MBA数学math-1

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2009/09,-,*,-,数学基础,主讲 钱国明,1,第一部分：微积分,（一）函数 极限 连续,函数概念,数列极限与函数极限的概念,极限的四则运算,无穷小量和无穷大量的概念,函数连续性,一、一元函数微分学,函数,极限 连续,导数与微分,2,1,函数,（1）定义式：,y,=,f,(,x,),要点：(,)定义域 ()值域 () 函数关系,定义域：使抽象表达式在实数,R,范围内有计算意义,自变量与函数应符合实际问题的取值要求,（2）表示方法：,(,)公式法,()图像法,( )列表法,3,（3）函数的分类,：,()基本初等函数：,常数,y,=,c,(,c,为常数),幂函数,y,=,x,（,为任意实数）,指数,y,=,a,x,（,a,0,a,1）,对数函数,y,=log,a,x,（,a,0,a,1）,熟悉基本初等函数特性、图像形态。,(,),分段函数：,(,)复合函数：,()反函数：,() 隐函数：,(,)初等函数,：,4,幂函数,指数函数,对数函数,5,（4）函数基本性质：,(,)奇偶性 ()周期性,( )单调性 ()有界性,注意所指区间，图形对称性质,（5）区间：,开区间；闭区间；半开区间；无穷区间；,（6）邻域：,邻域中心；邻域半径；空（去）心邻域,6,例：若等腰三角形周长为20，底边长为,y,，一腰长为,x,，求,y,与,x,之间的函数关系，并确定定义域。,例：若,f,(,x,)定义域为 (0，2)，求,f,(,x,2,)定义域。,7,例：判断函数,y,=,x,3,的单调性,例：讨论,y,=1+1/,x,2,的有界性。,例：,f,(,x,)是偶函数，,f,(,x,-2)是奇函数，且,f,(0) =1998，求,f,(2008)。,例：设 与,g,(,x,)图形关于直线,y,=,x,对称，求,g,(,x,)。,8,3,2,),2,(,),ln,1,(,),1,(,2,x,e,y,x,y,=,+,=,例：找函数复合关系。,9,复习思考题：,1函数的概念是什么？有哪些表示方法？,2怎样确定函数定义域？,3什么样函数被称为基本初等函数？初等函数是如何形成的？,4函数的主要性质有哪些？,5区间有哪些表示方法？怎样理解邻域概念？,10,2,数列极限与函数极限的概念,（1）数列：,依一定次序排列的一列数称为数列。,a,n,：,a,1,a,2,a,n,a,n,通项，,a,n,=,f,(,n,)通项公式, 研究数的变化规律,等差数列：当,n,2，,a,n,a,n,-1,=,d,，,s,n,= (,a,1,+,a,n,),n,/,2,等比数列：当,n,2，,a,n,/,a,n,-1,=,q,，,s,n,=,a,1,(1-,q,n,) /,(1-q),（2）数列极限：,当,n,，,a,n,a,，则称数列,a,n,以常数,a,为极限。记为, 极限唯一性：若存在，则极限值唯一。,11,（3）函数极限：,当,x,时的极限：若当|,x,|时，,f,(,x,)的函数值无限趋近于,A,。,当,x,x,0,时的极限：若当,x,x,0,时，,f,(,x,)的函数值无限趋近于,A,。,记为：,记为：, 左右极限概念的理解：,12,定理：, 要点理解：,1当,x,x,0,时函数,f,(,x,)的极限与在,x,0,处是否有定义无关；,2有极限则须有,x,从,x,0,左右不论以任何方式趋近时，极限都相同；,3 不总成立；,4,x,x,0,表示,x,无限趋近,x,0,；,5极限未定式：,13,3极限四则运算法则,若当,x,x,0,（或,x, ），lim,f,(,x,)=,A,， lim,g,(,x,)=,B,，则,（1）和差： lim,f,(,x,),g,(,x,)=,A,B,，,（2）积： lim ,f,(,x,) ,g,(,x,)=,AB,，,（3）商：若,B,0，则lim ,f,(,x,),/,g,(,x,)=,A/B,，, 重要极限：, 推广：, 无理数,e,=2.71828,14,例：,15,例：,例：设,x,*,，,u,(,x,) 0，,v,(,x,) ，且,u,(,x,) ,v,(,x,) ,A,，,那么，1+,u,(,x,) ,v,(,x,),e,A,例：,16,4无穷小量与无穷大量,（1） ，称,f,(,x,)在,x,*（,x,x,0,或,x,）为无穷小量。