函数与余弦函数的导数,四、对数函数的导数,2.2.2,导数的四则运算法则,法则,的,和、,差、,积、,商,(,除分母,为,0,的,点,外,),都在点,x,可导,且,下面对（,3,）加以证明,并同时给出相应的推论和,例题,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),证,:,设,则有,故结论成立,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论,1:,(,C,为常数,),推论,2:,例,5.,已知,解：,例,6.,已知,解：,例,7.,解：,例,8.,解：,2.2.3,复合函数和隐函数求导法则,一、复合函数求导法,在点,x,处也可导,且,定理,1.,设函数,在 处有导数,函数,在 的对应点,处可导,则,或,复合函数,上述复合函数求导法则可推广到多层复合函数,在,处可导,在,的对应点,处可导,而,在,的对应点,处也可导,则,在,处也可导,且,例,9.,已知,求,例,10 .,已知,求,解：,令,解：,令,例,11 .,已知,求,解：,令,例,12.,已知,求,例,13 .,设,为可导函数,且,解：,解：,设,注意：,复合函数的求导关键是搞清符合关系，从外层到里层一层一层地求导，不要漏层,。,y,与,x,的函数关系隐含在,中，这种形式的,例如,如果我们把,y,看成中间变量，则可运用复合函数求导,函数称为隐函数。,等等。,法则求出,y,对,x,的导数。,例,14.,y,是由,所确定的关于,x,的函数，求,y,解：,设,两边同时对,x,求导，则,即,最后得,二、隐函数求导法,例,15 .,求函数,y,是由,所确定的函数的导数,所确定的,x,的函数，,例,16.,已知,y,是由,解：,等式两边同时对,x,求导，得,解得,试求,解：,方程两边同时对,x,求导，得,从而,又由函数方程知,所以,当,时，,故,2.2.4,对数求导法,对数求导法适用于,幂指数函数,或,连乘函数,例,17 .,已知下列各函数，分别求其导数,y,为任意实数,),解,:,(1),两边同时取对数，得,两边同时对,x,求导，得,因而,(2),两边同时取对数，得,两边同时对,x,求导，得,因而,即对任意实数,，有,(3),两边同时取对数，得,两边同时对,x,求导，得,所以,即,特别地，当,时，,2.2.5,反函数求导法,在,处可导，且,则,在对应点,处也可导，,证略,定理,2,对于函数,它在某个开区间严格单,调、连续，它的反函数,且,例,18 .,已知,解：,内严格单调、连续，且,由定理,2,知在,x,所对应的区间,(-1,1),内,有,即,类似可得,例,19 .,已知,解：,内严格单调、连续，且,即,类似可得,由定理,2,知在,x,所对应的区间 内,2.2.6,高阶导数,函数的二阶及二阶以上的导数统称为,y,的高阶导数。,如果,的导数也存在，则称其为,的二阶导数，记为,三阶导数或三阶以上导数可类似定义。,例,20 .,已知,解：,例,21 .,y,是由,所确定的,x,的函数，求,解：,两边同时对,x,求导，得,所以,对上述等式两边再对,x,求导，得,整理并将 代入得,2.3.1,微分的定义,2.3.2,微分的几何意义,2.3.3,微分的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.3,微 分,第二章,2.3,微 分,问题提出：,面积增量为,的高阶无穷小,正方形边长为,给边长增量 ，,，面积为,2.3.1,微分的定义,定义,2 .,设函数,在,x,的某个临域内有定义，,可以表示为,其中,A,是不依赖于,的,x,的函数，,是当,时比,高阶的无穷小，则称函数,在点,x,处可微，并称,为函数,在,x,处的微分，记作,如果函数的增量,即,如果,在点,x,处可微，在,两端同除以,，得,两边同时求极限得,即有,2.3.2,微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.3.2,微分的计算,一、微分的四则运算法则,二、一阶微分的形式不变性,设函数,和,可导，即,则复合函数,在,点的微分为,例,22,求,在,时的微分,.,解：,例,23,已知,解：,2.3.4*,微分在误差估计及近似计算中的应用,一、函数值的误差估计,设,是,的函数，,的测量值为,且测量误差为,计算,时将产生误差,把,与,分别称为,和,的绝对误差，,而把,与,分别称为,和,的相对误差。,当,很小时，有如下近似公式,利用以上两式可以计算实际应用中常遇到的两类,误差估计问题。,的误差,(1),已知测量,所产生的误差，估计由,所引起的,的误差。,(2),根据,所允许的误差，近似地确定测量,时所允许的误差。,例,24,设已测得一圆的半径,为,21.5,厘米，且,测量的绝对误差不超过,0.1,厘米，求计算圆面积,时所产生的绝对误差。,解：已知,的测量值为,厘米，绝对误差,厘米，因此,S,的绝对误差为,例,25,从一批密度均匀的药丸中，把所有直径等于,0.1,厘米的胶丸挑出来，如果挑出来的胶丸在半径,上允许有,3%,的相对误差，并且选择的方法以重量,为依据，试问在挑选时称量重量的相对误差应不,超过多少？,解：设胶丸的密度为,半径为,r(,单位为厘米,),，,重量为,W,，则有,由于,因而,从而,要使,只要,因而,二、函数值的近似计算,当,很小时，由式,(2-33),可得,上式可用于计算,在,附近的近似值。,例,26,计算,sin44,o,的近似值。,解：设,所以,例,27,求,的近似值。,解：设,则,取,有,所以,2.4.1,拉格朗日中值定理,2.4.2,洛必达法则,2.4.3,函数增减性和函数的极值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.4,导数的应用,第二章,2.4.4,函数凹凸性及拐点,2.4.1,拉格朗日中值定理,定理,3,如果函数,在闭区间,a,b,上连续，在,使得,开区间,(,a,b,),内可导，则在开区间,(,a,b,),内至少存在一点,拉格朗日简介,推论,3,如果函数,在区间（,a,b,） 上每一点的,，则函数,（,a,b,）上恒等于一个常数。,与,点,的导数都相等，则,与,上仅相差一个常数。,导数都为零，即,在区间,推论,4,如果两个函数,在 （,a,b,）上每一,在区间 （,a,b,）,例,28,证明,对一切,都成立。,证：,设,区间,应用定理则,等号成立，因而对于一切 命题成立,例,28,试证,证：,设,则,由推论,3,知,y,在,(-1,1),内恒为常数，,即,又由于,y,在,-1,1,上连续，因而上式在,-1,1,内成立，,令,即得,从而结论成立。,2.4.2,洛必达法则,洛必达是法国数学家,.1661,年生于巴黎；,1704,年,2,月,2,日卒于巴黎,.,洛必达出生于法国贵族家庭，青年时期一度任骑兵军官，因眼睛近视而自行告退，转向从事学术研究,.,15,岁时解决了帕斯卡所提出的一个摆线难题,.,他是莱布尼茨微积分的忠实信徒，并且是约伯努利的高徒，法国科学院院士,.,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,(,或 型,),本节研究,:,洛必达法则,2.4.2,洛必达法则,2.4.2,洛必达法则,2.4.2,洛必达法则,洛毕达法则可以多次使用直到不再是不定式时为止,例题,30,求,解,:,原试,注意,:,不是不定式不能用洛必达法则,!,例题,31,求,解,:,例题,32,求,解,:,其他不定式,:,解决方法,:,通分,转化,取倒数,转化,取对数,转化,例题,33,求,将上试通分后即可化为 型,例,34.,求,解,:,原式,例题,35,求,例题,36,求,注意：,在应用洛毕达法则时，如果两个函数之比的极限不存在且不为无穷大，则不能应用该法则,2.4.3,函数增减性和函数的极值,一、 函数单调性的判定法,二,、,函数的极值及其判定方法,一、 函数单调性的判定法,若,定理,1.,设函数,则 在,I,内单调递增,(,递减,) .,证,:,无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在,I,内单调递增,.,在开区间,I,内可导,证毕,注意：定理,6,只是判断函数增减性的充分条件，而非必要条件,例题,38,试证当,证：设,例题,38,试证当,证：,证毕,例,39.,确定函数,的单调区间,.,解,:,令,得,故,的,单调增,区间为,的,单调减,区间为,说明,:,例,40,单调区间的分界点除 外,也可是导数不存在的点,.,驻点,驻点：使导数为零的点叫做驻点,返回,二、,函数的极值及其判定方法,定义,3:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大点,称 为函数的极大值,;,(2),则称 为 的极小点,称 为函数的极小值,.,极大点与极小点统称为极值点,.,注意,:,为极大点,为极小点,不是极值点,1),函数的极值是函数的局部性质,.,例如,例,39,为极大点,是极大值,是极小值,为极小点,定理,7,（必要条件）如果函数,在点,可导，且取极值，则,使导数为零的点叫做函数的,驻点,，可导函数的极值必定是它的驻点，反之则不一定。