,（2）当,x,x,0,（或,x,）时，|,f,(,x,),|无限增大，则称,f,(,x,)当,x,x,0,（或,x,）时为无穷大量。,记为,f,(,x,)= ,性质：,1）有限个无穷小量之和差仍是无穷小量,2）有限个无穷小量之积，无穷小量与有界函数之积仍为无穷小量。,3）无穷大量倒数为无穷小量,17,无穷小量比较,设,x,* ，,(,x,),0,，,(,x,) 0，定义, 极限计算中等价无穷小量可以整体替换：,设,x,* ，,(,x,),1,(,x,),，,(,x,),1,(,x,) ，,18,几个等价无穷小：,x,0，,x,e,x,-1ln(1+,x,)；(1+,x,),1/,n,-1 ,x,/,n,，,n,=2, 3, ,例, 注意： ，ln(1+,x,)不能用,x,代换。,19,复习思考题：,1极限的概念是要揭示什么现象的？,2数列的极限与函数的极限有什么区别和联系？,3极限的基本运算法则有哪些？,4什么是无穷小量与无穷大量？如何进行无穷小量比较？,5什么是未定式？如何处理未定式？,20,5,函数连续性,函数连续与间断的概念,连续函数,函数连续：若 ，则称,f,(,x,)在点x,0,处连续，否则称间断。, 连续函数：若,f,(,x,)在（,a,b,）内每一点都连续，则称,f,(,x,) 在（,a,b,）上是连续函数。, 左右连续，判断, 间断点分类：第一类间断点；第二类间断点,f,(,x,0,-0),f,(,x,0,+0)跳跃间断点；,f,(,x,0,-0)=,f,(,x,0,+0),f,(,x,0,)（或在,x,0,无定义）可去间断点,21,闭区间上,a,，,b,连续函数,f,(,x,)性质：,1最值定理：必然存在最大值和最小值；,2介值定理：必然存在,a,，,b,，使得,f,(,) =,位于,f,(,a,) 与,f,(,b,)之间；,推论：,若最大值最小值分别为,M,、,m,，则对于,m,c,M,，存在,a,，,b,，使得,f,(,)=,c,；,3零值定理：若,f,(,a,) 与,f,(,b,)异号，则必然存在,a,，,b,，使得,位于,f,(,) =0。,4连续函数的四则运算，连续函数复合函数仍是连续函数。,5若,f,(,x,)在,x,0,处连续，则, 初等函数在其定义区间内都连续,22,复习思考题：,1函数在某一点处连续是怎样定义的？,2连续函数的图像有什么特点？,3函数间断点的种类有哪些？怎样定义的？,4初等函数的连续性是怎样的？,5怎样理解“函数连续”和“连续函数”？,6怎样理解连续函数的性质？,23,（二）导数与微分,导数的概念,导数的意义,函数的可导性与连续性的关系,基本初等函数的导数公式,导数的四则运算,复合函数的导数,二阶导数的概念及计算,导数的应用,微分的概念及微分的应用,24,1,导数的概念,：,函数的导数：研究函数,f,(,x,)在点,x,0,处随,x,变化快慢程度。, 导函数,f,(,x,),例：,y,=,f,(,x,)=,x,2,，求,f,(0),定义：设,y,=,f,(,x,)在点,x,0,的某个邻域内有定义，如果 存在，则称函数在点,x,0,处可导。并称此极限值为,f,(,x,)在,x,0,处的导数。记作,y,|,x,0,或 或,其中， ,y,=,f,(,x,) ,f,(,x,0,),=,f,(,x,0,+,x,) ,f,(,x,0,),25,左右导数：,26,x,f,(,x,),27,2导数意义,（1）几何意义,（2）物理意义,（3）经济意义,3可导与连续关系,定理：若,y,=,f,(,x,)在点,x,0,处可导，则,y,=,f,(,x,)在点,x,0,处连续。, 可导必连续，连续未必可导,28,4基本初等函数的导数公式,（1）常数:,(,c,),=0,（2）幂函数,: (,x,),=,x,-,1,（,为常数,）,（3）指数函数：(,a,x,),= (ln,a,),(,a,x,) (,a,0，,a,1),(,e,x,),=,e,x,（4）对数函数,：(,log,a,x,) = (,a,0 ，,a,1,),(ln,x,) ,=,29,5,导数的四则运算,设,u,=,u,(,x,)，,v,=,v,(,x,)可导，则,（1）和差：,u,v, =,u,v,推广,：,u,1,u,2,u,n,=,u,1,u,2,u,n,（2）积： ,u ,v, =,u,v,+,u,v,推广,：,u,1,u,2,u,n, =,u,1, ,u,2,u,n,+,u,1,u,2, ,u,3,u,n,+,u,1,u,2,u,n,（3）商：,30,6,复合函数的导数,设,y,=,f,(,(,x,)，若,u,=,(,x,)在,x,0,处可导，,y,=,f,(,u,)在,u,0,=,(,x,0,)处可导，则,例：设,y,=,f,(,x,2,)，求,y,。