,判断驻点是否为极值点要判断该点左右的倒数符号是否发生变化，此外导数不存在的点也可能是极值点。,证：仅就 取极大值做出证明，取极小值 时仿此证明,当 时，,所以,当 时,所以,因此 ，证毕,定理,8 (,极值第一判别法,),(1),“,左正右负”,(2),“,左负右正”,(3),若,不变号，则函数,在,处无极值,证：若 是 邻域内的一点，由拉格朗日中值定理，可知必在 与 之间存在一点 ，使,对于条件,(2),，当 时， 有 ；当 时， ，有 ，所以当 由负变正时， 为极小值,对于条件,(1),，当 时， 有 ；当 时， ，有 ，所以当 由正变负时， 为极大值,如果满足条件,(3),，则在的某个邻域内是单调函数，所以不是极值，也不是极值点,由定理,7,和定理,8,给出求函数极值的步骤如下：,1,、求导数,2,、找出驻点和导数不存在的点,3,、用定理,8,判定这些点是否为极值点,例题,41,求函数,的极值,解：,x,-1,0.2,1,y,+,0,+,0,-,0,+,y,增,无,增,极大,减,极小,增,由表可知极值,图象,返回,例,42,已知直线方程,是直线外的一点,试求,A,到直线 的距离,解,:,设 为直线方程 上的任一点,设,A,到,B,的距离为,z,则,令 得到唯一驻点,例,42,已知直线方程,是直线外的一点,试求,A,到直线 的距离,当 时, ,而当 时, ,从而 为,的极小值点,此时的 就是,到直线 的距离,将驻点值代入 中的,化简得,3,、若,，则不能确定,是否为,定理,9 (,第二充分条件,),设,在点,处具有二阶导数，且,，则：,1,、若,，则,是,的极大值,2,、若,，则,是,的极小值,的极值，仍需判断一阶导数在,左右的符号变化情况，然后再得出结论。,例题,43,应用第二充分条件求函数,的极值,解,:,例,44,求 的极值,解,:,则,因此,由定理,9,判定,函数在,x=0,时有,极小值,0,在,x=1,-1,时由定理,8,判定,例,45,血液由细胞和血浆构成，血细胞的比重高于血浆构成，血液在血管中迅速流动时，血细胞有集中于血管中轴附近的倾向，而在靠近血管内膜的边缘部位则主要是一层血浆。边缘部位由于血管壁的摩擦力而流速较慢，愈近中轴，流动越快，此现象在流速相当高的洗血管中最为显著，称为轴流问题。轴流理论认为：血细胞速度与血浆速度的相对值 依赖于血细胞的直径与它通过小血管直径,之比，其关系式为,其中,（血细胞直径,/,小血管直径）,1,（血细胞速度,/,血浆速度）,试求 关于 的一阶导数的极值,解：,令 ，得 因为,所以 时 取极小值。由于 ，,所以他的绝对值 在 处达到极大值,例,46,求 当 时得最大值与最小值,解,:,该函数是一个分段函数,可写成如下形式,该函数在,-5,5,内连续,但在,x=3,处不可导 因为,当 时函数可导,例,46,求 当 时得最大值与最小值,的导数为,在讨论的区间内无驻点,因此最大值和最小值,只可能在 及导数不存在的点,x=3,处取得,在这些点处的函数值分别为,:,由此知函数 在,-5,5,的最大值为,最小值为,.,最大值与最小值,定义,4,设,在闭区间,a,b,上连续，,与,比较，其数值最大与最,在闭区间,a,b,上的最大与最小值。,将区间内所有极值和端点处的函数值,小者分别称为函数,例,47,在给定容积,V,的条件下，做一个有盖圆柱形罐头，问当高和底半径取多少时用料最省,解,:,设底面半径为,r,高,h,表面积为,S,则,所以,S,的最,小,值,将,S,对,r,求导得,2.4.4,函数的凹凸性及拐点,一、函数曲线的凹凸性,二、曲线的拐点,三、曲线的渐近线,定义,5,如果一段曲线位于它上面任意一点的切线上方，我们就称这段曲线是向上凹的，如果一段曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称这段曲线是向上凸的,一、函数曲线的凹凸性,如果函数,定理,10,在区间,(,a,b,),内具有二阶导数,则在该区间上，当,时，曲线向上凸，称 为凸函数,时，曲线向上凹，并称 为凹函数；,当,二、函数的拐点,如果函数,在某点的凹凸性发生了变化，那么该点就称为曲线的拐点。,需要注意的是：拐点可能是二阶导数为,0,的点，也可能是二阶导数不存在的点；反之二阶导数为,0,或者二阶导数不存在的点却不一定是拐点。,返回,判断函数曲线的凹凸性及拐点的步骤如下：,2,、,令,求出其在定义域的根，同时找到在函数,定义域内部存在的二阶导数,；,1,、求,3,、对每个实根（或二阶导数不存在的点），如,判断,在,左右的符号，如果变号，则,是拐点，否则不是拐点；使,的那段区间为上凹区间，使,的那段区间为上凸区间。,例,48,讨论曲线,的凹凸性及拐点,解,:,在定义域内无零点,x,1,y,-,不存在,+,y,上凸,拐点,上凹,例,49,讨论函数 的单调性极值及拐点,x,-1,1,y,-,0,+,0,-,y,减函数,极小值,增函数,极大值,减函数,解,:,令,y,=0,得,x=-1,1,列表如下,例,49,讨论函数 的单调性极值及拐点,解,:,x,0,y”,-,0,+,0,-,0,+,y,上凸,拐点,上凹,拐点,上凸,拐点,上凹,三、曲线的渐近线,定义,6,如果动点沿某一条曲线无限远离原点时，动点到一定直线的距离趋于零，这条直线就称为该曲线的渐近线,则曲线,有水平渐近线,如果,，则曲线,有垂直渐近线,如果,返回,例,50,讨论 的渐近线,解,:,知,x=0,是垂直渐近线,所以,y=x+3,是一条斜渐近线,习题,确定函数 的单调性,解,:,令,y=0,得,x=-1,或,x=2,x,-1,(-1,2),2,y,+,0,-,0,+,y,增函数,减函数,增函数,习题 求函数 的极值,解,:,令,y,=0,解得,x,y,-,0,+,y,极小值,习题 求函数 的最大和最小值,解,:,第二章,微积分学的创始人,:,德国数学家,Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(,从微观上研究函数,),一元函数微分学,导数思想最早由法国,数学家,Ferma,在研究,极值问题中提出,.,英国数学家,Newton,2.4.1,拉格朗日中值定理,拉格朗日，法国数学家、物理学家。,1736,年,1,月,25,日生于意大利西北部的都灵，,1813,年,4,月,10,日卒于巴黎。,19,岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨“等周问题”的过程中，他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。他的论著使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。,1766,年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了,分析力学,一书，建立起完整和谐的力学体系。,1786,年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。,2.4.5*,几个医学常用图形的描绘,描绘函数图形的一般步骤,1,确定函数定义域及不连续点,求出函数在,x,轴和,y,轴上的截距,2,求出函数的一阶二阶导数及他们为零的根；找出使一阶二阶导数不存在的点；计算上述根与点的函数值,3,根据,2,中的根与点把定义域分为几个区间，列成一表,4,判断 及 的符号，由此确定函数图形的升降、凹凸、极值及拐点,5,确定函数渐近线,6,根据表中所列函数的特殊点、升降、凹凸等有关特性，适当补充一些点，然后用描点法把这些点连接成光滑曲线,一、正态分布曲线,一、正态分布曲线,(4),列表,减,上凹,拐点,减,上凸,极大值,增,上凸,拐点,增,上凹,+,0,-,-,-,0,+,-,-,-,0,+,+,+,一、正态分布曲线,(5),根究列表画出图象,二、逻辑斯谛曲线,以下画出它的大致图形,二、逻辑斯谛曲线,(5),根据,(1)(4),画图,二、逻辑斯谛曲线,三、贡柏茨曲线,贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为,三、贡柏茨曲线,贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为,正函数 上凸,拐点,正函数 上凹,-,0,+,+,+,+,三、贡柏茨曲线,贡柏茨曲线用于描述肿瘤生长规律,其表达式为,(5),画图,