,31, 求导数一般方法, 反函数求导,若,y,=,f,(,x,)严格单调、可导，,y,=,f,(,x,) 0，则其反函数,x,=,(,y,)在对应区间内也可导，且, 对数求导,对于,y,=,f,(,x,),g,(,x,),，先取对数，再两端求导。,隐含数求导,对于,F,(,x,y,)=0确定,y,是,x,的函数，由,F,(,x,y,)=0解得,y,。,32,7,二阶导数的概念及计算,函数,f,(,x,)的导数,f,(,x,) 的导数,f,(,x,)，称为,f,(,x,)的二阶导数。, 可推广至,n,阶导数, 二阶以上称为高阶导数,33,例：求下述函数导数,34,复习思考题：,1导数是怎样定义的？有怎样的几何意义？,2什么是导函数？,3导数存在的必要条件及充分条件是什么？,4求函数导数可利用哪些方法？,5高阶导数的概念是什么？,35,8,导数的应用,切线方程,求极限罗必达法则,函数的单调性及其判定,极值概念及其判定,函数图像的凹凸性、拐点及其判定,函数的最大值和最小值,36,1）切线方程：,函数,y,=,f,(,x,)在点 (,x,0,，,y,0,) 的切线方程：,y,-,y,0,=,f,(,x,0,)(,x,-,x,0,),例：某曲线方程为，求曲线上对应,x,=1处的切线方程。,37,2）罗必达法则,例：求极限：,定理：当,x,*时，,f,(,x,) 0(或)，,g,(,x,) 0 (或)，有,注： 非此2种情形结论，定理不成立。,38,3）单调性判定,函数,y,=,f,(,x,) ：,f,(,x,),0单调增加；,f ,(,x,),0单调减少,39,4）极值极大值、极小值, 依驻点、导数不存在点,x,0,邻域内导数符号变化判定。,用一阶导数判定：,f,(,x0,f,(,xx,0,),0，,x,0,为极大值点；,f,(,xx,0,),x,0,),0，,x,0,为极小值点,用二阶导数判定：,f,(,x,0,),0,x,0,为极小值点,f,(,x,0,),0 ,上凹,f,(,x,),0,下凹,f,(,x,0,),=0时，,f,(,xx,0,),异号，则,x,0,为拐点。, 函数单调性、极值、凹凸性均可采用三栏列表方式讨论。,41,例：求函数,f,(,x,)=2,x,3,-9,x,2,+12,x,的单调区间、极值。,解：基本步骤,（1）求,f,(,x,)；,（2）求驻点及无导数之点,x,i,；,（3）按,x,i,划分整个定义域区间；,（4）列表讨论：,42,求：凹凸区间及拐点步骤：,(1) 求,f,(,x,),(2) 求,f,(,x,)=0或不存在之点,x,i,(3) 按,x,i,划分定义区间,(4) 列表分析,例：求函数,f,(,x,)=,x,4,-4,x,3,-18,x,2,+2,x,-1的凹凸性及拐点。,43,9微分的概念及微分的应用,若,y,=,f,(,x,)在点,x,0,的某个邻域内有定义，且,y,=,f,(,x,0,+,x,),f,(,x,0,)=,A,x+o,(,x,),其中,A,是与,x,无关的常数，,则称,y,=,f,(,x,)在,x,0,点可微，并称,A,x,为,f,(,x,)在,x,0,点的微分记作d,y,|,x,0,=,A,x,。,由于,所以 d,y,=,f,(,x,0,),x,44, 微分的几何意义,45,考虑到函数,y,=,x,，,d,y,= d,x,=,y,x,，,而,y,=1,所以有 d,x,=,x,因此， d,y,=,f,(,x,0,) d,x,可微与可导的关系：函数可导即可微。,46,微分形式不变性,例：求微分d,y,。,47,微分运算法则：,四则运算：,（1）d(,u,v,)=d,u,d,v,（2）d(,uv,)=,u,d,v,+,v,d,u,（3）,48,微分应用近似计算,例：求一个薄球壳（内半径为5米，壳厚0.05米）体积的近似值。（,v,=4,r,3,/3,）,解：,v,d,v,=,v,r,=4,r,2,d,r,，,d,r =,r,r=,5米,，,r =,0.05米,v,d,v, 15.7立方米, 另算：,v,=,v,1,-v,0,=,v,=4(,r,1,3,-,r,0,3,),/3 15.8575,y= ,f,(,x,),f,(,x,0,),x,，或,f,(,x,0,+,x,) =,f,(,x,0,)+,y,f,(,x,0,)+,d,y= f,(,x,0,)+,f,(,x,0,),x,49,复习思考题：,1利用导数可确定函数曲线切线的什么参数？,2罗毕达法则应用条件是什么？,3怎样利用导数信息绘制函数图像？,4极值与最值的判定可有哪些办法？,5什么是函数微分？为何可利用微分进行近似计算？,50,二、一元函数积分学, 不定积分,原函数与不定积分的概念；基本积分公式； 不定积分的积分方法, 定积分,定积分的概念；变上限定积分；牛莱公式；定积分应用,；,无穷区间广义积分,51,（一）不定积分,1原函数与不定积分的概念 在区间,I,上，有,F,(,x,) =,f,(,x,) 或者d,F,(,x,) =,f,(,x,)d,x,， 称,F,(,x,)为,f,(,x,) 在,I,上的一个原函数。,f,(,x,)原函数的全体称为,f,(,x,)的不定积分，记,且,2基本积分公式,52,3不定积分性质与积分方法,（1）性质,1,0,.不定积分导数等于被积函数,2,0,.函数导数不定积分等于该函数与任一常数之和,3,0,.运算法则,53,例：,1设,F,(,x,)是,e,-,x,2,的一个原函数，求,2设，求d,F,(,x,2,),54,（2）积分方法, 直接积分法,直接利用积分性质和基本积分公式,55, 换元积分法：变换积分变量,1第一类换元法凑微分：复合函数,56,2第二类换元法变量代换,根式代换三角代换,57, 分部积分法,一般适用不同类函数函数乘积（无复合关系）情形。,58,（二）定积分, 定积分的概念与性质, 变上限定积分, 牛莱公式, 定积分应用, 无穷区间广义积分,59,1定积分的概念与性质,（1）概念,设,f,(,x,)在,a,，,b,上有定义，将区间,a,，,b,任意分成,n,个子区间,x,i,-1,，,x,i,，任取,i,x,i,-1,，,x,i,，,i,=1, 2,n,，（,x,0,=,a,，,x,n,=,b,），,x,i,=,x,i,-,x,i,-1,，记= max ,x,i,，,如果0时，存在，,则称,f,(,x,)在,a,，,b,上可积，并称此极限值为,f,(,x,)在,a,，,b,上的定积分，记作,1,i,n,60,2性,质：,设,f,(,x,)、,g,(,x,) 在 ,a,，,b,上连续，,61,2变上限定积分,设,f,(,x,)在a，b上可积，则,是上限,x,的函数，并称,为变上限定积分。且有,且,(,x,)= -,f,(,x,),可见，,(,x,)是,f,(,x,)的原函数，而,(,x,)不是。,62,证明：,63,推论：,64,3牛莱公式,设,f,(x) ,C,a,，,b,，,F,(,x,) =,f,(,x,) ，则,记作,证：设,F,(,x,)是,f,(,x,)的一个原函数，而,那么，,(,x,)=,F,(,x,)+,c,，,(,b,)=,F,(,b,)+,c,而 ,(,a,)=,F,(,a,)+,c,=0， ,F,(,a,) =,-,c,，从而,65,例：,66,定积分计算：,1）换元法：,2）分部积分法,67,例：,68,4定积分的应用,（1）平面图形的面积,（2）求行程距离,（3）求利润,69,求面积一般步骤：,例：,1求由曲线,xy,=1，,y,=,x,及直线,x,=2所围平面图形面积。,2求由曲线,y,2,=,x,和直线,x,+,y,=2所围平面图形的面积。,1）画曲线示意图，求交点坐标；,2）选择积分变量，确定积分上、下限；,3）注意图形是否分块、对称等；,4）利用定积分公式计算。,70,5无穷区间广义积分,当积分区间推广至,a,，+)，(-，,b,， (-,+)时，称无穷区间广义积分。,71,复习思考题：,1定积分与不定积分有什么区别？,2不定积分的运算性质都是什么？,3不定积分的积分方法有哪些？,4定积分的性质有哪些？,5积分上限函数及下限函数是什么？,6怎样利用定积分求函数曲线围成的面积？,7如何计算广义积分？,72,三、多元函数微分学, 多元函数一阶偏导数的概念与计算, 二阶偏导数的概念与计算, 二元函数的极值及判定。,73,1多元函数一阶偏导数的概念与计算,（1）多元函数：含两个自变量的函数,z,=,f,(,x,y,)为二元函数，二元 以上的函数为多元函数。,（2）二元函数极限与连续：当点(,x,y,) (,x,0,y,0,)时，函数,f,(,x,y,) 无限趋近于常数,A,，称,A,为此二元函数的极限。,则称函数,z,=,f,(,x,y,)在点(,x,0,y,0,)处连续。,74,（3）偏导数：,对于二元函数,z,=,f,(,x,y,)，若将其中一个自变量视为常数，而对另一自变量求导数，就称为函数,z,=,f,(,x,y,)关于该变量的偏导数。记作,（4）偏导数计算：仿一元函数,（5）全微分：函数,z,=,f,(,x,y,)在点(,x,y,) 处d,z,=,z,x,d,x,+ z,y,d,y, 若函数,z,=,f,(,x,y,)在点(,x,0,y,0,)有连续的偏导数，则函数,z,=,f,(,x,y,)在(,x,0,y,0,) 处可微。,75,（6）复合函数偏导数,设,z,=,f,(,u,v,)，,u,=,(,x,y,)，,v,=,(,x,y,)，且,f,的偏导数均连续，则函数,z,=,f,(,(,x,y,),(,x,y,)的偏导数也连续，且,76,（7）全导数,设,z,=,f,(,u,v,)，,u,=,(,x,)，,v,=,(,x,)，则函数,z,=,f,(,(,x,),(,x,)对,x,的全导数,（8）隐含数偏导数,若方程,F,(,x,y,z,)=0确定,z,=,f,(,x,y,)，则,77,例：(1) 设,z,=,x,2,y,-,x,3,y,2,+,e,-,xy,，求：,z,x,，,z,y,78,2二阶偏导数概念与计算,函数,z,=,f,(,x,y,)一阶偏导数,z,x, z,y,继续对自变量,x,或者,y,求偏导数（若偏导数存在），就是关于,x,或者,y,的二阶偏导数。记作, 当,z,xy,与,z,yx,都连续时，则,z,xy,=,z,yx, 还可推至3阶、4阶，偏导数。,79,3二元函数的极值,（1）概念：,（2）极值点必要条件：如果在点,P,0,(,x,0,y,0,)处可微，且,P,0,为极值点，则,f,x,(,x,0,y,0,) =,f,y,(,x,0,y,0,)=0,P,0,称为驻点。极值点还可能是一阶偏导数不存在的点。,（3）极值点充分条件：设,P,0,(,x,0,y,0,)是,z,=,f,(,x,y,)的一个驻点，,f,在点,P,0,的某个邻域内的二阶偏导数都连续，其二阶行列式,80,（1）如果,H,(,P,0,)0，,f,xx,(,x,0,y,0,) 0，则点,P,0,为极小值点。,（2）如果,H,(,P,0,)0，,f,xx,(,x,0,y,0,) 0，则点,P,0,为极大值点。,（3）如果,H,(,P,0,)0，则点,P,0,为不是极值点。,（4）如果,H,(,P,0,)=0，则点,P,0,是否为极值点不能确定。,81,例：求,f,(,x,y,)=,e,2,x,(,x,+,y,2,+2,y,)的极值。,解：求一阶偏导数,82,（4）条件极值与拉格朗日乘数法：,步骤：,作拉格朗日函数,求函数驻点：联立求解,称为拉格朗日乘数,83,例：求周长为2,a,长方形的最大面积。,解：设长方形边长为,x,，,y,则面积为,S,=,xy,，满足周长条件：,x,+,y,=,a,作拉格朗日函数,求函数驻点：,联立求解,84,对于3个变量问题：,步骤：,作拉格朗日函数,求函数驻点：联立求解,拉格朗日乘数,85,例：求函数,u,=,x,2,y,2,z,2,的最大值。,(其中,x,2,+,y,2,+,z,2,=9),解：作拉格朗日函数,L,=,x,2,y,2,z,2,+,(,x,2,+,y,2,+,z,2,-9,),联立一阶偏导数方程，求驻点：,L,x,=2,xy,2,z,2,+ 2,x,=0,L,y,=2,x,2,yz,2,+ 2,y,=0,L,z,=2,x,2,y,2,z,+ 2,z,=0,x,2,+,y,2,+,z,2,-9=0,解得,x,2,=,y,2,=,z,2,=3,u,max,=27,86,复习思考题：,1二元函数的偏导数怎样计算？,2二元函数复合函数偏导数公式怎样使用？,3二元函数的二阶偏导数有哪几种形式？,4二元函数极值的必要条件、充分条件是什 么？,5条件极值的概念是什么？如何判定？,87,